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1、93全国高中数学联赛试题及详细解析 一、选择题(每小题5分，共30分)1若M=(x，y)|tanpy|+sin2px=0，N=(x，y)|x2+y22，则MN的元素个数是（）(A)4(B)5(C)8(D)95在ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin+cos的值是()(A)1(B)(C)(D)-16设m，n为非零实数，i为虚数单位，zC，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|=-m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是()二、填空题（每小题5分，共30分）1二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数
2、单位，lR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为_2实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=_3若zC，arg(z2-4)=，arg(z2+4)=，则z的值是_.来源:学科网ZXXK4整数的末两位数是_.三、（本题满分20分）三棱锥SABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP证明：(1)DP与SM相交； (2)设DP与SM的交点为D，则D为三棱锥SABC的外接球球心四、（本题满分20分）设00，故否定A，由于n为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定C由B
3、与D知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|OF1|=n，于是mx2x30，要使log1993+log1993+log1993klog1993恒成立，则k的最大值是_.6三位数(100，101，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861； 有的卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_张卡片【答案】34【解析】首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有454=80种选择但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6
4、，中间为0，1，8时，倒后不变； 共有23+23=12个，故共有(8012)2=34个三、（本题满分20分）三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP证明：(1)DP与SM相交； (2)设DP与SM的交点为，则为三棱锥SABC的外接球球心四、（本题满分20分）设00时，点M在O外，此时，直线l与O相离； 当k=0时，点M在O上，此时，直线l与O相切； 当k0时，点M在O内，此时，直线l与O相交AP=，同理，BQ=，CR=则ABCR+BCAPACBQ=ABCR+BCAP(AB+BC)BQ=BC(APBQ)AB(BQCR)=BCAB 第 3 页 共 3 页