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1、模块素养评价(一)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若数列-1,2,5,8,11,x,中的项按一定规律变化,则实数x最有可能的值是()A.12B.13C.14D.15【解析】选C.根据题意,数列-1,2,5,8,11,x,分析可知,从第二项起,每一项与前一项的差等于3,所以x=11+3=14.2.(2020梅州高二检测)设等差数列an的前n项和为Sn,a4=4,S9=45,a10=()A.20B.10C.44D.55【解析】选B.设等差数列an的公差为d.因为等差数列an的前n项和为Sn,a4=4
2、,S9=45,所以解得a1=1,d=1,所以a10=1+9=10.3.(2020唐山高二检测)已知an为等差数列,若-1,且数列an的前n项和Sn有最大值,则Sn的最小正值为()A.S1B.S19C.S20D.S37【解析】选D.因为0,a200,a19+a200,S38=19(a19+a20)0时,xf(x)f(x).若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cabC.cbaD.bc0时,xf(x)f(x),所以,当x0时,g(x)=0,所以,偶函数g(x)在(0,+)上单调递增;又0sin1log46log49=log23,所以gg(log46)g(log49)=g(l
3、og23)=g(-log23),即cba.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列选项中能满足数列1,0,1,0,1,0,的通项公式的有()A.an=B.an=sin 2C.an=cos 2D.an=【解析】选ABCD.可以验证,当n为奇数时,ABCD对应的项均为1,当n为偶数时,ABCD对应的项均为0.10.记Sn为等差数列an的前n项和.若a1+3a5=S7,则以下结论一定正确的是()A.a4=0B.Sn的最大值为S3C.S1=S6D.|a3|a5|【解析】选AC.设等差数列an的公差为d,则a1+3(a1+4d)=
4、7a1+21d,解得a1=-3d,所以an=a1+(n-1)d=(n-4)d,所以a4=0,故A正确;因为S6-S1=5a4=0,所以S1=S6,故C正确;由于d的正负不清楚,故S3可能为最大值或最小值,故B不正确;因为a3+a5=2a4=0,所以a3=-a5,即|a3|=|a5|,故D错误.11.(2020南京高二检测)若函数f(x)的图象上存在两个不同的点A,B,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合,称函数f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的有()A.y=ex-xB.y=x4-x2C.y=x3D.y=x+sinx【解析】选BD.由题意可得,性质T指函数f(x)图象上有两个不同点的
5、切线是重合的,即两个不同点所对应的导数值相等,且两点处函数的切线方程也相同.对于A选项,y=ex-x,则y=ex-1,导函数为增函数,不存在不同的两个x使得导数值相等,故A不符合;对于B选项,y=4x3-2x,设两切点分别为(x1,-),(x2,-)且4-2x1=4-2x2,取x1=-,x2=,则y1=-=y2,两切点处的导数值为y=0,两切点连线的直线斜率为k=0,所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率,符合性质T,所以B选项符合;对于C选项,设两切点分别为(x1,)和(x2,),则两切点处的导数值相等有:3=3,解得:x1=-x2,令x1=a,则x2=-a,两切点处的导数y=3a2,两切
6、点连线的斜率为k=a2,则3a2=a2,得a=0,两切点重合,不符合题意,所以C选项不符合;对于D选项,y=1+cos x,设两切点的横坐标分别为x1和x2,则1+cos x1=1+cos x2,所以cos x1=cos x2,取x1=,x2=,则y1=+1,y2=+1,两切点处的导数值为y=1,两切点连线的直线斜率为k=1,所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率,符合性质T,所以D选项符合.12.已知函数f=,则下列结论正确的是()A.函数f存在两个不同的零点B.函数f既存在极大值又存在极小值C.当-ek0时,-1x2,当f0时,x2,故,是函数的单调递减区间,是函数的单调递增区间,所以f
7、是函数的极小值,f是函数的极大值,所以B正确.对于C.当x+时,y0,根据B可知,函数的最小值是f=-e,再根据单调性可知,当-ek31,则S10的取值范围是_.【解析】设等差数列an的公差为d.因为a2=1,S5+S731,所以S5+S7=5a3+7a4=5(1+d)+7(1+2d)31,所以d1,所以S10=10a1+45d=10(1-d)+45d=10+35d45.答案:(45,+)14.用数学归纳法证明不等式“+(n1且nN+)”的过程中,第一步:当n=2时,不等式左边应等于_.【解析】根据数学归纳法的步骤,首先要验证当n取第一个值时命题成立;结合本题,要验证n=2时,不等式左边为+=
8、.答案:15.已知正项等比数列an满足a2 020=2a2 018+a2 019,若存在两项am,an使得=4a1,则的最小值是_,此时m2+n2=_.【解析】根据题意,设正项等比数列an的公比为q,若an满足a2 020=2a2 018+a2 019,则有q2=2+q,解得q=2或q=-1(舍去),若存在两项am,an使得=4a1,即aman=16,变形可得2m+n-2=16=24,则有m+n=6,则=+=(m+n)=,又由+2=4,当且仅当n=2m即n=2m=4时,等号成立,则=(5+4)=,此时m2+n2=20.答案:2016.(2020常德高二检测)已知函数f(x)为偶函数,当x0时,
9、f(x)=ln x+ex-1,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为_.【解析】因为函数f(x)是偶函数,当x0时,f(x)=ln x+ex-1,所以当x0,所以f(x)=f(-x)=ln (-x)+e-x-1,所以f(-1)=1,又当x0得n6.所以n7时an0,a6=0,1n5时,an0得n0,a18=0,n19时,an0,所以n=17或18时,Sn的最大值为S17=S18=3418+(-2)=306,Sn无最小值.20.(12分)已知函数f=ex.(1)求曲线y=f在原点处的切线方程.(2)当x2时,求函数y=f的零点个数.【解析】(1)由题意,函数f=ex,则f=ex,则f=-2,
10、从而曲线y=f在原点处的切线方程为y=-2x.(2)由(1)知f=ex,令f=0得x=或x=-,从而函数y=f的单调增区间为,单调减区间为,当x0恒成立,所以在上没有零点;当-x时,函数在区间上单调递增,且f=0,存在唯一零点.综上,当x2时,函数y=f的零点个数为2.21.(12分)用数学归纳法证明:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN+).【证明】当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.假设当n=k(k1,kN+)时,等式成立,即k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)=(2k-1)2,那么当n=k+1时,(k+1)+(k+2)+(3k-2)+(3k-1)+3k
11、+3(k+1)-2=k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)-k+(3k-1)+3k+(3k+1)=(2k-1)2+8k=(2k+1)2=2(k+1)-12.这就是说当n=k+1时,等式也成立.根据和,可知等式对任何nN+都成立.22.(12分)已知等比数列an的公比q1,且满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=anloan,Sn=b1+b2+bn,求使Sn+n2n+162成立的正整数n的最小值.【解析】(1)因为由a3+2是a2,a4的等差中项,得a2+a4=2(a3+2),因为a2+a3+a4=28,所以a2+a4=28-a3,所以2(a3+2)=28-a3,解得a3=8,所以a2+a4=20,所以解得或又q1.所以a1=2,q=2,所以an=2n.(2)因为bn=anloan=2nlo2n=-n2n.Sn=b1+b2+bn=-(12+222+n2n)则2Sn=-(122+223+n2n+1)-,得Sn=(2+22+2n)-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,即数列bn的前n项和Sn=2n+1-2-n2n+1,则Sn+n2n+1=2n+1-262,所以n5,即正整数n的最小值为6.