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1、“二元一次方程”教案、教案说明及点评执教人 朱周刚（浙江省诸暨市璜山镇中）点评人 张福生（上海市教委教研室)教案教学内容七年级下册（浙江版）第四章二元一次方程组的第一节.教学目标1 理解二元一次方程及二元一次方程的解的概念；2学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程的解；3学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示.教学重点、难点重点:二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念难点：把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。教学过程1创设情境，引入新知课前播放一段录象:舞蹈世界，录象内容是2
2、006年春节联欢晚会上轰动一时的由6085岁的老年朋友组成的业余舞蹈队演出的舞蹈节目俏夕阳.多媒体出示从中国社会保障网站上找到了一则新闻(新闻链接），从中截取了主要部分如下： 桐乡70岁以上老人可领取生活补助根据桐乡市2008年的有关规定，70周岁至89周岁的城镇居民每人每月补助80元， 90周岁以上的城镇居民每人每月补助150元 ，桐乡市梧桐街道三月份共发放生活补助金902 880元。如果设70周岁至89周岁的城镇居民有x人， 90周岁以上的城镇居民有y人，则可列等式： 8x+150y=902 880。 多媒体出示求是实验中学校园网站中一则新闻资料：爱心满人间记求是中学“学雷锋、关爱老人”志
3、愿者活动参加活动的36名志愿者,分为劳动组和文艺组,其中劳动组每组3人,文艺组每组6人。设劳动组有x个，文艺组有y个，则可得等式:3x+6y=36.2、类比旧知,归纳新知请学生观察刚才得到的两个方程80x+150y=902 880 3x+6y=36。然后引导:这两个方程是我们学过的一元一次方程吗？由一名学生来阐述什么叫做一元一次方程，它的特征有哪些?含有一个未知数并且未知数的次数为一次的整式方程叫一元一次方程，它的特征有三个：含有一个未知数；未知数的次数是一次；方程两边都是整式。（中间过程不完整的由教师补充并完善)与一元一次方程的特征作比较，我们对类似于上述两个方程取一个怎样的名称呢？(二元一
4、次方程）（板书）二元一次方程鼓励学生找出二元一次方程有怎样的特征?含有两个未知数;未知数的次数是一次；方程两边都是整式。（多媒体上同页显示，便于学生逐条比较)重点理解处,用举例的方法说明：对于方程xy+8=5x，大家认为它是二元一次方程吗？ xy(多媒体中红色记号圈出）这个项的次数是几次？xy作为一个单项式，它的次数是几次?(两次）那么大家认为xy+8=5x是二元一次方程吗？小结：所以我们把未知数的次数是一次；方程两边都是整式两条应归结为：含有未知数的项的次数是一次，其意义中已包含了等式两边都是整式，因为单项式与多项式统称为整式。（多媒体上两种方程的特征同页显示,让学生再作比较，为得出二元一次
5、方程的概念作准备)得出概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是一次的方程叫做二元一次方程（教师板书，同时多媒体投影）你认为这里哪几个是关键词呢？(两个未知数，项的次数，一次）在上述过程中，我们通过与一元一次方程的比较得出了什么叫二元一次方程，其中用到了一种重要的数学思想:类比思想（板书)，是同学们以后学习新知识中经常会遇到的，希望大家引起重视。练习：请你判断下列式子是否为二元一次方程？（1) x-2y=8；（2） x2+y=0;（3） x=2/y+1；(4） a+1/2b;（5） xy+y=2;（6)x/3 +2y=0.（生逐一判定，师做响应解释)3尝试探究，深入了解回到刚才的爱心满人
6、间活动,请看问题:参加活动的36名志愿者,分为劳动组和文艺组，其中劳动组每组3人，文艺组每组6人。团支书拟安排8个劳动组,2个文艺组，单从人数上考虑，此方案是否可行?为什么?结合一元一次方程解的概念,引导学生：把x=8，y=2 代入二元一次方程3x+6y=36，看看左右两边有没有相等？与一元一次方程的解相类似我们可以得出：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解（同时板书）.强调其书写方格式为(出示试一试)检验下列各组数是不是方程2x=y+1的解。 是方程的解不是方程的解。大家是否注意到这里有两个解都符合此方程，你觉得此方程还有其它解吗？那么你的解又怎样呢？（学生报出
