2022年比较静态分析 .pdf

《2022年比较静态分析 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年比较静态分析 .pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、4 比较静态分析研究当任何外生变量或参数发生变化时，内生变量的均衡值将如何变化。一市场模型dbbcadQdbcaPdPcbPaQQsd为求解 a、b、c、d 中任一参数的无穷小变化如何影响P值，可通过把P的表达式对每一个参数求偏导数得到。0,01)(2dPcabPcPdbaPdb作业：求出Q（均衡状态）的比较静态导数二国民收入模型taaaYatYTaTYaCCYGITCTTCCGI1)10 ,0(,)10 ,0(),(0000000000，政府支出乘数0110taaYG非所得税乘数,010taaaYT，所得税率乘数0)()1 ()1 (220000taataaGITCYaaatY三最优化的比较

2、静态分析对于cyxgtsyxfzMinMax),(.),()(可构造拉格朗日函数：),(),(yxgcyxfZ由一阶条件可得：gfgfyyxx，且 c-g（x，y）=0 可解得：)(),(),(cyycxxc代入可得：),(),(yxgcyxfZ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - dcZd是参数 c 引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。作业：已知 x 商品价格为4，y 商品价格为6，总收入为130，效用函

3、数为U=（x+2） （y+1） 。求（ 1）写出拉格朗日函数； （2）求最优购买水平； （3）满足极大值二节条件吗；（4）把最优 x，y，对 Px，Py，B（总收入）进行比较静态分析。4.2 对数函数及指数函数在经济中的应用一指数函数和对数函数eaxxyaanday或1,0lnlog1, 0 xxayaanday或二非线性函数的对数变换lnlnlnlnLKAqLKAq例 1：ByxtsuMaxPPyxyx. .通过变换可构造拉格朗日函数如下：)(lnlnyxBLPPyxyx按拉格朗日法求解极值三连续复利由ennn)11(lim，对于enrrrtntntPPSPS)1 (lim)1 (若连续复利

4、可写作由指数函数转化为自然指数函数指数函数可用来度量离散的增长率；自然指数函数用来度量连续的增长率，两者可以互换。ln)1 ()1(,mirtmtmrPSPSemi，和，例：本金 100 元， 10%年利率，半年复利一次，两年后的终值。解：这里 m=2，i=10%，所以09758.004879.022lnln05. 1)1(mimr= 55.12110010019516. 0209758.0eeS时间最优问题：现值 100 元的玻璃以下面公式增值etV100，在以（ a）r=0.08（b）r=0.12 连续复利的情名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

5、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 况下，保持多久才会使现值最大。（1）贴现公式eertrtSSP/，所以上述玻璃的现值为：eerttrtVP100取对数rttPlnln100把上述表达式对t 求导并令导数等于零：008.0211)(21lntdtdPPdtdP由此可解06.3916.02t作业：为投机买入的土地以etV31000增值，在贴现率为0.09 复利情况下，持有多久土地价值最大。增长率一个函数 y=f（t）的增长率定义为：yydtdygy例：农产品价格以每年4%上涨，产量以2%增加，

6、求来自农业部门收益的增长率R=PQ，lnR=lnP+lnQ %6%2%4)()()()(lnlnlnlnlnQPQPRdtddtddtddtdRgR就业机会 E 每年以 4%的速度增加，人口以2.5%的速度增长，求人均就业机会的增长率。一企业输入量以10%增长，输入成本以3%增长，总输入成本的增长率是多少？一般函数的比较静态分析当模型含有以一般形式表示的函数时，由于难以得到显示解，偏微分技术已难以适应。因此必须使用像全微分、全导数，以及隐函数定理、隐函数法则等新的方法。我们首先用市场模型，然后再运用国民收入模型来介绍这些方法。市场模型考察一个单一商品市场，其中需求量Qd不仅是价格P，而且是外生

7、确定的收入Y0的函数，但供给量Qs则仅是价格的函数。如果这些函数并未以具体形式给出，则我们可以将这个模型一般地写成：)0/)()0/, 0/)(,(00dPdSPSDPDPDQYYQQQsdsd假设函数D 和 S 均拥有连续偏导数，或者换句话说，均具有平滑的曲线；而且，为了保证其经济意义，我们对这些导数的符号施加明确的限制。尽管供给函数可以是线性的，也可以是非线性的，但限制条件dS/dP0，规定了供给函数是单调递增函数。类似地，对需求函数的两个偏导致符号的限制可以表明它是价格的减函数、收入的增函数。 这些限制可以把我们的分析限定在我们希望遇到的“正常”情况。在描绘通常的二维需求曲线时，收入水平

