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1、提能专训(六)等差、等比数列的概念与性质一、选择题1(2013吉林延边质检)已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d(d1)，且a1b1，a4b4，a10b10，则a1和d的值分别为()A.，B， C， D.，D解题思路：由得由两式得a1，代入式中，3dd3，化简得d93d320，即(d31)(d6d32)0， d1， 由d6d320，得d，a1d.2(2013成都第二次诊断测试)已知数列an满足an2an1an1an，nN*，且a5.若函数f(x)sin 2x2cos2，记ynf(an)，则数列yn的前9项和为()A0 B9 C9 D1C命题立意：本题考查等差数列的定义与性质及诱导公
2、式的应用，考查综合分析能力，难度中等解题思路：据已知得2an1anan2，即数列an为等差数列，又f(x)sin 2x2sin 2x1cos x，因为a1a9a2a82a5，故cos a1cos a9cos a2cos a8cos a50，又2a12a92a22a84a52，故sin 2a1sin 2a9sin 2a2sin 2a8sin 2a50，故数列yn的前9项之和为9，故选C.3(2013西宁质检一)已知数列an满足an1anan1(n2)，a11，a23，记Sna1a2an，则下列结论正确的是()Aa1001，S1005 Ba1003，S1005Ca1003，S1002 Da1001
3、，S1002A命题立意：本题考查数列的性质与求和，难度中等解题思路：依题意，得an2an1anan1，即an3an，an6an3an，数列an的项是以6为周期重复性地出现，且a1a2a3a4a5a6(a1a4)(a2a5)(a3a6)0；注意到1006164，因此S100160a1a2a3a4(a1a4)a2a3a2(a2a1)2a2a15，a100a4a11，故选A.4(2013天津十二区联考)已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a11，Sn是数列an的前n项的和，则(nN*)的最小值为()A4 B3 C22 D.A命题立意：本题考查等差数列的通项公式与求和公式以及
4、均值不等式的应用，难度中等解题思路：据题意由a1，a3，a13成等比数列可得(12d)2112d，解得d2，故an2n1，Snn2，因此(n1)2，根据均值不等式，知(n1)2224，当n2时取得最小值4，故选A.5(2013杭州质检一)设等差数列an的前n项和为Sn，若ama1am1(mN*，且m2)，则必定有()ASm0，且Sm10 BSm0，且Sm10CSm0，且Sm10 DSm0，且Sm10A命题立意：本题考查等差数列的性质及前n项和公式的应用，难度中等解题思路：据已知可得a1am0，a1am10，又Sm0，Sm10，故选A.6(2013郑州质检二)在数列an中，an1can(c为非零
5、常数)，前n项和为Sn3nk，则实数k为()A1 B0 C1 D2A命题立意：本题考查等比数列的定义、数列的前n项和公式与通项间的关系，难度中等解题思路：依题意得，数列an是等比数列，a13k，a2S2S16，a3S3S218,6218(3k)，解得k1，故选A.二、填空题7(2013福建龙岩质检)已知数列an的首项为2，数列bn为等差数列且bnan1an(nN*)若b22，b78，则a8_.16解题思路： bn为等差数列，且b22，b78，设其公差为d， b7b25d，即825d. d2. bn2(n2)22n6. an1an2n6.由a2a1216，a3a2226，anan12(n1)6，
6、累加得：ana12(12n1)6(n1)n27n6， ann27n8. a816.8公差不为0的等差数列an的部分项ak1，ak2，ak3，构成等比数列，且k11，k22，k36，则k4_.22命题立意：本题考查等差与等比数列的定义与通项公式的应用，难度中等解题思路：据题意知等差数列的a1，a2，a6成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1d)2a1(a15d)，解得d3a1，故a24a1，a616a1ak464a1a1(k41)(3a1)，解得k422.9(2013山东济宁一模)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_命题立意：本题主要考查累加法，难度中等解题思路：因为a
7、133，an1an2n，故利用累加法表示：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1，那么可知n1，借助于函数的性质可知当n6时，取得最小值为.10(2013银川联考)已知数列an满足a11，an(n2)，则数列an的通项公式为an_.命题立意：本题主要考查等差数列的定义与通项公式等知识，意在考查考生的观察能力、化归与转化能力、运算能力解题思路：依题意，得(n2)，因此数列是以1为首项、为公差的等差数列，于是有1(n1)，an.三、解答题11(2013长沙高考模拟)已知Sn是正数数列an的前n项和，S，S，S，是以3为首项、1为公差的等差数列；数列bn为无穷等比数列，其前四项之和为12
8、0，第二项与第四项之和为90.(1)求an，bn；(2)从数列中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于？若能的话，请写出这个数列的第一项和公比；若不能的话，请说明理由解析：(1)S是以3为首项，以1为公差的等差数列，所以S3(n1)n2.因为an0，所以Sn(nN*)，当n2时，anSnSn1，又a1S1，所以an设bn的首项为b1，公比为q，则有所以即bn3n(nN*)(2)n，设可以挑出一个无穷等比数列cn，首项为c1p，公比为k(p，kN*)，它的各项和等于，则有，所以p，当pk时，3p3pk8，即3pk(3k1)8，因为p，kN*，所以只有当pk0，k2，即pk2时，数列cn的各
9、项和为.当pk时，3k183kp，因为kp，右边含有3的因数，而左边非3的倍数，故不存在p，kN*，所以存在唯一的等比数列cn，首项为，公比为，使它的各项和等于.12(2013武汉4月调研)已知数列an是公比大于1的等比数列，对任意的nN*，有an1a1a2an1an.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足：bn(log3a1log3a2log3anlog3t)(nN*)，若bn为等差数列，求实数t的值及数列bn的通项公式解析：(1)解法一：设an的公比为q，则由题设，得即由，得a1q2a1qa1a1q，即2a1q27a1q3a10， a10， 2q27q30，解得q(舍去)或q3，
10、将q3代入，得a11， an3n1.解法二：设an的公比为q，则由已知，得a1qna1qn1，即a1qnqn，比较系数得解得(舍去)或 an3n1.(2)由(1)，得bn(log330log331log33n1log3t)12(n1)log3tlog3t. bn为等差数列， bn1bn等于一个与n无关的常数，而bn1bnlog3t， log3t0， t1，此时bn.13(2013山东济宁一模)已知数列an的前n项和Snann12(nN*)，数列bn满足bn2nan.(1)求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)设cnlog2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn(nN*)的n的最大值解析：(1)证明：在Snann12中，令n1，可得S1a112a1，得a1.当n2时，Sn1an1n22， anSnSn1anan1n1，即2anan1n1. 2nan2n1an11. bn2nan， bnbn11.又b12a11， bn是以1为首项，1为公差的等差数列于是bn1(n1)1n， an.(2) cnlog2log22nn， . Tn1.由Tn，得1，即，f(n)单调递减， f(3)，f(4)，f(5)， n的最大值为4.6