7、各自的答案，教师帮着一一板书）我们这样写得完吗？（此时学生已充分感知）（引导)由此我们能得到什么结论？一般情况下，二元一次方程有无数个解。4合作学习，感悟方法 X1520。5y0228一起来探求2x+y=8，如果已知x的值：1，5，2，0。5（多媒体在表格中显示)，请同学们求出对应y的值（y的对应值为:6,2,12,7）你是怎样求出来的呢?思考过程可以表示为下面的过程对2x+y=8 把2x移项 得 y=82x我们发现当已知x的值时，用形如y=82x的形式求对应y的值显得更方便,我们把形如 y=82x的过程称为用含x的代数式表示y，这样当已知x的值时,可使求y的值简单方便。（同时多媒体显示：2x
8、+y=8 用含x的代数式表示y： y=82x)那么当已知y的值时，我们可用？（含用含y的代数式表示x（同时多媒体显示用含y的代数式表示x）并板书变形过程得出 ，同时在多媒体上用一个页面显示下列过程：用含x的代数式表示y: y=82x2x+y=8用含y的代数式表示x： ）让学生体会到用含x的代数式表示y或用含y的代数式表示x，能使求方程解的过程变得简洁明了。5范例分析，强化应用（出示例题）已知二元一次方程 3x+2y=10. （1）用关于x的代数式表示y； （2) 求当x= 2,0,-3时，对应的y的值，并写出方程3x+2y=10的三个解。（师生合作，教师在黑板上规范书写,起到示范作用）6新知盘
9、点，分享收获屏幕上显示的16个字(寿比南山 福如东海 儿孙满堂 尽享天伦)通常用来祝福老年人,每一句话后面都隐藏着与本节课有关的一个问题,有信心来挑战吗?小红到邮局给远在农村的爷爷寄挂号信,需要邮资3元8角。小红有票额为6角和8角的邮票若干张，设6角的邮票有x张，8角的邮票有y张,可列方程： 下列方程是二元一次方程的是（ ) （A)x2+x=1。 （B）2x+3y1=0。 （C）x+yz=0. （D)x+1/y +1=0。生丙: 我选福如东海下列各组数中，是二元一次方程5xy=2的一个解的是( ）x = 3 ， x = 0 , x = 2 ， x = 1，y = 1； y = 2 ； y =
10、0 ； y = 3。已知二元一次方程3xy=10，用x代数式表示y= ；当x=6时，y得值= 。 （学生答对后教师对前一填空设问)你是怎样变形得到y=3x-10的呢？7课堂小结，思想升华第一个问题中小红同学在学习的同时不忘给远在农村的爷爷写信,今天老师也要求同学们给爷爷写一封信（轻音乐伴响，给人一种温馨和谐的感觉,学生经过紧张的学习后可以作适当的调节、放松），请看，信的开头老师已经帮助写上：（亲爱的爷爷,您好！最近身体好吧？我很想念您。今天，来自绍兴的朱老师带领我们一起学习了）师小结：我们今天学习了形如x+y=100的方程，我们用x代表数学知识,y代表数学思想，如果你两者都掌握了，那么我们今天
11、这节课可以打100分，希望同学们在今后的学习中能更加认真地学好数学知识,领会数学思想，取得更优异的成绩！8布置作业：1、教材P82 2、作业本.教案说明（1）教学内容选自浙教版七年级下册第四章“二元一次方程组第一节“二元一次方程。本节课的授课内容属于概念课教学。数学学科的内容有其固有的组成规律和逻辑结构,它总是由一些基本的数学概念作为核心和逻辑起点，形成系统的数学知识，所以数学概念是数学课程的核心。二元一次方程作为初中阶段接触的第二类方程，形成概念并不难，关键如何理解它的概念.因此本节课的教学重点是二元一次方程的概念及二元一次方程解的概念。把一个二元一次方程变形成为用关于一个未知数的代数式表示
12、另一个未知数的形式,其实质是解一个含有字母系数的方程，这对于七年级学生来讲比较困难，如何突破是本节课设计中的关键。（2）学习本节内容的基础是等式概念,方程概念和一元一次方程知识，该内容是二元一次方程组的起始部分,在本章教学中起着承上启下的作用，并为以后学习一次函数打下基础。（3）由于是概念课，让学生理解二元一次方程的概念尤为重要,学生对“含有未知数的项的次数”的内涵的理解是最困难的，针对学生已有一元一次方程的概念，充分采用类比的方法，先让学生罗列一元一次方程的三个特征含有一个未知数；未知数的次数是一次；方程两边都是整式.然后对照上述三个特征,组织学生观察二元一次方程的特征，学生一般都会得出三条
13、对比后得到的特征：含有两个未知数；未知数的次数是一次；方程两边都是整式。此时，用举例的方法说明：对于方程xy+8=5x，大家认为它是二元一次方程吗？xy这个项的次数是几次？xy作为一个单项式，它的次数是几次？那么大家认为xy+8=5x是二元一次方程吗?引导学生明白未知数的次数是一次；方程两边都是整式。两条应归结为:含有未知数的项的次数是一次，其意义中已包含了等式两边都是整式，因为单项式与多项式统称为整式,继而说明二元一次方程的概念。学生对二元一次方程解的个数和写法的理解和掌握需要与一元一次方程的方程再次类比，说清楚产生根本区别是因为未知数个数的增加。例题中的把一个二元一次方程变形成用关于一个未
