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1、1 第六章二次根式高频考点考查频率所占分值1二次根式有意义的条件2二次根式的性质与化简3最简二次根式4二次根式的乘除法37 分5二次根式的加减法6二次根式的混合运算7二次根式的化简求值知能图谱二次根式的有关概念二次根式：0a a的式子叫做二次根式最简二次根式：被开方数中不含分母；被开方式中不含能开得尽方的因式二次根式的性质20aa a0,0abab ab0,0aaabbb300a aaaa a二次根式的乘法法则：0,0abab ab逆用：0,0abab ab( 积的算术平方根)二次根式的除法法则：0,0aaabbb逆用：0,0aaabbb( 商的算术平方根)二次根式的加减实质：合并化成最简二次
2、根式后被开方式相同的二次根式步骤将每个二次根式化为最简二次根式找出同类二次根式合并同类二次根式二次根式的混合运算顺序：与有理数的运算顺序一样有理数混合运算与无理数混合运算的综合第 13 讲二次根式的有关概念及性质知识能力解读知能解读 (一) 二次根式一般地，形如0a a的式子叫作二次根式， “”称为二次根号其中a叫作被二次根式的乘除二次根式的化简与计算二次根式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 开方数，a为整式或
3、分式，如21x，6，3 2等注意： 对定义的理解要注意三点：(1) 从形式上看必须含有二次根号“” ；(2) 在二次根式中，被开方数a必须满足0a，且a可以是一个数，也可以是含字母的代数式；(3)二次根式0a a表示非负数a的算术平方根( 二) 最简二次根式满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：(1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式化去根号内的分母将二次根式化成最简二次根式的步骤：如果根号内的分母是一个平方数( 式) ，可直接利用商的算术平方根的性质，分子、分母分别开方； 如果分母不能开得尽方，则被开方数中的分子、分母同乘个适当的不为零的数( 式)，使分母成
4、为一个平方数( 式) ，其根据是分式的基本性质( 三) 同类二次根式( 拓展 ) 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式注意： (1) 同类二次根式类似于整式中的同类项，如2 3和132是同类二次根式，2x和5 2x也是同类二次根式(2) 定义中强调在化成最简二次根式后，要满足“两相同”，即根指数是2，被开方数相同，这一定义的应用很广(3) 几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同，如12，8，18等都是同类二次根式，判断的关键是能熟练地化二次根式为最简二次根式( 四) 二次根式的性质(1)0aa a；(2)200a aaaa a；(3
5、) 积的算术平方根的性质：0,0abab ab；(4) 商的算术平方根的性质：0,0aaabbb注意： 对性质的理解和应用注意以下几点：1 性质20aa a的应用：可把任何一个非负数写成平方的形式，即可逆用 如255，故因式分解可在实数范围内进行，如2222xxx也可以用平方运算去掉根号22aa这一性质的主要应用：(1) 正向应用于二次根式的化简与计算；(2) 逆向应用时可将根号外的非负因式移到根号内，如22 22283积、商的算术平方根的性质是化简二次根式的重要依据(1)0,0abab ab该表达式有两个特点：这个性质是针对算术平方根而言的；等式左边是两个非负数a，b的积的算术平方根，右边是
6、这两个非负数a，b的算术平方根的积(2) 对商的算术平方根的性质的理解：这个性质是针对算术平方根而言的；等式左边是两个非负数( 除数不为 0)的商的算术平方根，右边是被除式的算术平方根除以除式的算名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 术平方根；在实际解题时，若不考虑a，b的正、负，得aabb是错误的，如：4499在实数范围内无意义方法技巧归纳方法技巧 (一) 二次根式概念问题的解题方法1二次根式的识别方法2二次根式
7、a有意义的条件是0a( 二) 利用二次根式的性质解决问题的方法1性质20aa a与2aa的应用20aa a，正用该性质，可以计算形如2a的式子，如255，22211mm；逆用该性质，可以把一个非负数写成它的算术平方根的平方，如233，用它可以在实数范围内对多项式分解因式在化简2a时，一定要明确被开方数的底数a是非负数还是负数：若是非负数，则等于它本身，即20aaa a；若是负数，则等于a的相反数a，即20aaa a2性质0,0abab ab和0,0aaabbb的应用( 三) 最简二次根式的识别方法判断断一个二次根式是否为最简二次根式的标准有两条：一是被开方数的因数是整数，因式是整式；二是被开方
8、数中不含能开得尽方的因数或因式( 四) 用同类二次根式的概念解题( 拓展 ) ( 五) 二次根式中的化简技巧易混易错辨析易混易错知识120aa与2a的异同式子异同点20aa2a不同点意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根取值a是非负数a是任意实数结果20aa a200a aaaa a相同点20aa与2a本身都是非负数，且当0a时，22aa2忽略积、 商的算术平方根公式中被开方数应满足的条件abab中易忽略，0a，0b的条件；aabb中易忽略0a，0b的条件易混易错 ( 一) 二次根式的概念理解不透名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
