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1、【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第7章 第2节 基本不等式 新人教B版一、选择题1(文)(2014福州模拟)已知a0，b0，则的最小值是()A2B2C4D5答案A解析a0，b0，ab0，ab2等号成立时ab，ab1，故选A.(理)(2014湖北随州中学模拟)函数ylog2xlogx2x的值域是()A(，1B3，)C1,3D(，13，)答案D解析由条件知x0，且x1，ylog2xlogx21，当x1时，log2x0，y213，等号成立时，x2；当0x1时，log2x1，b1”是“ab2且ab1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析a1
2、，b1，ab2，且ab1；当a，b时，ab2且ab1，但“a1，b1”不成立，故选A.3(2014安徽五模)已知向量a(x1,2)，b(4，y)，若ab，则9x3y的最小值为()A2B2C6D9答案C解析由题意知ab4(x1)2y0，2xy2，9x3y32x3y26，等号成立时，x，y2，故选C.4(文)(2013济宁模拟)已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值等于()A10B9C8D7答案B解析由条件知m恒成立，9.等号在ab时成立，m9，故选B.(理)(2014天津五校联考)已知a，b为正实数且ab1，若不等式(xy)()m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是()A4，)B
3、(，1C(，4D(，4)答案D解析因为(xy)()abab2224，当且仅当ab，时等号成立，即ab，xy时等号成立，故只要m1，b1，若axby2，a4，则的最大值为()A4 B3 C2 D1答案A解析依题意得4a2(当且仅当a时，等号成立)，则a4，a2b16，又xloga2，ylogb2，所以2log2alog2blog2(a2b)log2164，即的最大值是4，故选A.(理)设a0，b0，是a与b的等差中项，axby3，则的最大值等于()A.B1C.D2答案B解析由条件知ab2，xloga3，ylogb3，log3alog3blog3(ab)log321，等号在ab时成立，故选B.点评
4、将基本不等式与其他知识结合命制求最值的问题是高考命题中常见的一种方式，解题时先依据其他知识将条件与待求最值的表达式作适当变形、等价转化，使其具备应用基本不等式的条件是解题的关键6(2014上海松江期末)已知0a0B2abClog2alog2b2D2答案C解析由条件知0a1，log2a0，A错误；0ab，ab1，0a，b1，此时2ab，B错误；由22,2224，D错误；由ab12，即ab，因此log2alog2blog2(ab)0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_答案8解析(a1,1)，(b1,2)，与共线，2(a1)b10，即2ab1.a0，b0，()(2ab)4428
5、，当且仅当，即b，a时等号成立8(文)设圆x2y21的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为_答案2解析由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为1，则1，a2b2a2b22ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a0，b0，ab2，则AB|AB|2.(理)在等式“1”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是_答案4和12解析设两个括号中的正整数分别为x，y，则x0，y0，1，xy(xy)()1010216，等号在，即y3x时成立，由解得9(文)已知c是双曲线1(a0，b0)的半焦距，则的取值范围是_答案，1)解析由题设条件知，
6、abc，1，a2b2c2，()2，0)，从而P(，)，Q(，)则PQ4，当且仅当k1时，(PQ)min4.点评1.用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立2应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等3注意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，)，x00，则|PQ|2|OP|24，x0时取等号，更简捷的获解三、解答题10(2014江苏盐城一中检测)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米设
7、小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为(弧度)(1)求关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值解析(1)由题意，得30(10x)2(10x)，所以(0x10)(2)花坛的面积为(102x2)(5x)(10x)x25x50(0x0，b0,1a2b2，所以ab，当且仅当a2b时取等号又因为a24b22a(2b)4ab，令tab，所以f(t)4t，因为f(t)在(0，上单调递减，所以f(t)minf()，此时a2b，故选D.12(文)
8、(2014广东南雄黄坑中学月考)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则的最小值是()A2B4C2D42答案D解析由已知lg2xlg8ylg2得lg2x3ylg2，所以x3y1，所以()(x3y)442.(理)(2013山东鱼台一中质检)若ab0，则下列不等式一定不成立的是()A.log2bCa2b22a2b2Dbb0，log2b，B成立；ab0，ab，D成立；a2b22a2b2(a1)2(b1)20，a2b22a2b2，C不成立13(2014沈阳、云浮、佳木斯一中模拟、长春调研)若两个正实数x，y满足1，并且x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是()A(，2)(4，)B(，4)2，)C
9、(2,4)D(4,2)答案D解析x0，y0，且1，x2y(x2y)()4428，当且仅当，即x2y时取等号又1，x4，y2时，(x2y)min8.要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m恒成立，即8m22m，解得4maBacbCcbaDacb答案A解析解法1：特值法：令a0，则b1，c5，cba，排除B、D；令cb，则a2，bc5，也满足ba，排除C，选A.解法2：cb44aa2(2a)20，cb，已知两式作差得2b22a2，即b1a2，1a2a20，1a2a，ba，cba.二、填空题15(2014沈阳模拟)已知点A(m，n)在直线x2y20上，则2m4n的最小值为_答案4解析由
10、条件知m2n2，2m4n2m22n24，等号成立时，m1，n.所求最小值为4.16(2015广东揭阳一中期中)已知正实数x，y满足lnxlny0，且k(x2y)x24y2恒成立，则k的最大值是_答案解析由条件知x0，y0，xy1，x2y22，要使k(x2y)x24y2恒成立，只要k()min，(x2y)2，等号成章地，x，y，k.三、解答题17(2014湖南省五市十校联合检测)某化工企业2013年年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备x年
11、的年平均污水处理费用为y(单位：万元)(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解析(1)由题意得，y，则yx1.5(xN*)(2)由基本不等式得：yx1.521.521.5，当且仅当x，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备18(文)已知、都是锐角，且sinsincos()(1)当，求tan的值；(2)当tan取最大值时，求tan()的值解析(1)由条件知，sinsin，整理得sincos0，为锐角，tan.(2)由已知得sinsincoscossin2sin，tansincoss
12、in2tan，tan.当且仅当2tan时，取“”号，tan时，tan取得最大值，此时，tan().(理)(2014上海嘉定一模)已知函数f(x)x2(m为实常数)(1)若函数f(x)图象上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为，求实数m的值；(2)若函数yf(x)在区间2，)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；(3)设m0时，解得m1；当m0时，解得m1.所以m1或m1.(2)由题意，任取x1，x22，)，且x10.因为x2x10，x1x20，所以x1x2m0，即mx12，得x1x24，所以m4.所以m的取值范围是(，4(3)由f(x)kx，得x2kx.因为x，1，所以k1.令t，则t1,2，所以kmt22t1.令g(t)mt22t1，t1,2，于是，要使原不等式在x，1时有解，当且仅当kg(t)min(t1,2)因为m0.因为t1,2，所以当0，即m0时，g(t)ming(1)m3.综上，当m时，k4m5，)；当m0时，km3，)- 8 -