8、被假定为固定不变。当收入变化时。 由于会导名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 致需求曲线移动而破坏给定的均衡。类似地，在(8.27)中， Y0可通过需求函数导致非均衡变化。这里， Y0是唯一的外生变量或参数，所以此模型的比较静态分析就只关注Y0的变化如何影响模型的均衡状念。市场的均衡状态由均衡条件QdQs所确定。通过替代和重排，均衡条件可以表示成：D（P，Y0）-S（P）=0 尽管不能解此方程求出均衡价格P， 但我

9、们仍假设确实存在静态均衡否则即便提出比较静态分折问题都没有意义。根据我们处理具体函数模型的经验，我们可以预期P 是外生变量 Y0的函数：)(0YPP现在我们借助于隐函数定理，对这种预期提供严格的依据。因为(828)的形式是F(P，Y0)0，满足隐函数定理的条件将会保证在满足(828)的某一点的邻域内，即在均衡(初始或旧的 )解的邻城内，每一个Y0值都得到一个唯一的P 值。在此情况下，我们实际上可以写出隐函数)(0YPP，并讨论其导数YdPd0/我们知道它是存在的，它正是我们所要求的比较静态导数。现在我们来检验那些条件。首先，函数F(P，Y0)确实具有连续导数，因为根据假设，函数和的两个部分D(

10、P，Y0)和 S(P)均具有连续导数；其次函数F 对 P 的侗导数，即PSPDFP/为负，因此无论在何处计算均不等于零。因此，可应用隐函数定理，且(8.29)确实成立。基于同样的定理，均衡条件(8.28)在均衡解的某一邻域内可视作恒等式。这样，我们可以把均衡等式写成：0)(),(0PSPDY则只需直接应用隐函数法则便可得到比较静态导数dPdY0。为便于识别， 以后我们将导数 dPdY0加上括号以区别于一般的导数。这些导数只是模型特征的一部分，比较静态导数的结果是0/000PddSPDDPFFdPdYYY在此结果中，表达式PD /是导数PD /在初始均衡点PP处计算的值。对PddS/也可以作类似

11、的解释。事实上，YD0/也必须在均衡点计算。由于需求函数和供给函数中符号的设定，YdPd0/恒为正， 因此我们的定量结论是：收入水平的提高(下降 )将会导致均衡价格的提高(下降 )。如果供给函数和需求函数在初始均衡的导数值为已知，则831)当然也会给出定量的结论。上述讨论涉及到y0变化对 P的影响。那么， 能否发现 y0变化对均衡数量)(QQsdQ的影响呢 ?答案是肯定的。因为在均衡状态，我们有)(PSQ，又因为)(0YPP，我们可应用链式法则得到导数)0(0)(00PddSdPdPddSdQdYY因为因此， 在此模型中， 均衡数量也与Y0 正相关。 而且，如果各导数在均衡时的取值已知，名师资

12、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - (832)也会给出定量的结论。(832)和(8 32)包括了市场模型中所有的比较静态分析的内容，这些结果并不出人意料。事实上， 它们只不过传递了这样一个命题：需求曲线向上移动将会导致更高的均衡价格和更大的均衡数量。好像只用简单的图解分析就可以得到同样的命题，这似乎有道理， 但人们不应忽略我们这里所用的分析方法具有更普遍的一般性。再重复一遍： 图形分析就其本质而言仅局限于组具体的曲线(即

13、一组特定函数的几何表示)，因此严格地说，其结论也仅与这组曲线相联系，仅适应于这组曲线。与此形成鲜明对照的是，(827)式虽然简单，却包含了斜率为负的需求曲线和斜率为正的供给曲线所有可能组合的全部集合，这样它也就更为一般化。此外，这里采用的分析方法还可处理图形分析方法难以解决的远为复杂的问题。模型 (827)的分析是以一个单一方程即(830)为基础完成的。由于一个方程只能包含一个内生变量，所以包含了P 则意味着排除了Q。因而我们不得不首先求出(dPdY0) ，然后在下一步再导出(dQdY0) 。现在我们来介绍如何同时研究P 和 Q。因为有两个内生变量，相应地我们要建立由两个方程组成的方程组。首先