9、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 ( 二) 不能正确运用积、商的算术平方根公式中的条件中考试题研究中考命题规律本讲的主要考点是二次根式的概念、最简二次根式的概念及用二次根式的性质进行计算、化简，题型以填空题、选择题为主，近几年中考出现了估算、规律探究等新题型中考试题 ( 一) 二次根式有意义的条件( 二) 二次根式的性质与化简( 三) 最简二次根式第 14 讲二次根式的运算知识能力解读知能解读 (一) 二次根式的乘法法则：0,0abab ab说明： (1) 此法则是积的算术平
10、方根性质0,0abab ab的逆用(2) 此法则可推广到多个二次根式相乘，即0,0,0,0abcdabcd abcd( 二) 二次根式的除法法则：0,0aaabbb此法则是逆用商的算术平方根的性质得到的如果a，b是负数，那么a，b在实数范围内没有意义如果0b，那么ab，ab无意义( 三) 二次根式的加减二次根式进行加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并注意： (1) 与整式的加减类似，二次根式的加减，就是化简后合并被开方数相同的二次根式合并时只将二次根式中的“系数”相加减，被开方数和根指数不变如3 332 3(2) 二次根式中的系数不能写成带分数如273
11、55533，而不能写成1253(3) 二次根式的加法也满足加法交换律和结合律( 四) 二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减， 有括号的先算括号内的运算结果应化为最简二次根式或整式有理数 ( 式) 中的运算律及多项式乘法、乘法公式在二次根式的运算中仍然适用如： (1)2aab型，可用分配律化简，即原式222aabaab(2)220,0abababab ab，即用平方差公式(3)222220,0abaabbabab ab，即用完全平方公式(4)abab型( 五) 分母有理化 ( 拓展点 ) 有理化因式： 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不
12、含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式，如a和a；ab和ab互为有理化因式二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化分母有理化的依据是：分式的基本性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号注意： 分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，如0a a的有理化因式是a，0,0ababab且的有理化因式是a
13、b方法技巧归纳方法技巧 (一) 二次根式乘法的解题方法二次根式相乘就是把各因式的“系数”的积作为积的“系数”，各被开方数的积作为被开方数，根指数不变，计算结果必须化成最简二次根式或整式( 二) 二次根式除法的解题方法商的算术平方根的性质0,0aaabbb反过来就是二次根式的除法法则，与二次根式的乘法法则类似，要求能正、反应用公式化简二次根式1法则的直接应用2分母有理化的方法( 拓展) 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化，具体做法：0,0aabababbbbb； 也可以通过类比分式中的“约分”进行分母有理化，如20ababa b bbb( 三) 二次根式加减的解题方法二次根式加减的实质就是合
14、并被开方数相同的二次根式一般步骤：(1) 将每一个二次根式化为最简二次根式；(2) 找出其中的被开方数相同的二次根式，再合并( 四) 二次根式的混合运算技巧二次根式混合运算与有理数的混合运算一样，使用运算律可使计算简便( 五) 二次根式化简求值的技巧在二次根式的化简求值过程中，根据代数式的特点将某些含有字母的代数式的值整体代入，会使计算更简便( 六) 根号外因式移到根号内的技巧二次根式的化简就是把被开方数中能开得尽方的因式，用它的算术平方根代替，移到根号外边反过来，根号外的因式要移到根号内，该因式必须是非负因式，平方后移到根号内即可若根号外的因式是负数或负因式，则变形为正数或正因式后再移动易混
15、易错辨析易混易错知识1忽视公式、法则成立的条件例如在abab中忽视0a，0b，在aabb中忽视0a，0b在化简xyxy时，分子、分母都乘xy，忽视了0 xy的可能情况，而出现22xyxyxyxyxyxy的错误解法正解解法应该是：22xyxyxyxyxy2因式内移时，符号出错名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 如把1aa根号外的因式移到根号内，应考虑a本身的正负性，由10a知0a，故根号外的a不能直接移到根号内，2
16、111aaaaaaa即当把个负数移入根号内时，要把负号留在根号外，把它的绝对值的平方移入根号内，防止出现类似“211aaaaa”的错误3做二次根式的加法时，不能合并的合并了如出现类似“32aaa”的错误易混易错不能运用运算律的，错用运算律中考试题研究中考命题规律本讲在中考中重点考查二次根式的计算、化简与求值， 题型有填空题、 选择题、 解答题，还常与分式、一元二次方程、函数结合出综合题，近几年规律探究题的考查呈上升趋势，应予以关注中考试题 ( 一) 二次根式的运算( 二) 二次根式的化简求值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -