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1、第1讲集合与简易逻辑、平面向量A组【选题明细表】知识点、方法题号集合的关系与运算1、2、4、7、11四种命题5、9、14充分、必要条件3、6、8、12逻辑联结词10、13一、选择题1.(2013年高考江西卷)若集合A=xR|ax2+ax+1=0中只有一个元素,则a=(A)(A)4(B)2(C)0(D)0或4解析:由题意知方程ax2+ax+1=0只有一个实数根或有两相等的实数根,当a=0时方程无解.a0时由=a2-4a=0解得a=4,故选A.2.(2013年高考新课标全国卷)已知集合M=x|-3x1,N=-3,-2,-1,0,1,则MN=(C)(A)-2,-1,0,1(B)-3,-2,-1,0(
2、C)-2,-1,0(D)-3,-2,-1解析:MN=-2,-1,0.故选C.3.(2012年高考浙江卷)设aR,则“a=1”是直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行的(C)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若l1l2,则2a-2=0,a=1,故a=1是l1l2的充要条件,故选C.4.设全集U=R,A=xN|1x5,B=xR|x2-x-2=0,则图中阴影表示的集合为(A)(A)-1 (B)2(C)3,4,5(D)3,4解析:由题图知,阴影部分表示的集合是(UA)B,而UA=xN|x5,B=-1,2,(UA)B=-1,故
3、选A.5.下列命题中正确的是(B)“若x2+y20,则x、y不全为零”的否命题;“正多边形都相似”的逆命题;“若m0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.(A)(B)(C)(D)解析:的否命题是:“若x2+y2=0,则x、y全为零”,显然正确;的逆命题是:“相似的多边形都是正多边形”,不正确;的逆否命题是:“若x2+x-m=0无实根,则m0”,由方程x2+x-m=0无实根的条件是0,即m-,显然m0,所以正确;故选B.6.(2013北京东城模拟)“”是“cos ”的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:法一当时,由=-可以得出cos =
4、,故“”不是“cos ”的充分条件;但当cos 时,一定不会有=,故“”是“cos ”的必要不充分条件.故选B.法二原命题的逆否命题是:“cos =”是“=”的什么条件.当cos =时,=2k+(kZ);当=时,cos =.显然“cos =”是“=”的必要不充分条件,因为原命题与逆否命题是等价的,故选B.7.对于全集U及任意两个集合A、B,定义AB=y|y=ab,aAB,bU(AB),若U=1,2,3,4,5,6,A=1,2,3,B=2,3,5,则AB中所有元素的和为(B)(A)28 (B)38 (C)50 (D)62解析:由条件可知AB=2,3,U(AB)=4,6,则AB=8,12,18,故
5、AB中所有元素的和为38,故选B.8.设a与b-c都是非零向量,命题p:“ab=ac”是命题q:“a(b-c)”的(C)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件解析:若ab=ac,则ab-ac=0,即a(b-c)=0,由于a与b-c都是非零向量,a(b-c),反之,若a(b-c),则a(b-c)=0,即ab-ac=0,ab=ac,所以pq且qp,即p是q的充要条件,故选C.9.已知命题p:“在ABC中,若=,则|=|”,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是(D)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:因为-A-B0,命题p:曲线y=x2
6、+(a-1)x+a2与x轴无公共点,命题q:函数y=(4a2+3a)x在(0,+)上为增函数,若p或q为真命题,则a的取值范围是(B)(A),+)(B)(,+)(C)（, (D)(,)解析:p或q是真命题,等价于p真q真、p真q假或q真p假,可得或或故p或q是真命题时,a的取值范围是a,故选B.二、填空题11.(2011年高考江苏卷)已知集合A=1,2,4,B=2,4,6,则AB=.解析:AB=1,2,42,4,6=1,2,4,6.答案:1,2,4,612.已知函数y=lg(4-x)的定义域为A,集合B=x|xa,若P:“xA”是Q:“xB”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.解析:易知A
7、=x|x4.答案:(4,+)13.已知命题p:|x-1|+|x+1|3a恒成立,命题q:y=(2a-1)x为减函数,若p且q为真命题,则a的取值范围是.解析:注意到|x-1|+|x+1|(x-1)-(x+1)|=2,当-1x1时,等号成立,即|x-1|+|x+1|的最小值是2.若不等式|x-1|+|x+1|3a恒成立,则3a2,即a.若函数y=(2a-1)x为减函数,则02a-11,即a1.由“p且q为真命题”得,命题p,q均为真命题,因此有即a,故a的取值范围是(,.答案:(,14.给出以下命题:已知集合A=x|log2x2,B=x|xB”的充要条件是“sin Asin B”;“若ab=0,
