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1、论文评比数形结合，数学思想方法之奇葩浙江省衢州师范第二附属小学 王红宇数学思想方法是解决数学问题的隐性的、抽象的观念，是一种心智活动方式。它是数学的灵魂，是数学的本质所在。小学阶段可以向学生渗透的一些最基本的数学思想方法有很多，如: 数形结合思想、符号表述思想、字母代数思想、方程函数思想、数学模型思想、化归思想、分类思想、合情推理思想、对应思想、极限思想、统计思想等等。但各种数学思想方法在小学里应有主次、缓急、强弱区分。笔者认为，数形结合思想在小学里是一种非常重要的数学思想方法。数形结合就是通过数(数量关系)与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学
2、思想，又是一种常用的数学方法。数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，是抽象思维与形象思维结合。著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观、形少数时难入微”。有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化；而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化。小学阶段的学生，思维发展水平还不够成熟，理解抽象的内容难度较大，但使用了数形结合的方法观察、分析问题，有助于学生理解数学实质，有助于提高学生数学思维水平。本文将试图探讨这个问题。数形结合思想应包含两点内容。“数”上构“形”。以形思数，本身是“数”方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由这种几何特征
3、可以发现数与形之间的新关系，使问题获解。“形”中觅“数”。以数想形，解决图形问题，通过寻找形与数之间的关系，使问题获解。 一、以形思数，在直观中理解“数”教师通过以形思数突出图的形象思维，借助图形的直观性质将抽象的数学概念、运算性质和数量关系形象化、简单化，给学生以直观感，让学生从已有的知识经验出发，亲历将实际问题抽象成数学模型，让学生用多种感觉器官充分感知，在形成表象的基础上进行想象、联想，达到最终理解数学本质，解决数学问题，形成数学思想的目的。（一）以形思数，帮助建立数学概念许多的数学概念比较抽象，教学中常采用归纳、分类、比较的数学思想方法，帮助学生建立数学概念，但也可采用数形结合的思想展
4、开数学概念的教学，运用图形提供一定的数学问题情境，通过对图形中的情景分析，抽象出数学概念的内涵和外延，帮助学生理解数学概念。如：在教学分数的再认识时，教师运用图形创设了如下的问题情境： 提问1：蓝圆个数占整体的几分之几？要使蓝圆个数占整体的1/2，怎么改？提问2：绿圆个数占整体的几分之几？学生说出4/12和1/3 后，课件随机整理整齐如下：提问3：为什么都是4个，却可以用不同的分数来表示？提问4：红圆个数占整体的几分之几？学生说出3/12和1/4后，课件随机整理整齐如下：提问5：为什么都是3个，却可以用不同的分数来表示？借助这个情境问题的分析、解决，使学生很直观、形象地理解了“部分相同、整体相
5、同，如果分法不一样，表示的分数就不一样”这一有关分数的概念特质。（二）以形思数，帮助理解数运算的性质把要解决的有关数运算的性质问题借助图象特征表现出来，通过对图象的解读、分析，帮助学生形象地理解相关性质。如：教学积的变化规律时，许多教师常是通过呈现一组组乘法算式，让学生观察、比较因数和积的变化关系，发现积的变化规律。教学的艺术在于创造，笔者曾聆听一位教师创造性地利用长方形的模型形象、直观地引导学生探究出了积的变化规律。教学片段如下：首先，呈现了 12米 20米让学生观察思索，当长不变，宽扩大或缩小3倍，面积是怎么变化的？ （123）米 12米 （123）米 20米 20米 20米通过计算长方形
6、的面积，比较长方形的面积变化，学生很直观地看到长不变，当宽扩大3倍或缩小3倍，它的面积也扩大3倍或缩小3倍。通过计算长方形的面积与观察积的变化规律，即数形结合，让学生很直观地理解了积的变化规律。这样的设计定比抽象的一组组乘法算式之间的比较更易于学生发现、理解规律。（三）以形思数，使解题过程具体化众所周知，新教材中的“解决问题”这一板块的内容，有似于老教材中的应用题，题目通常比较抽象复杂，有不少的学生较难理解其中的数量关系，更别说解决问题。传统的应用题教学中，教师们常要求学生采用画线段图的方法来理解其中的数量关系，实践也证明，通过画线段图，即数形结合的方法能有效地帮助分析应用题中存在的数量关系。
7、实施新教材，教学“解决问题”这一板块内容时，许多教师曲解了“淡化数量关系、联系生活实际”等新课标中诸类的要求，教师们不再讲、也不敢讲题目中的数量关系，片面追求解决问题过程中的生活化，深怕被扣上教育理念陈旧的帽子。但纵观我们新教材实施的几年来，“解决问题”这一板块的教学因淡化对数量关系的理解，许多学生一个问题解决完了，再呈现相同结构的数学问题，还是无从下手，学生们不能举一反三了，原因何在？笔者认为，就是因为教学中教师没有很好地引领学生去发现题目中存在的具有数学结构的关系。但要让学生清晰地发现题目中的数量关系，传统的画线段图的方法、数形结合的思想方法必须得以借鉴和传承。所以我们还得提倡，通过结合图
