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1、人教版九年级数学下册第二十七章-相似同步练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB2m，BC12m，则建筑物CD的高度为（ ）
2、A10.5mB10mC9mD11m2、如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2m，并测得，那么树DB的高度是（ ）A6mB8mC32mD25m3、如图，在RtABC中，C90，AB10，BC8点P是边AC上一动点，过点P作PQAB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分ABC时，AP的长度为（ ）ABCD4、若，相似比为，则与的对应角平分线的比为（ ）A1：2B1：4C1：3D1：95、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边cm，cm，测得边DF离地面的高度
3、m，m，则树高AB为（ ）A4mB5mC5.5mD6.5m6、在小孔成像问题中，如图所示，若点O到的距离是，点O到的距离是，则像的长与物体长的比是（ ）ABCD7、如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，：的值为（ ）ABCD8、下列可以判定ABCABC的条件是（）AABCB且ACC且AAD以上条件都不对9、如图，BC2，则AB的长为（ ）A6B5C4D310、如图，在ABC中，AC=3，BC=6，D为BC边上的一点，且BAC=ADC若ADC的面积为a，则ABC的面积为()ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空
4、题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形若点的坐标为，则点的坐标为 _2、如图，在矩形ABCD中，AB30，BC40，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将OPA沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点F若PDF为直角三角形，则PD的长为_3、如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过点A作ACAB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为 _4、如图，在ABC中，D、E分别是边BC、AC
5、上的点，AD与BE相交于点F，若E为AC的中点，BD：DC2：3，则AF：FD的值是 _5、将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3A2020和点M，M1，M2M2019是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3AM2019分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2A2019M2018于点N1，N2，N3N2019，四边形M1N1A1A2的面积是S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，则S2019为 _三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，在ABC中，ABAC2，BAC120，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE（1）探索发现：图1中，
6、的值为 ，的值为 （2）拓展探究若将CDE绕点C旋转，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明（3）问题解决当CDE旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段BE的长2、有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角（1）已知RtABC为智慧三角形，且RtABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为 ；（2）如图，在ABC中，C105，B30，求证：ABC是智慧三角形；（3）如图，ABC是智慧三角形，BC为智慧边，B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数上（）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为当ABC是直角三角形时，求k的值3、图、图
7、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法（1）在图中的线段上找一点，连结，使（2）在图中的线段上找一点，连结，使4、如图，在等腰直角中，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：5、如图，在中，平分交于D（1）求证：（2）若，求的长-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】直接利用已知得出ABEACD，再利用相似三角形的性质得出答案【详解】解：由题意可得：BEDC，则ABEACD，故，标杆BE高1.
8、5m，AB=2m，BC=12m，解得：DC=10.5m故选：A【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键2、B【解析】【分析】根据三角形ACE与三角形ABD相似，得到对应边成比例，建立等式求解【详解】解：由题意可得，CEBD，即解得BD8m，故选B【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在三角形中一平行线平行于第三边，则这个平行线所截的小三角形与原三角形相似，相似三角形对边边成比例3、B【解析】【分析】根据勾股定理求出AC，根据平行线的性质、角平分线的定义得到QDBQ，证明CPQCAB，根据相似三角形的性质计算即可【详解】解：设BQx，在RtABC中，C90，AB1
