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1、 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数我们在上学期所学的定积分，其是一类和式的我们在上学期所学的定积分，其是一类和式的极限。极限。有限和的极限实际上是无穷多个数相加之和，有限和的极限实际上是无穷多个数相加之和，前面所述和式的极限存在实质是指无穷多项相前面所述和式的极限存在实质是指无穷多项相加之和是一个确定的数。加之和是一个确定的数。这一章我们专门研究无穷和的问题，并把无穷这一章我们专门研究无穷和的问题，并把无穷多个数相加的式子叫做无穷级数，当
2、然在不至多个数相加的式子叫做无穷级数，当然在不至于引起混淆的情况下把无穷级数简称为级数。于引起混淆的情况下把无穷级数简称为级数。第一节第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2, 1,0(23nn边形, 这个和逼近于圆的面积 A .0a1a2aL Lna设 a0 表示,时n即012nAaaaaLLLL内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正边形面积为n23引例引例2. 计算棒长计算棒长.n,1 1 1 11,2 4 8 16211
3、111S =248162nnLLL一尺之棰日取其半 万世不竭.棰长形成一个无穷数列到第n天，数列前n项之和：1 1 1 11,2 4 8 162nLL把相加的表达式称为无穷级数显然显然 小于小于1， 并且并且n值愈大，其数值愈接值愈大，其数值愈接近于近于1，当，当 时，时， 的极限为的极限为1.n nSnS引例引例3. 斐波那契数列斐波那契数列若一个数列，前两项都等于若一个数列，前两项都等于1 1，从第三项起，每一项都，从第三项起，每一项都是其前两项之和，则称该数列为斐波动那契数列是其前两项之和，则称该数列为斐波动那契数列. .令令1,2,3,n L L依次写出依次写出，就是，就是nF1,1,
4、2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,L L11111123!en LL！例例4.无理数无理数e是一个重要而有趣味的数字，在数学和是一个重要而有趣味的数字，在数学和2.718281828459045e 自然科学中，它有着很多的应用，这个数可以用级数自然科学中，它有着很多的应用，这个数可以用级数表示为：表示为：关于无穷大关于无穷大有限与无限有限与无限 有着本质区别有着本质区别史铁生在史铁生在“说死说活说死说活” 9 无限小与无限大无限小与无限大 你在变动不居之中。或者干脆说，你就是变动不你在变动不居之中。或者干脆说，你就是变动不居：变动不居的细胞组成、变动不居的思
5、绪结构、变居：变动不居的细胞组成、变动不居的思绪结构、变动不居的经历之网。你一直变而不居，分分秒秒的你动不居的经历之网。你一直变而不居，分分秒秒的你都不一样，你就像赫拉克利特的河，倏忽而不再。你都不一样，你就像赫拉克利特的河，倏忽而不再。你的形转瞬即逝，你的肉身无限短暂。的形转瞬即逝，你的肉身无限短暂。 可是，变动不居的思绪与经历，必定是牵系于变可是，变动不居的思绪与经历，必定是牵系于变动不居的整个世界。正像一个音符的存在，必是由于动不居的整个世界。正像一个音符的存在，必是由于乐曲中每一个音符的推动与召唤。因此，每一个音符乐曲中每一个音符的推动与召唤。因此，每一个音符中都有全部乐曲的律动，每一
6、个浪的涌落都携带了水中都有全部乐曲的律动，每一个浪的涌落都携带了水的亘古欲望，每一个人的灵魂都牵系着无限存在的消的亘古欲望，每一个人的灵魂都牵系着无限存在的消息。息。 顾沛释希尔伯特的例子：有无限个房间的旅馆顾沛释希尔伯特的例子：有无限个房间的旅馆 现实世界中旅馆只有有限个房间。有无限个（可现实世界中旅馆只有有限个房间。有无限个（可数无穷）房间的旅馆是人脑的产物。为了叙述方便起数无穷）房间的旅馆是人脑的产物。为了叙述方便起见，不妨设一个房间只住一个客人。客满是指无穷个见，不妨设一个房间只住一个客人。客满是指无穷个客人，住进了这无穷个房间，每一个房间都有人住。客人，住进了这无穷个房间，每一个房间
7、都有人住。1.1.这样的旅馆客满之后又来了这样的旅馆客满之后又来了1 1位客人，老板能否安排位客人，老板能否安排12345234561kkLLLLLL2.2.这样的旅馆客满之后又来了一个旅游团，旅游团中有这样的旅馆客满之后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板能否安排无穷个客人，老板能否安排123424682kkLLLLLL定义： 给定一个数列123,nuuuuLLLL将各项依,1nnu即1nnu123nuuuuLLLL称上式为(常数项)无穷级数无穷级数，简称(常数项) 级数级数.其中第 n 项nu叫做级数的一般项,次相加, 简记为级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和.当n依
8、次取1,2,3,时,它们构成一个新的数列:112123123,su suu suuuL12,nnsuuuLL称为部分和数列,记作 ns123nuuuuLLLL1nnuS当级数收敛时, 称差值21nnnnuuSSr为级数的余项余项.,lim不存在若nnS则称无穷级数发散发散 .显然0limnnr,lim存在若SSnn收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和, 记作即即 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )部分和数列收敛，极限值部分和数列收敛，极限值S叫做级数的和，并写成叫做级数的和，并写成123nSuuuuL L注：收敛级数才有注：
9、收敛级数才有“和和”的概念。的概念。333310100100010nLL13333310100100010nLL111123nLL无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”,.aLL L周长数列43a243a（ ）143na（ ）观察
10、雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形播放播放, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周长为周长为面积为面积为)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉：次分叉：n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面
11、积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛） 122121211n ) 11 () 11 () 11 ( n321 111111收敛收敛发散发散无穷级数收敛性再举例无穷级数收敛性再举例认识几个常用的级数 1 3121111 nnn 1 3121111 nnn 1 3121111 nnn调和级数 ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn ) 1(1 321211) 1(11 nnnnn 20 nnnaqaqaqaaq 20 nnnaqaqaqaaq几何级数 1 31211 11 pppnpnn 1 31211 11 pppn