14、，令(827)中的 QQd Qs，并重排，我们 iJ 将市场模型表示成F1（P，Q；Y0) D(P，Y0)-Q=0 F2(P，Q；Y0)S(P)-Q=0 此式与 (820)的形式一致，其中n2，m1。再一次检验隐函数定理的条件是有意义的。首先，因需求与供给函数均假定有连续偏导数，所以函数F1 与 F2 必定也具有连续偏导数。 其次， 内生变量雅可比行列式(包含 P 和 Q 的雅可比行列式)确实不为零， 不管在哪一点计算其值。因为：0112211PDdPdSdPdSPDQPQPJFFFF因此，如果均衡解存在(我们必须作这样的假定才能使我们对比较静态学的讨论有意义)，根据隐函数定理我们可以写出隐函

15、数：)()(00YYQQandPP尽管我们不能解出P和Q。我们知道，这些函数具有连续导数，而且在均衡状态的某一邻域内， (833)是一对恒等式，所以我们也可以写成0)(0),(0QPSQPDY由此 ,(YdPd0/)和YdQd0/可同时得到。微分YdQdPd0,和是这两个导数的组成部分。为得到这些微分表达式，我们对(836)中的每个恒等式依次进行微分，重排后得到关于YdPd0和的线性方程组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - -

16、 - - 000QdPdPSdDQdPdPDYY因为变量QdPd 和为一次幂， 所有在初始均衡状态时计算其值的系数导数均代表常数，外生变量的任意非零变化dY0 也代表常数，所以，此方程组是线性方程组。以dY0 通除各项。并将两个微分的商视为导数，我们得到矩阵方程。011000YYYDdQddPdPSPD由克莱姆法则，并利用(834)，我们得到解为：JDJDdPdYYY000101JDPSJPSDPDdQdYYY0000其中需求与供给函数(包括那些在雅可比行列式中的供求函数)的所有导数均在初始均衡处计算其值。读者可以验证，刚才所得到的结果与前面通过单一方程方法所得到的结果(831)和(832)是

17、一致的。上面所介绍的单一方程法和联立方程组法均具有一个共同的特点：我们都对均衡恒等式两边取全微分， 然后令其相等。然而，不取全微分，仍可能对特定的外生变量或参数取全导数，并令其结果相等。例如，在单一方程法中，均衡恒等式为D(P，Y0)-S(P) 0 由(830) 其中)(0YPP由(829) 在均衡恒等式两边对Y0 取全导数 (这不仅考虑到了Y0 变化的直接影响， 而且也考虑到了间接影响 )，因而得到方程)(0)()(000000间接影响直接影响间接影响的对的对的对SDDdPdPSDdPdPDYYYYYY将此式解出)/(0YdPd，其结果与前边是一致的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

18、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 对 Y0微分时，我们必须考虑到Y0通过P对 D 的间接影响，以及Y0的直接影响 (曲线箭头 )。另一方面，在将函数S 对 Y0微分时，则只需考虑通过P对 S 的间接影响。所以经重新整理后，两个恒等式对Y0微分的结果是下面两个方程0)()()()(00000YYYYYdQddPdPddSDdQddPdPD当然，它们与通过全微分法得到的方程是一致的，而且由它们可再次导出(837)中的比较静态导数。国民收入模型现在将刚才介绍

19、的方法应用于以一般函数表示的国民收入模型。为增加一些变化， 这次我们在模型中减去政府支出和税收，而加上对外贸易。另外， 我们还把货币市场与商品市场置于一起。更具体地，假定商品市场的特征由以下四个函数规定：1.投资支出 I 是利息率 i 的减函数 : I=I(i) (I 0) 其中 I dIdi，是投资函数的导数。2.储蓄 S 是国民收入Y 以及利息率i 的增函数，边际储蓄倾向为正分数：SS(Y，i) (0SY1； Si0) 其中YSSY/(边际储蓄倾向)和iSSi/均为偏导数。3.进口支出 M 是国民收入的函数,边际进口倾向也是正分数：MM(Y) (OM 1) 4.出口水平X 由外生因素决定：