8、象形状、位置、及相互关系等判断弄清所研究的问题中隐含的数量关系来解决问题。一位教师在执教“连除应用题”时，课一始，教师呈现了这样一道例题：“有30个桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了几个？”请学生尝试解决时，教师要求学生在正方形中表示出各种算式的意思。学生们经过思考交流，呈现了精彩的答案。3023，学生画了右图： 先平均分成2份，再将获得一份平均分成3份。3032，学生画了右图： 先平均分成3份，再将获得一份平均分成2份。30（32），学生画了右图： 先平均分成6份，再表示 出其中的1份。教师要求学生在正方形中表示思路的方法，是一种在画线段图基础上的演变和创造。因为正方形是二维的，
9、通过在二维图中的表达，让学生很容易地表达出了小猴的只数、吃的天数与桃子个数之间的关系。通过数形结合，让抽象的数量关系、思考思路形象地外显了，非常直观，易于中下学生理解。 二、以数想形，在转换中建立“形”图形推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算的直观模型。数学活动里的有关图形的知识可以通过数和计算帮助理解。（一）以数想形，帮助理解各种公式在教学有关计算公式时，如果只是让学生死记计算公式，这样只会将知识学死，如果学生碰到稍有变化的图形问题，就不能灵活解决。教师可以通过让学生表达各种算式的含义，以达到深刻理解公式的含义。如一位教师教学三角形的面积计算公式时，课始，绝大部分学生已经模糊
10、知道三角形的面积计算公式，教师出示4米 这个图形后, 请学生计算这个三角形的面积。 6米学生们经过思索出示了多种式子，642、6（42）、624，看来这些不同的式子体现了不同的图形转化思路，教师也大胆地请学生根据式子分别想办法找到不同的转换方法。学生们分别用图表示出了各种算式的意思、各种推导公式的思路。如，642 6（42） 624将两个底为6米、高为4米 将上面的三角形凑到右小角， 将右边一半割下拼到的三角形拼成底为6米，高 成为底为6米，高为（42） 左上角，成为一个长为4米的平行四边形。 米的平行四边形。 为4米，宽为（62） 米的长方形。经过讨论、分析就可以发现三角形的面积计算公式是底
11、高2，这就由计算转向几何推理。教学中将图形问题转化为代数问题，它突出图像的形象思维，又帮助学生获得准确的结论，是训练学生掌握几何图形计算公式的很好手段，使学生的思维能力、情感态度等方面都得到发展，有效地培养学生数中有形、形中有数的意识。（二）以数想形，帮助理解图形的性质 通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质，如在教学“不同形状的平行四边形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，教师可以呈现一个算式，让学生画出可能会是怎样的平行四边形。如：34，学生可以画出如下图形：2米4米 通过观察这一组图形,让学生发现“不同形状的平行四边形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。当然，我们可
12、以让学生画出底为8米、高为1米的平行四边形，让学生发现：面积相等，图形的形状可以不一样。(三) 以数想形，借助表象发展空间观念儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，学生多角度地灵活思考，大胆想象，对知识的理解逐步深化，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。教师可以引导学生利用表象、用联系的观点把握数形结合思想，如：看到“3”想到了什么？学生可能会想到三角形；看到了“34”想到了什么？学生可能会想到是一个长为3厘米、宽为4厘米的长方形的面积，学生还可能会想到是一个边长为3厘米正方形的周长；看到了
13、“3、3、1”，“3、3、2”，“3、3、3”，“3、3、4”，“3、3、5”，想到的是怎样的三角形，通过想象学生可以想到是这样的一列三角形。 数据的规律变化导致了图形的规律变化，这样的训练有助于培养学生的空间想象能力。总之，数学是研究数量关系、空间形式及其关系的学科，通过数形结合的方法研究问题，可以让数量关系与图形的性质的问题很好地转化，通过几何直观可以帮助学生建立数的概念，可以帮助学生理解数运算的意义，可以使解题思路与过程具体化，可以帮助理解各种公式、可以帮助理解图形的性质、可以借助表象发展空间观念，更好地展现知识的建构过程。当然，“数”上构“形”，以形思数；“形”中觅“数”，以数想形，这两点又不是彼此独立的，而是互相联系的。在小学数学教学中，数形结合是一种重要的数学思想方法，需要我们在平时的教学中有机地渗透，并不断研究渗透的策略。本文在2008年衢州市小学数学论文评比中获一等奖7