9、0，BC8，由勾股定理得,BD平分ABC，QBDABD，PQAB，QDBABD，QBDQDB，可设QDBQx，则CQ=8-x，D为线段PQ的中点，QP2QD2x，PQAB，CPQCAB，即解得：，APCACP，故选B【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定条件是解题的关键4、C【解析】【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答【详解】两个三角形的相似比为，这两个三角形对应角平分线的比为故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，比较简单5、D
10、【解析】【分析】根据即可求得的长，进而求得树高【详解】解：依题意， cm，cm，m，m， m m故选D【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键6、B【解析】【分析】由题意可知与是相似三角形，相似比为1：3，故CD：AB=1：3【详解】由小孔成像的定义与原理可知与高的比为6：18=1：3与相似比为1：3CD：AB=1：3故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒像，我们把这样的现象叫小孔成像相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都
11、等于相似比7、C【解析】【分析】设正方形ABCD的边长为a，关键黄金分割点的性质得到和，用a表示出、和的面积，再求比例【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，点E是AB上的黄金分割点，故选C【点睛】本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质8、C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案【详解】A、只有一组角对应相等的两个三角形不一定相似；故A不符合题意；B、两边对应成比例，但夹角不相等的两个三角形不一定相似，故B不符合题意；C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C符合题意；故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握定理内容是解题的关键9、C【解析】【
12、分析】由平行线分线段成比例，可得比例式：，代入值，利用线段间的关系，直接求解答案【详解】解：且， ， ， 故选：C【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键10、A【解析】【分析】证得ABCDAC后由面积比为相似比的平方即可求得ABC的面积【详解】BAC=ADC，C=CABCDAC又AC=3，BC=6AC：BC=1：2ABCDAC相似比为2：1则ABCDAC面积比为4：1DAC的面积为aABC的面积为4a故选：A【点睛】本题考查了相似三角形判断及性质，相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等
13、于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方二、填空题1、【解析】【分析】根据位似变换的性质计算即可【详解】解：是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形若点的坐标为，点的坐标为，即点的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，则位似图形对应点的坐标的比等于k或-k2、5或【解析】【分析】分情况进行讨论，当DPF=90时，过点O作OHAD于H，先证DHODAB，得到，求出，证明HOP=HPO=45，得到OH=PH=15，则PD=HD-PH=5；当PFD=90时，先求出，得到，从
14、而得到DAO=ODA；证明OFEBAD，推出，则，最后证明PDFBDA，则【详解】解：如图1所示，当DPF=90时，过点O作OHAD于H，HPF=90，四边形ABCD是矩形，BD=2OD，BAD=OHD=90，AD=BC=40，OHAB，DHODAB，由折叠的性质可得：，HOP=45，HOP=HPO=45，OH=PH=15，PD=HD-PH=5；如图2所示，当PFD=90时，OFE=90，四边形ABCD是矩形，BCD=90，CD=AB=30， ，DAO=ODA，由折叠的性质可知：AO=EO=25，PEO=DAO=ODA，又OFE=BAD=90，OFEBAD，PFD=BAD，PDF=BDA，PD
15、FBDA，综上所述，当PDF为直角三角形，则PD的长为5或，故答案为：5或【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件3、【解析】【分析】连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，则点在线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线交轴，轴于点，则当时，最小，再利用相似三角形的判定和性质，结合勾股定理解答即可【详解】如图：过点作于点，连接，为中点，点在线段的垂直平分线上作线段的垂直平分线交轴，轴于点，当，最小连接，则（，4），设，则，即，（，）在中当时， 最小故答案为：【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和
16、性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，点到直线的距离，勾股定理等知识，能够综合熟练运用这些性质和判定是解题关键4、#2.5【解析】【分析】过D作DHAC交BE于H，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D作DHAC交BE于H，DHFAEF，BDHBCE，若E为AC的中点，CEAE，BD：DC2：3，BD：BC2：5，DF：AF2：5，AF：FD故答案为：【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，合理添加辅助线，正确选择比例式是解题的关键5、【解析】【分析】设左边第一个正方形左上角的顶点为O，先判定M1MN1M1OA，利用相似三角形的性质求出MN1的长，进而得出S1，同理得出S