20、X=X0在货币市场中，我们有如下两个函数：5.货币需求量Md 是国民收入的增函数(交易需求 ),但是利息率的减函数(投机需求 )：Md=L(Y ，i) (LY0； Li 0) 这之里所以使用函数符号L，是因为货币需求函数习惯上被称作流动偏好函数.Md代表货币需求，应注意避免与表示进口的符号M 相混淆。6.货币供给作为个货币政策问题，由外生因素确定：MsMs0注意， I、S、M 和 X 同 Y 一样，均是流量概念，是在一定时间内度量的；而Md和 Ms则是存量概念， 它们表示在某一特定时点存在的量。但无论是存量还是流量，上述函数均被假定具有连续导数。此模型要达到均衡需要同时满足商品市场均衡条件(注

21、入漏出，或者I+X S+M）以及货币市场的均衡条件(货币需求货币供给，或MdMs)。在上述一般函数的基础上，均衡状态可通过下述两个条件来表示I（i）+X0=S（ Y， i）+M （Y）L（Y，i）=Ms0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 由于符号 I、S、M 和 L 可视为函数符号，实际上我们只有两个内生变量收入Y 和利率i，以及两个外生变量，出口X0(由外国决定 )和 Ms0(由货币当局决定)。因此 (838)

22、可以 (820)形式表示，其中nm2：Fl(Y ，i；X0，Ms0)=I （i）+X0-S（Y， i）-M（ Y） =0 F2(Y，i； X0，Ms0)=L（ Y， i）-Ms0=0 此方程组满足隐函数定理的条件，因为 (1)F1和 F2具有连续导数(根据假设， 所有函数的导数连续 )； （2）在初始均衡处 （假设它存在)和其它地方， 内生变量的雅可比行列式不为零：0)()(2211SILMSLLLSIMSFFFFiYYiiYiYiYiYJ因此，尽管我们不能明确解出Y和i，但可以写出隐函数),(),(0000MXMXssiiandYY进而，我们把 (8 38)看作均衡点某一邻域的一对恒等式，所

23、以我们可以写出0),(0)(),()(00MXsiYLYMiYSiI由这些均衡恒等式，可以得到四个比较静态导数，两个与 X0 有关，另两个与 Ms0 相关。但这里我们只推导出前两个导数，后两个留给读者作练习。因此，在对 (841)的每个恒等式取全微分以后，今dMs00，从而使dx0 成为唯一的不均衡因子。其次，以dx0 通除，并把两个微分的商视为偏导数(因为另外一个外生变量Ms0保持不变），得到矩阵方程：0100XXLLSIMSiYiYiY由克莱姆法则并运用(839)，得到解0010JJYLLSIXiii0010JJiLLMSXYYY其中等号右边所有的导数(包括那些出现在雅可比行列式中的导数)

24、都在初始均衡，即yY，ii 处计算其值。当这些导数的具体值为已知时，(843)产生关于出口变化的影响的定量结论。但当这些值为未知时，只能得到定性结论：在此模型中y 和 i 持随出口增加而增加。像在市场模型中一样如果不使用全微分法，我们还有一个选择是将(84t)中的均衡恒名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 等式对所研究的特定的外生变量，即X0 取全导数。当然，我们在取全导数时必须记住隐式解(840)。 如在 (8 4

25、1)和(840)中给出的那样， X0 影响模型不同部分的各种方式通过通道图8 8概括出来。特别应注意的是，对X0 微分储蓄函数或流动偏好函数时，我们必须考虑到通过i 和 Y 两方面的间接影响。借助于通道图，我们可以对X0 微分均衡恒等式，以得到下面两个方程：001000000XLXLXMXSXSXIiYYiYiiYiY因为另一个外生变量Ms0 保持不变，这两个方程左侧表示对应的两个均衡恒等式中左边表达式的偏全导数。然而，作为隐函数(840) 的导数，比较静态导数)(0XY和)(0Xi仅仅是简单的偏导数。作适当的压缩，这两个方程可以压缩成(842)。所以，全微分法与全导数法得到一致的结果。读者应