12、pnn 1 31211 11 pppnpnn级数的展开形式备注一般项简写形式等比级数aqn-1p级数 例1. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和23ln34lnnn1ln(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和1)111 (lim
13、limnSnnn 例*. 判别级数2211lnnn的敛散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原级数收敛 , 其和为.2ln111123n证明调和级数证明调和级数 发散发散nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .级数发散级数发散)(210 n便有便有.这是不可能的这是不
14、可能的例2.()(2 )(1) aadadand证明算术级数证明算术级数例3.（其中（其中 不同时为零）不同时为零）, a d发散发散解解 部分和部分和dnnnaSn2) 1( 2) 1(limlimdnnnaSnnn所以上述算术级数发散。所以上述算术级数发散。解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn用 “拆项相消拆项相消” 求和法)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛例4. 讨论等比级数讨论等比级数 (又称几何级
15、数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q, 0limnnq由于从而qannS1lim因此级数收敛 ,;1 qa,1时当q,limnnq由于从而,limnnS则部分和因此级数发散 .其和为2). 若,1q,1时当qanSn因此级数发散 ;,1时当qaaaaan 1) 1(因此nSn 为奇数n 为偶数从而nnSlim综合 1)、2)可知,1q时, 等比级数收敛 ;1q时, 等比级数发散 .则,级数成为,a,0不存在 , 因此级数发散.二、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数1nnu收敛于 S ,
16、1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛 ,证证: 令,1nkknuS则nkknuc1,nScnnlimSc这说明1nnuc收敛 , 其和为 c S . nnSclim说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .例如例如: 发散121nn例如例如: 收敛。1111111)32(232232nnnnnnnn性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S证证: 令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S讨论级数 的收敛性11
17、11223nnnn11122333nnnnnn11122nn2/3361/3 11112823nnnn说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则)(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)性质3. 在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的敛散性.证证: 将级数1nnu的前 k 项去掉,1nnku的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为.kSS 类似可证前面
18、加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证: 设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(mm为原级数部分和序列 ),2,1(nSn的一个子序列,nnmmS limlimS因此必有例如注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0) 11 () 11 (但1111发散.例如，注意注意: 收敛级数可以加括弧.其收敛性不变推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.用反证法可证用反证法可证注意注意: 正项级数加括弧与去括弧均不影响其敛散性。例3
19、.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散 ,从而原级数发散 .nn121例3.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:101211031211021211012132nn收敛nn211发散nn1011发散)10121(1nnn原级数发散设收敛级数,1nnuS则必有.0limnnu证证: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS性质性质5.(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散
20、则级数必发散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般项为1) 1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当1( 1)21nnnn( 1)1lim| lim0212nnnnnun再如再如,因此这个级数发散.例如例如, 调和级数nnn13121111虽然，01limlimnunnn但此级数发散 .0limnnu并非级数收敛的充分条件.0111313233nnnn再如再如例*.判断级数的敛散性判断级数的敛散性,若收敛求其和若收敛求其和.321132nnnn分析nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(n)2)(1(1n
21、nnnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121进行拆项相消进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛 ,.41其和为)2)(1(121121nnnnn23123)2)(1(1) 1(121nnnn作业 P442-4433 (1) (3)4 (2) (5) (6)观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长
22、为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形