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1、姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 期末考试工科数学分析试卷A注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共十大题，满分100分，考试时间120分钟。题 号一二三四五六七八九十总分得 分评卷人一计算下列极限（每小题5分，共10分）（1）（2）二（10分）设为连续函数, 试确定常数a和b.三（10分）设参数方程确定了函数, 求与, 并判定函数的单调性及凸性.四（10分）造一个容积为V的圆柱形无盖水池, 问高h及底半径r为多少时,
2、 可使其表面积最小?五（10分）设时, 方程有且仅有一个解, 求k的取值范围.六（10分）计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）（2）七（10分）设(为正整数), 试建立数列的递推公式, 并求的值. 八（10分）求抛物线在点处法线与抛物线围成的图形的面积.九.（10分）设函数在上有二阶导数且, 如果 , 试证明对任意, 有.十（10分）设, , 证明数列收敛并求其极限.工科数学分析试卷A答案一.（1）解：（2）解：二.解: , 由于为连续函数, 故, 即, 解之得三. 解: , . 因, 故, 从而, . 因此, 方程确定的函数单调增加且上凸. 四. 解: 表面积, 令, 得, 此时. 因
3、S有唯一驻点, 由实际问题可知必有最小表面积, 故当, 时, 表面积最小.五. 解: 令, 则. 时, 在单调下降. 又, (), ()因此, 当时, 在只有一个零点, 即原方程在内只有一个解. 当时, 有唯一驻点, 且在与内分别单调增加和单调减少. 注意到此时, 故当且仅当即时, 函数有且仅有一个零点, 即原方程在内有且仅有一个解. 六.解: (1) 令, 于是(2) 七. 因为于是容易知道. 又因为,故有八. 因, 故, 从而可知抛物线在点的法线方程为或.除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为, 所以所求图形的面积九. , .由泰勒公式, , , 有上式当时显然成立. 证毕. 十. 单调
4、增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列是单调减少有下界的数列. 由于故数列有下界. 此外, 因为故数列单调减少. 因此, 数列收敛, 设其极限为A, 于是解之得（由极限保号性负根舍去）.姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 期末考试工科数学分析试卷B注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共十大题，满分100分，考试时间120分钟。题 号一二三四五六七八九十总分得 分评卷人一计算极限（每小题5分，共10分
5、）（1）（2）二（10分）设, 试根据和的值, 讨论在处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).三（10分）设方程确定函数, 求.四（10分）试确定数列中的最大项.五（10分）设, 试讨论方程实根的个数.六计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）（2）七（10分）设(为正整数), 试建立数列的递推公式, 并求的值. 八（10分）求抛物线与直线所围成的图形绕直线旋转而成的立体的体积.九.（10分）设函数在上二阶可导, , , , 试证明.十（10分）已知, , , 证明数列收敛并求其极限.工科数学分析试卷B答案一.（1）解：（2）解：二.解: . 当时, ; 当时, 不存在. 因此, 当
6、且时, 函数在处连续; 当且时, 函数在处左连续但又不连续, 为第一类间断点; 当时, 函数在处左连续, 为第二类间断点.三. 解: 方程两边关于x求导得整理得于是, . 四. 解: 令, . 令, 得. 则在与上分别单调增加和单调减少. 从而因此, 为最大项. 五. 解: 令, . 解得唯一驻点. 在与内分别单调增加和单调减少. 又由于, , 所以有如下结论:(1) 当时, , 原方程没有根;(2) 当时, , 原方程有一个根;(3) 当时, , 原方程有两个根六. (1)令, 则, 于是(2) 七. 因为于是容易知道. 又因为, 故有八. 体积元素, 因此所求体积九. 由泰勒公式, , 两式相减得因此十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列是单调增加有上界的数列. 显然, , 假设, 则故数列单调增加. 此外, 显然, , 假设, 则故数列有上界. 因此, 数列收敛, 设其极限为A, 于是解之得（由极限保号性负根舍去）.工科数学分析试卷第 9 页 共 9 页