14、知数的代数式表示另一个未知数的形式，学生接受比较困难，设计时采用通过降低例题的难度，使学生迅速掌握用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，体会运用这种方法可使求二元一次方程解的过程更简便。（4)本课题的设计总体以人为本，在充分理解教材编写意图的前提下，以新课程理念为指导,通过创设问题情境，让学生感受数学知识的产生、发展与形成过程，体现了自主探究、合作交流的教学方式，重在培养学生的观察、比较、分析、思考、探究的能力,在课堂实施过程中不但重视知识的发生与形成过程,同时注重数学思想方法和思想情感教育的渗透，使学生的思想情操在此得到升华.教学方法与教学手段：主要运用类比与转化思想，通过与一元一
15、次方程的比较引出二元一次方程的概念,加强学生对类比思想的感悟与认识；结合多媒体通过创设实际问题情境使学生认识到数学是根据实际需要产生发展的，在学习过程中同时也培养了学生的初步的数学建模意识.预期效果分析:1。创设情境，引入新知环节：在课前播放舞蹈世界，不但为课题的引入作准备，同时也可以调节气氛，给学生以轻松的感受。引入的两个问题情境让学生充分体验数学来源于生活实际,使数学知识的产生自然流畅,同时无形之中渗透了思想情感教学,让学生懂得关爱老人（这也是一个社会问题）。2。类比旧知，归纳新知环节:为了让学生尽快理解新的知识，并同化到已有的认知结构中，教学中通过类比的方法，引导学生与一元一次方程的概念
16、作比较，逐渐理解什么叫二元一次方程，同时引导学生学会归纳整理，形成新的知识范畴。3。尝试探究,深入了解环节：通过问题的提出让学生感悟二元一次方程解的意义，并在一元一次方程解概念的基础上探究感知二元一次方程解的相关性与不确定性，通过问题的设置让学生感受到一般情况下二元一次方程的解有无数个。4.合作学习,感悟方法环节:在求二元一次方程解之前，以简单的例子让学生充分感受用一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法和意图，使难点的突破自然贴切,学生也不觉得突然，为例题的分析和讲解作铺垫。5。范例分析，强化应用环节:例题的设置是在合作学习的基础上提出来的,学生有了一定的知识基础,学起来轻松自如,而且教师边
17、板书，边强调解题方法、书写格式与要求，使学生印象深刻，属于一种自我学习与外界助学相结合的形式下获得知识的过程,体现了自主、合作、交流相结合的学习方式方法，教师是学生的引导者、合作者。6。新知盘点，分享收获环节：为激发学生的学习热情，同时结合本节课的实际，设计了祝福词中选题的形式，以活跃课堂气氛，既回顾所学知识，又渗透思想教育，达到教学的双重目的。7。课堂小结,情操升华环节:小结以给爷爷写信的形式展开，设计别具一格，使学生兴趣大增，促使学生积极回顾反思所学的数学知识与数学思想方法，同时对关爱尊敬长辈的教育又一次得到深化,学生的思想情操在此得到一次净化与升华。结尾部分教师用形象的数学式子x+y=1
18、00，不但点明了这节课的主题,而且更以亲切的语言教导学生好好学习数学知识，掌握数学方法，理解数学思想，语意深长,回味无穷！点评这节课是一节概念课。朱老师通过创设问题情境，讲练结合和探究、交流等方式把这节课上得生动活泼，学生不仅理解、掌握了二元一次方程的概念，而且感受了数学知识的产生、发展与形成过程，体会其中的数学思想方法，受到尊老爱老等思想情感的熏陶。整节课在师生积极互动、共同发展的过程中进行。本节课可供学习借鉴的特色和亮点很多，这里列举以下几点，供参考。1理解教材，了解学生，确定教学目标，把握重点难点.本节课的教学内容选自浙教版七年级下册第四章“二元一次方程组第一节“二元一次方程”。朱老师在
19、学习课程标准、认真分析教材的基础上，认识到:二元一次方程作为初中阶段接触的第二类方程，形成概念并不难，关键是理解概念.因此他在明确本节课的教学目标的同时，确定教学重点是二元一次方程的概念及二元一次方程解的概念.同时,由于他这节课是“借班上课”,面对的是浙江省优秀课评选所在地桐乡的求是实验中学的学生，浙江省评选活动的组织者为了体现公平公正,规定教师在课前不能与学生接触，因此他凭借在教学实践中对学生的观察了解，认为把一个二元一次方程变形成为“用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式”是本节课的难点，因为这实际上是要解一个含有字母系数的方程，对于七年级学生来讲缺乏知识的和认知的基础。这种通过钻