17、2，按照规律得出Sn，最后n取2019，计算即可得出答案【详解】解：如图所示，设左边第一个正方形左上角的顶点为O将2019个边长为1的正方形按如图所示的方式排列OAMA1M1A2M2A3M2018A2019M1MN1M1OAMN1=，四边形M1N1A1A2的面积是S1=；同理可得：四边形M2N2A2A3的面积S2=；四边形MnNnAnAn+1的面积Sn=S2019=；故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质在规律型问题中的应用，数形结合并善于发现规律是解题的关键三、解答题1、（1），；（2）无变化，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角
18、三角形的性质、勾股定理可得，然后根据线段中点的定义即可得；（2）先求出，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，最后根据相似三角形的性质即可得出结论；（3）分绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转两种情况，分别根据线段的和差即可得【详解】解：（1）如图，连接，点分别是的中点，故答案为：，；（2）无变化，理由如下：由（1）知，由旋转的性质得：，即，在和中，即的大小不变；（3）由题意，分以下两种情况：如图，当绕点逆时针旋转时，三点共线，由（1）知，则；如图，当绕点逆时针旋转时，三点共线，由（1）知，综上，线段的长为或【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质
19、、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确找出两个相似三角形是解题关键2、（1）或1或或或；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由于不确定是哪条边的边长，故需分3种情况讨论每种情况中，不确定长的边是否为智慧边，故又需要分类讨论（2）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，易得是AC的倍（3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，即只分或两种情况讨论作辅助线构造三垂直模型，证得相似或全等三角形，再利用对应边的关系把、的坐标表示出来，再代入计算【详解】解：（1）如图1，设，若，则，若，即，则若，若，若，故答案为：或1或或或（2
20、）证明：如图2，过点作于点，在中，中，是智慧三角形（3）是智慧三角形，为智慧边，为智慧角是直角三角形，不可能为斜边，即或当时，过作轴于，过作于，过作轴于，如图3，设，则的纵坐标为，即，点、在在函数上的图象上，解得：（舍去），当时，过作轴于，过作轴于，如图4，设，则，点、在在函数上的图象上，解得：综上所述，的值为或【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，解直角三角形，相似和全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，分类讨论思想解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法3、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）找出所在的矩形ACBE，然后
21、连接CE，交AB于点D，根据矩形的对角线相等且互相平分即可证明，即点D即为所求；（2）取格点D、F，连接DF，交AB于点E，连接CE，根据相似三角形的判定及性质可得：，根据勾股定理求出，由线段比例可得：，得出，由等边对等角即可得出两个角相等，即点即为所求【详解】解：（1）如图1，找出所在的矩形ACBE，然后连接CE，交AB于点D，即为所求； 四边形ACBE为矩形，点D符合题意；（2）如图2，取格点D、F，连接DF，交AB于点E，连接CE，点即为所求，在中，点E符合题意【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，包括矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，熟练掌握运用这些知识
22、点作出相应图形是解题关键4、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意先由等腰直角ABC得到BAC=B=45，从而结合DAE=45得到DAC=EAB，再由平行线的性质得到ACP=BAC=B=45，从而得到ADCAEB；（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合DAE=CAB=45得证结果；（3）根据题意结合ACD=45和ACB=90，由CD=CE得到CDE=CED=22.5，从而得到DAC=22.5，然后得到OCDDCA，最后即可求证【详解】解：（1）证明：是等腰直角三角形，BAC=B=45，DAE=45，PCAB
23、，DAC=EAB，ACD=BAC=B=45，ADCAEB；（2）证明：ADCAEBADAE=ACAB，即ADAC=AEAB，DAE=BAC=45，ADEACB；（3）ACD=45,ACB=90，CDE+CED=180-90-45=45，CDE=CED=22.5，ADEACB，ADE=ACB=90，CAD=180-ADE-CDE-ACD=180-90-22.5-45=22.5CAD=CDE，又OCD=DCA，OCDDCA，OCCD=CDCA，【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似5、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由，得，由平分得，故可证；（2）设，则，由相似三角形的性质即可得出答案【详解】（1），平分，DBC=A；（2）设，即，解得：或（负值不合题意，舍去），【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键