8、则a=0”的否命题;“若m1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题.其中为假命题的序号是.解析:A=x|04,所以是假命题;若AB,则ab,由=得sin Asin B,反之亦然,所以是真命题;“若ab=0,则a=0”的否命题“若ab0,则a0”是真命题,即是真命题;由于方程x2-2x+m=0有实数解的充要条件是=4-4m0,即m1,所以是真命题.综上可知,只有为假命题.答案:B组【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的线性运算1、4、6、7、12平面向量的数量积2、3、5、6、11、13、14按向量平移9定比分点8、10一、选择题1.(2012年高考广东卷)若向量=(2,3),=(4,7)
9、,则=(A)(A)(-2,-4)(B)(2,4)(C)(6,10)(D)(-6,-10)解析:=(4,7),=(-4,-7),=+,=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4),故选A.2.(2013河北唐山市高三一模)已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为(B)(A)(B)(C)(D)解析:设a与b的夹角为,(a+2b)(a-b)=|a|2-ab+2ab-2|b|2=1+|a|b|cos -222=-6,cos =,又0,=.故选B.3.在ABC中,若AB=2,AC=1,=,则的值为(C)(A)-(B)(C)-(D)解析:由=知,D为BC的
10、中点,则=(+),又=(-),=(+)(-)=(-)=(12-22)=-,故选C.4.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b) c,则m=(B)(A)1(B)-1 (C)- (D)解析:a+b=(1,m-1),因为(a+b)c,则12+1(m-1)=0,m=-1,故选B.5.(2012年高考福建卷)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则ab的充要条件是(D)(A)x=-(B)x=-1(C)x=5(D)x=0解析:a=(x-1,2),b=(2,1),ab=2(x-1)+21=2x,又abab=0,2x=0,x=0.故选D.6.(2012年高考大纲全国卷)
11、ABC中,AB边的高为CD,若=a,=b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则=(D)(A)a-b(B)a-b(C)a-b(D)a-b解析:如图,ab=0,ab,ACB=90,AB=,又CDAB,AC2=ADAB,AD=,=(a-b)=a-b,故选D.7.如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么=(D)(A)-(B)+(C)+(D)-解析:在CEF中,有=+,因为点E为DC的中点,所以=.因为点F为BC的一个三等分点,所以=.所以=+=+=-.故选D.8.已知两点P1(-1,-6),P2(3,0),若点P(-,y)分有向线段所成的比为,则、y的值分别为(C)(A
12、)-,8(B),-8(C)-,-8(D)4,解析:依题意知,由此可解得=-,y=-8,故选C.9.函数y=cos(2x+)-2的图象F按向量a平移到F,F的函数解析式为y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,向量a可以等于(B)(A)(-,-2)(B)(-,2)(C)(,-2) (D)(,2)解析:设a=(h,k),则F:f(x)=cos(2x-2h+)-2+k为奇函数,k=2,-2h+=+n,h=-(nZ),故选B.10.已知点A(7,1),B(1,4),直线y=ax与线段AB交于点C,且=2,则实数a等于(A)(A)2(B)(C)1(D)解析:法一设C(x0,y0),则=(x0-7,y0-
13、1),=(1-x0,4-y0),依题意,=2,又C(3,3)在直线y=ax上,3=3a,a=2,故选A.法二设C(x0,y0),则C是AB的一个内分点,C分AB所成的比=2,x0=3,y0=3,C(3,3),又C在直线y=ax上,3=a,a=2,故选A.二、填空题11.(2012年高考安徽卷)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)b,则|a|=.解析:a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m),(a+c)b,(a+c)b=(3,3m)(m+1,1)=6m+3=0,m=-,a=(1,-1),|a|=.答案:12.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行
14、于y轴,a=(2,-1),则b=.解析:设b=(x,y),则a+b=(x+2,y-1),由于a+b平行于y轴,可得x+2=0,x=-2.又|a+b|=1,|y-1|=1,解得y=0或y=2,所以b=(-2,0)或(-2,2).答案:(-2,0)或(-2,2)13.(2013年高考新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.解析:在正方形ABCD中,=+,=+=-,=0,所以=(+)(-)=-=22-22=2.答案:214.(2012年高考北京卷)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为;的最大值为.解析:如图所示,以AB、AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,由于正方形边长为1,故B(1,0),C(1,1),D(0,1),又E在AB边上,故设E(t,0)(0t1),则=(t,-1),=(0,-1),故=1,又=(1,0),=(t,-1)(1,0)=t,又0t1,的最大值为1.答案:1112