20、研课标、教材确定教学重点,通过了解、分析学生的知识基础和认知水平确定教学难点的做法，为本节课的设计提供了可靠的前提和保障。2设计情境,引导归纳，激发学生兴趣，重视自主探索。为了落实重点、突破难点，朱老师从导入情境到类比归纳、探索感悟，再到深化应用、小结盘点，对本节课作了精心的设计。在他到达桐乡前，就从中国社会保障网站上找到了“桐乡70岁以上老人可领取生活补助”的新闻，又从求是实验中学校园网站看到了“学雷锋、关爱老人志愿者活动的新闻资料。于是，朱老师设计了很有地方特色和亲近学生生活的导入情境,以多媒体出示：“根据桐乡市2008年的有关规定,70周岁至89周岁的城镇居民每人每月补助80元， 90周
21、岁以上的城镇居民每人每月补助150元 ,桐乡市梧桐街道三月份共发放生活补助金902 880元的报道，设计了“如果设70周岁至89周岁的城镇居民有x人， 90周岁以上的城镇居民有y人，则可列等式：8x+150y=902 880”的问题。接着,朱老师又以多媒体出示有关求是实验中学校“学雷锋、关爱老人”志愿者活动的问题：“参加活动的36名志愿者，分为劳动组和文艺组，其中劳动组每组3人,文艺组每组6人.设劳动组有x个，文艺组有y个，则可得等式：3x+6y=36”。这种来自生活的引例，使学生感到亲切,也一下子拉近了他这个来自绍兴的老师与桐乡学生间的距离.这不能不称赞朱老师的独具匠心。在以后的合作探索、互
22、动交流等过程中,朱老师始终抓住“敬老和“志愿者”两个现实背景设计问题,以多种学习方式激发学生兴趣，让学生经历了观察、比较、分析、思考、探究等活动过程，调动学习积极性，引发数学思考。3落实重点，突破难点，紧抓类比辨析，过程环环紧扣。为了使学生掌握二元一次方程及其解的概念这个重点，朱老师抓住几个关键，一一突破难点.一是对“含有未知数的项的次数的理解.采用类比方法,由一元一次方程的特征认识二元一次方程的特征，关键是列举了方程xy+8=5x的例子，引导学生辨析“未知数的次数是一次”和“含有未知数的项的次数是一次的区别；二是关于“二元一次方程解的个数的理解和和写法掌握。朱老师再次抓住二元一次方程与一元一
23、次方程的类比辨析，使学生认识它们的“解”的区别是由于未知数的个数的增加。三是针对例题中的把一个二元一次方程变形成“用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式”的难点，采用了降低例题难度、进行合作探究的设计，从让学生列举出几个解，到归纳出有无数个解,到“一起来探求对方程2x+y=8，由已知x的值1,5，2，0.5求对应y的值”，使学生较快掌握用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法.这里重点的落实,难点的突破，都紧紧抓住类比与归纳的思想方法。其教学过程的7个环节，做到环环紧扣、逐步推进。4三维目标,准确合理，方法平实得体，构思巧妙有效。本节课的教学目标,不仅知识技能方面准确合理，而且对
24、过程与方法、情感态度与价值观的目标的落实也十分有效。朱老师所创设的问题情境,所运用的自主探究、合作交流的教学方法,平实得体，没有矫揉造作，不仅让学生获得了对知识概念的理解，而且感受到了数学知识的产生、发展与形成过程，认识到数学是在实际需要中产生发展的，体验到了数学思想方法的运用，还给学生初步的数学建模的意识熏陶，特别精彩的是润物细无声地进行了思想情感的教育，使学生的思想情操在不知不觉中得到升华。这节课末尾采用“从祝福词中选题”和以“给爷爷写信”的形式小结，设计构思都很巧妙,既调动学生积极回顾反思所学的数学知识与数学思想方法,又对关爱尊敬长辈的教育又一次得到深化。最后教师用形象的数学式子x+y=
25、100，引导学生学好数学知识，掌握数学方法，理解数学思想，体现了教师的又一个寓意。整节课目标明确，推进有序，在“借班上课”条件下，把学生的积极性创造力调动到如此程度,实属不易，体现了教师的专业水平和教学艺术。本节课的设计与教学中可以提升的空间是:1教学目标的表述，应该体现三个维度的统一。如前所述，在这节课的教学过程中，明显看到了三维目标的体现.但是,在教案中仅表述了知识与技能目标,没有对过程与方法、情感态度与价值观目标的表述。2围绕“敬老”和“志愿者活动所实施的问题情境，有个别地方如“祝福词中选题”比较生硬，显得不够自然。3整节课知识量不多，活动量不少，教学的内容密度尚可适当调整或增加。如对二元一次方程的“一个解”的“数对”形式，以及其中x与 y的相互关系“必须满足方程”有进一步的强调与强化,那么对于下节课关于二元一次方程组的解的学习会更有好处.