26、注意到，XY0实质上是出口乘数。因为出口引致的均衡收入的增加，通过进口函数M=M(Y) 使进口也增加；我们可再应用链式法则求得(辅助比较静态导数：JYMLMXMXi00因为 M o，所以上述导数符号为正。用完全类似的步骤也可求出其他辅助比较静态导致，例如 (3i3x。 )，(8； 8x。)等。步骤总结在分析一般函数市场模型和国民收入模型时，不可能得到内生变量显式解的值。相反，我们依靠隐函数定理写出下面的隐函数：)()(00YYiiPP我们下一步求出诸如)/(0YdPd和)/(0Xi等的比较静态导数，然后基于根据隐函数定理得知的事实解释函数P和i具有连续导数的意义。为便于应用这个定理，我们使以(

27、816)或 (820)形式写出模型的均衡条件成为标准的作法， 然后检验： (1)函数 F 是否具有连续导数；(2)Fy 的值或者内生变量雅可比行列式(取决于具体情况 )在模型初始均衡处是否为非零。然而，只要模型中的单个函数具有连续导数在一般函数模型中经常采用此假设是很自然的上述第一个条件便自动得到满足。因此，实际上只需检验Fy 的值或者内生变量雅可比行列式的值。如果在均衡处不为零，则我们便可以立刻求出比较静态导数。要达到此目的， 隐函数法则是有用的。在单一方程情况下，仅需令内生变量等于均衡条件下的均衡值，即令PP，然后应用 (819)中所述的法则于所得到的均衡恒等式。对于名师资料总结 - -

28、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 联立方程组的情况，我们也必须首先令所有内生变量分别等于均衡状态时的均衡值；然后我们再对所得到的均衡恒等式应用(824)所述的隐函数法则，或者按下面介绍的几个步骤进行：1.对每个均衡恒等式依次取全微分。2.选择一个且仅选择一个外生变量，比如X0 作为唯一的非均衡因子，并令所有其它外生变量的微分等于零。然后以 dx0 除以每个恒等式中余下各项，并将两个微分的商视为比较静态导数若模型包含两个或两个以上的外生

29、变量，应视作一个偏导数。3.解所得到的方程组，求出比较静态导数，并解释其经济意义。在这一步，如果使用克莱姆法则，则可以利用这一事实：即前面在检验J条件时，我们已经计算出现在要解的方程组的系数矩阵行列式的值。4.若有其它非均衡因子(其它外生变量)，其分析可重复步骤2 和步骤3。尽管在新的方程组中会出现一组不同的比较静态导数，系数矩阵却会同以前一样，所以可再次运用已知的J值。如果给定的模型具有m 个外生变量，要求得所有的比较静态导数，则需应用上述步骤m 次。经济应用本章开头， 我们以多产品厂商为例描述了具有多于一个选择变量的一般最优化问题。现在我们就准备处理这些问题及与其性质类似的问题。多产品厂商

30、问题例 1 我们首先假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商。因完全竞争条件下两商品的价格必然是外生的，所以它们可分别以P10 与 P20 表示。据此，厂商的收益函数为：RP10Q1 十 P20Q2 其中 Qi 表示单位时间内i 产品的产出水平。假设厂商成本函数为QQQQC22212122注意QQQC2114/(第个产品的边际成本)不仅是Q1 的函数，而且是Q2的函数。类似地，第二个产品的边际成本也部分依赖于第一个产品的产出水平。因此，按照假定的成本函数，这两个商品在生产上看来存在技术的相关性。现在可将此假定厂商的利润函数写成QQQQQPQPCR22212122011022它是两个选择变量Q1、Q

31、2 及两个价格参数的函数。我们的任务是求出使最大化的产出水平 Q1 与 Q2 的组合。为此，我们先求出利润函数的一阶偏导数QQPQQQPQ2120222110114)(4)(令二者等于零，为满足最大化的必要条件，我们得到联立方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 4Q1+Q2=P10 Q1+4Q2=P20 产生唯一解1515410202201014PPQPPQand因此，若P10=2，P20=18，我们有4,22

32、1QQ，这意味着单位时间的最大利润为48。为确认此值的确是最大利润，我们来检验二阶条件。对一阶偏导数得到的二阶偏导数给我们如下海塞行列式411422211211H因 H1 -40，H2 150，海塞矩阵 (或 d2z)为负定， 此解确实使利润最大化。事实上，主子式的符号与其在何处计值无关，所以在本例中，d2z 处处为负定。因此，判断条件，目标函数必定为严格凹函数，上面所求得的最大利润实际上是唯一的绝对极大值。例 2 现在我们把例1 移植到垄断市场环境中。由于这一新的市场结构假设，收益函数必须修正以反映这样的事实：两产品价格将随其产出水平(这里假设产出水平与销售水平一致，不考虑存货积累。)的变化

