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1、用观察法妙解一元二次方程 对于一元二次方程的解法，我们现行课本里介绍了配方法、公式法，删去了十字相乘法一般教师在教学中并不重视观察法解一元二次方程，因此学生在运用上述方法解题时，只能用纸和笔来计算，本着培养学生能力的目的，笔者认为，教学中应适当教会学生用观察法进行心算 本文与大家共同探讨，如何用观察法并结合心算解一元二次方程 先看课本上的几个应用题 北师大版数学课本九年级（上）“配方法”中，在例1解方程x28x90和随堂练习之后，马上在与之配套的习题中安排了这样的题目： 例1 如图1，在一块长35m，宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分
2、栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？ 分析 此题列出方程后，要求学生用配方法解有很大困难 可设道路的宽为xm，根据题意，得 （35x）(26x)850 将方程化成一般式是x261x600这里方程的一次项系数为奇数，与课本例题不同，且数据较大，学生无法套用课本例题来解 该课本又在复习题“知识技能”部分（基础题部分），安排了这样的题目： 例2 一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围绕着宽度等的小路，已知小路的面积为246m2，求小路的宽度 分析 此题列出方程后，解方程更难于上题 设道路的宽为xm，根据题意，得 2x（152x）220x246 此方程化简后为
3、2x235x1230 学生一般用求根公式法解，难以解出最后结果 可见，配方法、求根公式法解一元二次方程在操作层面上存在许多不便，学生往往运用起来困难重重，鉴于此，有教师补充了十字相乘法，但十字相乘法看似比配方法、求根公式法方便，实际上仍然需要大量运算，稍不留心也容易出错，笔者了解到，不少教师实际教学中补充了十字相乘法，也没有收到理想的效果 笔者认为，用观察法解这类有整数根的一元二次方程，可以解决上述教学中的矛盾 比如，对第一个应用题的方程x261x600，先观察其特点，试算出一个绝对值较小的根x1，而后用韦达定理得x161或x160，求出另一个根x60 只要学生心算出了第一个根，求第二个根就转
4、化为解最简一元一次方程了，仍然可以心算，这对初三学生来说，这难道不可以是基本要求吗？ 第二个应用题的方程2x235x1230，可根据x应为较小的正数，试算先得出一个根x3，然后由韦达定理x3或3x，求出第二个根x20.5 多么简单的方法！ 再看题目：解方程x23x1300 先进行观察估算、试算出：x10，再用韦达定理x103或10x130，求出第二个根x13 最后看一个极端的例子，2007年四川省绵阳市的中考题， 例3 已知x1，x2是关于x的方程(x2)(xm)（p2）(pm)的两个实数根 (1)求x1，x2的值； (2)略 参考答案的解法： 原方程变为： x2(m2)x2mp2(m2)p2
5、m， x2p2(m2)x(m2)p0， （xp）（xp）(m2)(xp)0， 即(xp)（xpm2）0， x1p，x2m2p 此过程涉及分组分解法，已超课标要求，即便学生动笔求解也不容易用十字相乘法也较麻烦，用配方法、公式法更难而用观察法加韦达定理就易如反掌 因为原方程 (x2)（xm)(p2)(pm)左右两边结构是一样的，仅仅是x换成了p，所以用观察法很容易得出一个根xp然后把原方程左边展开，整理出二次项、一次项系数，就可用韦达定理的两根之和那个关系式心算出另一个根xm2p 综上所述，当用配方法、公式法解一元二次方程比较困难的时候，可以考虑用观察法试算，先得出一个根，再用韦达定理得出另一个根实际上，十字相乘法的本质也是观察试算，不能观察试算的题也不能用十字相乘法但相比之下，观察试算法更简单，不易出错2