平面图形面积ppt课件.ppt

《平面图形面积ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面图形面积ppt课件.ppt（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、3 3 平面曲线的弧长4 4 旋转曲面的面积旋转曲面的面积1 1平面图形的面积平面图形的面积5 5 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用2 由平行截面面积求体积小结与习题小结与习题 第十章第十章 定定 积积 分的应用分的应用6 定积分的近似计算定积分的近似计算一、直角坐标系情形二、参数方程三、极坐标系情形三、极坐标系情形l复习: 定积分的几何意义曲边梯形的面积:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形y=f(x)ab0 xy怎样求面积呢？dxxfba)(. 1A-A0)(xf0)(xfA表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0 xxy

2、y00AA321)(AAAdxxfba则2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图结论：的代数和表示积的值都可用区边梯形面dxxfba)(几何意义abxyy=f(x)2A1A3A0应用例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1 ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxA2210000ayx

3、yxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1 ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1 ab-12f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图中，被积函数（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1

4、 ab-12f(x)=(x-1)2-1问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0 xy=x22yy0 xy=f(x) y=g(x)abl讲授新课:直角坐标系xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)( badxxfxfA)()(12一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形xxxx x 曲边梯形的面积曲边梯形的面积讨论：讨论： 由左右两条连续曲线xy(y)、xj(y)与上下两条直线yc、 yd所围成的图形的面积 S 如何求？Ox ycdxy(y)xj(y)dyyySdc)()(yj。 答案：答案：下页 由上下两条连续曲线yf(x)

5、、yg(x)与左右两条直线 baf(x)g(x)dx。 Sxa、xb所围成的图形的面积为ab 例 1 求椭圆求椭圆12222byax所围成的图形面积。 S 4S1 4dxxaaba2204442aabdxxaaba2204442aabab。 xyO y22xaab S1则椭圆的面积为下页 由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线 baf(x)g(x)dx。 Sxa、xb所围成的图形的面积为 解：设椭圆在第一象限的面积为S1， S 4S1 4dxxaaba0220 x1O-1 1 y y21x2 y211x 3 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 S 2 dxxxdx

6、xx)112()211(23121022下页 例 2 求曲线 y21x2、y211x与直线 x3、 x3所围成的图形的面积。 dxxxdxxx)112()211(23121022 例3 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积。8 y-2 2 x2O444(8, 4)(2, 2) 解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间2，4。 首页 A1861421)214(4232242yyydyyy1861421)214(4232242yyydyyy18。参数方程，ttyytxxC给出是由参数方程设曲线,),(),(, 0)()()(,txt，xty连续可微且连续上

7、在，abbaxbxa)(),(),(或记轴所围图形面积公式为和及直线则由曲线xbxaxC ,.)()(dttxtyA如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytxy yj j21( )( ).ttAtt dtyj（其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(txj j 具具有有连连续续导导数数，)(tyy y 连连续续.曲边梯形的面积曲边梯形的面积二二 参数方程参数方程例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积. tbytaxsincos aydxA04 02)cos(sin4ta

8、tdbdttab 202sin4.ab 椭圆的参数方程椭圆的参数方程解解由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 设由曲线设由曲线)( j j r及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( j j在在, 上连续，且上连续，且0)( j jxo d d j jddA2)(21 .)(212 j j dA 三、极坐标系情形三、极坐标系情形)( j j r曲边扇形的面积曲边扇形的面积面积元素面积元素例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.14AA daA2cos214402 .

9、2a xy 222cosa1A解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例 6 6 求心形线求心形线)cos1( ar所围平面图形的所围平面图形的面积面积)0( a.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0解解利用对称性知利用对称性知例例7 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3 , 2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线

10、轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.解：解：1S2Sx y o )(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf两边同时对两边同时对 求导求导xyxyxf 22)(3yyx 2,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 , 2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数.223xy 积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(补充:定

11、积分的元素法曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（1）把把区区间间,ba分分成成n个个长长度度为为ix 的的小小区区间间，相相应应的的曲曲边边梯梯形形被被分分为为n个个小小窄窄曲曲边边梯梯形形，第第i个个小小窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为iA ，则则 niiAA1. （2）计算）计算iA 的近似值的近似值 iiixfA )( iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA （4） 求极限，得

12、求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(ab xyo)(xfy 提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素当所求量当所求量U符合下列条件：符合下列条件：（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量； （2）U对对于于区区间间 ba,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部分分区区间间，则

13、则U相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和； （3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量U元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间为积分变量，并确定它的变化区间,ba； 2) 设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任 一一小小区区间间并并记记为为,dxxx ，求求出出相相应应于于这这 小小区区间间的的部部分分量量U 的的

14、近近似似值值.如如果果U 能能近近 似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的 值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U 的的元元素素且且记记作作dU，即即dxxfdU)( ； 3) 以所求量以所求量U的元素的元素dxxf)(为被积表达式，在为被积表达式，在 区间区间,ba上作定积分，得上作定积分，得 badxxfU)(，即，即 为所求量为所求量U的积分表达式的积分表达式. 这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积，体积。平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。经济应用。其他应用。xyo)(xfy

15、 ab平面图形的面积xxx 第一步：取其中任第一步：取其中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx ，求出，求出相应于这小区间的相应于这小区间的部分量部分量A 的近似的近似值，记作值，记作dA； 如何用元素法分析？如何用元素法分析？dAxyo)(xfy ab平面图形的面积xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？ xxfA 第一步：取其中任第一步：取其中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx ，求出，求出相应于这小区间的相应于这小区间的部分量部分量A 的近似的近似值，记作值，记作dA； xyo)(xfy ab第二步：写出面积第二步：写出面积表达式。表达式。 badxxfA)(平面图形的面积

16、xxx 如何用元素法分析？如何用元素法分析？ dxxfdAxyo)(1xfy )(2xfy ab平面图形的面积xxx 第一步：取其中任第一步：取其中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx ，求出，求出相应于这小区间的相应于这小区间的部分量部分量A 的近似的近似值，记作值，记作dA； 如何用元素法分析？如何用元素法分析？dAxyo)(1xfy )(2xfy ab badxxfxfA)()(12平面图形的面积xxx 第二步：写出面积第二步：写出面积表达式。表达式。如何用元素法分析？如何用元素法分析？ dxxfxfdA12 )1 , 1()0 , 0(dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量

17、x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素微元法微元法求平面图形的面积举例求平面图形的面积举例).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 解解两曲线的交点两曲线的交点于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.dy)yy(A1824422 xy22 4 xy两曲线的交点两曲线的交点解解求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）三、小结作业作业: P242 1-6