33、而变化。当然，价格随产出水平变化的确切方式还有待于从对厂商两种产品的需求函数中求出。假设对垄断厂商产品的需求函数如下：Q140-2P1+P2 Q215+P1-P2 这两个方程揭示出，这两种商品在消费中存在着某种联系。具体地说，它们是替代品，因为种商品价格的提高将提高对另一商品的需求。正如上式给出的那样，它表明需求星Q1 和 Q2 是价格的函数，但就我们现在的目的而言，将价格Pl 和 P2 表示成 Q1 和 Q2 的函数，即两个产品的平均收益函数要更方便些。因为需求函数可以重写为：2P1+P2Q1-40 P1-P2Q2-15 将 Q1、 Q2 视为参数，我们可应用克莱姆法则解P1 和 P2 如下

34、：P1=55-Q1-Q2 P2=70-Q1-2Q2 因为 P1 AR1，P2AR2，所以这两个函数构成了所求的平均收益函数。因而，厂商的总收益函数可以写成RP1Q1 十 P2Q2 (55-Q1-Q2)Ql+(70-Q1-2Q2 ）Q2 55Ql+70Q2-2QlQ2-Q12-2Q22 若我们再假设总成本函数为CQ12+QlQ2+Q22 则利润函数将为=R-C55Q1+70Q2-3QlQ2-2Q12-3Q22 这是一个有两个选择变量的目标函数。一旦求出利润最大化的产出水平QQ21和，最名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

35、 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优价格水平PP21和便可由轻松求出。目际函数产生如下两个一阶和二阶偏导数：155-3Q2-4Q1 2 70-3Q1-6Q2 11-4 1111-3 22-6 为满足 最大化的一阶条件，我们必须有120，即4Q1+3Q255 3Q1+6Q270 单位时间的产出水平为)327,8(),(21QQ分别将此结果代入(1130)和(1131)，我们求得314 8 8,3246,313921PP(单位时间 ) 自于海塞矩阵为6334，我们有Hl=-40， H2 150 所以 值确定表示最大利润。这里

36、，主子式的符号同样与其在何处计值无关。因此，海塞矩阵处处为负定，意味着目标函数为严格凹函数，且具有唯一的绝对极大值。厂商的投入决策除了产出水平Qi 外，厂商的选择变量还可以是投入水平。例 5 我们假设存在如下环境：(1)一个假定的厂商运用投入a 和 b生产单一产品Q。(2)投入的 Pa和 Pb 不能为该厂商所控制，该厂商也不能控制其产出的价格P，所以我们将其分别表示成 Pa0，Pb0，P0。(3)生产过程要t0 年(t0 为正常数 )完成，所以在将销售收益与现在发生的投入成本进行比较之前，需将其完全贴现至现值。在连续基础上，假定贴现率为r0。根据假设 1，我们可以写出般生产函数QQ(a，b)，

37、其边际物质产品为Qa，Qb。由假设 2可将总成本函数表示成CaPa0十 bPb0将总收益函数表示成RP0Q(a，b) 为写出利润函数，我们必须将收益与一个常数etr00相乘以将收益折现，为避免上标与下标混淆我们将etr00写成ert。因此，利润函数为P0Q(a，b)e-rt-aPa0-bPb0其中仅有 a 和 b 为选择变量。为使利润最大化，必须先求出一阶导数：PeQPPeQPbrtbbartaaba0000)()(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15

38、页 - - - - - - - - - 令两者均为零，这意味着PeQPPeQPbrtbarta0000和因为 P0Qa(产品价格乘投入a 的边际产品 )表示投入a 的边际产品价值(VMPa)，所以第一个方程仅表示VMPa的现值应等于投入a的给定价格。 第二个方程表示同样的先决条件应用于投入 b。注意，要满足 (1135)，边际物质产品Qa和 Qb必须均为正，因为P0，Pa0，Pb0，以及 e-rt均为正值。 按照等产量曲线，它具有非常重要的解释；等产量曲线定义为能获得同样产出水平的投入组合的轨迹。当在ab 平面上绘出时，等产量曲线一般与图中出现的曲线类似。由于每一等产量曲线代表一个固定产出水平

39、，在任意等产量曲线上，我们必然有dQQada十 Qbdb0 这意味看等产量曲线的斜率可以表达成)(MPPMPPQQbabadadb因此，要使Qa 和 Qb 均为正，必须把厂商的投入选择限定在等产量曲线斜率为负的弧段内。 在图中， 经营的相关领域是由两条所谓的“脊线” 所确定的阴影区域。在阴影区域外，等产量曲线的斜率为正，一种投入的边际产品必定为负。例如，由投入组合M 移到 N，表明投入 b 保持不变时增加投入a，使我们达到较低的等产量线(一个较小的产出)，因此， Qa必定为负。类似地，M移至 N表明 Qb 为负。注意，当我们将注意力集中于阴影区域时，每一等产量线可以视为形式为b(a)的函数，

40、因为对于每一个可接受的a值，等产量曲线确定了一个唯一的b 值。二阶条件由 的一阶偏导数决定，而的二阶偏导数可以从(1134)求得。记住，作为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 导数， Qa 和 Qb 本身是变量a 和 b 的函数，我们可以求得aa, ab=ba 和bb，整理，列成海塞矩阵 : eQPeQPeQPeQPrtbbrtbartabrtaabbbaabaaH0000要使 的稳定值为极大值，其充分条件是Hl

41、 0，即 aa0，当且仅当Qaa0 时，可得到 aa 0。 H2 H 0 即aabbab2，当且仅当QaaQbbQab2时，可得到 aabbab2。 由此我们知道，二阶条件既可以通过导数ij 也可以通过导数Qij 来检验；至于在检验中运用哪个，视方便程度而定。符号 Qaa 表示当投入b 固定而投入a 变化时， Qa(MPPa)的变化率；类似地，Qbb 表示仅当投入b 变化时Qb(MPPb)的变化率。所以二阶充分条件部分地规定了两种投入的MPP 在选定投入水平a 和 b 是递减的。 但要注意到， MPPa 和 MPPb 的递减并不能确保二阶条件的满足，因为二阶条件还包括QabQba 的大小，它度

42、量当一种投入的数量变化时，另一投入的 MPP 的变化率。通过进一步考察可以揭示出，正如一阶条件在选定的投入组合(如图 1111 阴影区域所示)中确定了等产量曲线斜率为负一样，二阶充分条件在选定的投入产出组合中确定了同一等产量曲线为严格凸。等产量曲线的曲率与二阶导数d2bda2 的符号有关。要求得此二阶导数，必须将 (1136)对 a 求全微分， 记住 Qa 和 Qb 均为 a与 b 的函数， 且在等产量曲线上，b 本身是 a 的函数，即QaQa(a，b) QbQb(a，b) 和 b(a) 因此可求全微分如下：daddaddaddbQQQQQQQadbaabbba2221)(因在等产量线上，b为

43、 a 的函数，由全导数公式可知：QQQQQQQQQQabbbbbbaabaaaadadbadadbbdaddadbadadbbdad进行适当变换后，二阶导数重写成QQQQQQQQQQQQQQQQQQadabbbaabaabbabbaabababaabbdb223222221)1(1)(应注意到，第二行括号中的表达式是两个变量Qa 和 Qb 二次型。若二阶充分条件得到满足，那么名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 0

44、0QQQQQbbbaabaaaa和则根据 (1111)，上面所说的二次型必然为负定。这又将使d2bda2 为正，因为Qb 已为一阶条件限定为正。因此，二阶充分条件的满足意味着相关的(斜率为负的 )等产量曲线在选定的投入组合中为严格凸，这与我们前面的结论一致。严格凸性的概念应用于等产量曲线b（a）时，应与将此概念应用于生产函数Q(a，b)作严他的区分。 b（a）是在二维ab 平面中绘出的，面Q(a，b)则是在三维abQ 空间中绘出的。 特别要注意， 如果我们把严格凹性或严格凸性的概念应用于这里的生产函数，以便产生所需要的等产量曲线形状，适当的规定是Q(a，b)在三维空间中为严格凹(呈山丘形 )，这与规定相关的等产量曲线在二维空间中为严格凸(呈 U 形或 U 形的一部分 )形成了鲜明的对照。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -