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1、第22章 二次根式222.1 二次根式3阅读材料522.2 二次根式的乘除法51二次根式的乘法52积的算术平方根63二次根式的除法722.3 二次根式的加减法9小结11复习题12第22章二次根式人造地球卫星要冲出地球，环绕地球运行，发射时必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度运算第一宇宙速度的公式是，其中g为重力加速度，R为地球半径22.1二次根式在第12章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号回忆当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根当a是负数时，没有意义概括（a0）表示非负数a的算术平方根，也就是说
2、，（a0）是一个非负数，它的平方等于a即有： （1）0（a0）；（2）=a（a0）形如（a0）的式子叫做二次根式注意在二次根式中，字母a必须满足a0，即被开方数必须是非负数例x是怎样的实数时，二次根式有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数解被开方数x-10，即x1所以，当x1时，二次根式有意义摸索等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，分别运算对应的a2的值，看看有什么规律： =2；=2；=3；=3；概括当a0时，；当a0时，这是二次根式的又一重要性质如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的例如： =2x（x
3、0）；练习1运算： （1）；（2）；（3）；（4）2x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）；（2）；（3）；（4）3与是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流习题22.11x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）；（2）；（3）；（4）2运算： （1）；（2）；（3）；（4）3已知2x3，化简：4边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面你会拼吗？试求出新的正方形边长阅读材料蚂蚁和大象一样重吗同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得
4、了举重冠军！我们这里谈论的话题是： 蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的但是下面的“推导”却会让你大吃一惊： 蚂蚁和大象一样重！设蚂蚁重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为2a克，即x+y=2a两边同乘以（x-y），得(x+y)(x-y)=2a(x-y)即可变形为两边都加上，得于是，可得，所以这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论，岂不荒唐！那么毛病究竟出在哪里呢？亲爱的同学，你能找出来吗？22.2 二次根式的乘除法1二次根式的乘法运算： （1）与；（2）与摸索对于与呢？从运算的结果我们发觉，=这是什么道理呢？事实上，根据积的乘方法则，
5、有，并且0，所以是23的算术平方根，即=一样地，有（a0，b0）这就是说，两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘注意，在上式中，a、b都表示非负数在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数例1运算： （1）；（2）解（1）（2）2积的算术平方根上面得到的等式（a0，b0），也可以写成（a0，b0）这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积利用这个性质可以进行二次根式的化简例2化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）： （1）；（2）；（3）解（1）（2）（3）例2各题中给出的二次根式，被开方数的因式中有一些幂的指数不小于2，即含有完全平方的因式（或因数），如（1）中，（2）中，（3
6、）中，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用（a0），将这个因式（或因数）“开方”出来做一做运算下列各式，并将所得的结果化简： （1）；（2）3二次根式的除法讨论两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解概括一样地，有_（a0，b0）这就是说，两个二次根式相除，_例3运算： （1）；（2）解（1）（2）小题（2）也可先将分子化简为，从而容易算得结果上面得到的等式，也可以写成_（a0，b0）这就是说，商的算术平方根，等于_利用这个性质可以进行二次根式的化简例4化简（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）解这里，二次根式的被开方
7、数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将它配成完全平方数，再“开方”出来按惯例2和例4的要求化简后的二次根式，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式二次根式的除法，也可采用化去分母中根号的办法来进行，只要将分子、分母同乘以一个恰当的因式（也是二次根式）就可以了如例4，将分子、分母同乘以，得练习1化简： （1）；（2）；（3）；（4）2运算： （1）；（2）；（3）；（4）3现有一张边长为5cm的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少？（答案先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01）习题22.21
8、化简： （1）；（2）；（3）；（4）2运算： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）3某液晶显示屏的对角线长36cm，其长与宽之比为43，试求该液晶显示屏的面积4本章导图中给出了第一宇宙速度的运算公式：，其中g通常取，R约为6370千米试运算第一宇宙速度（结果用科学记数法表示，并保留两个有效数字）22.3 二次根式的加减法试一试运算： （1）；（2）概括与整式中同类项的意义相类似，我们把像与，、与这样的几个二次根式，称为同类二次根式二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并例1运算：解摸索运算：分析先将各二次根式化简： ，_，_解=_+_=_二次根式相加减，先把各个
9、二次根式化简，再将同类二次根式合并例2运算： （1）；（2）解（1）（2）例3运算： （1）；（2）解（1）（2）练习1下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1），；（2），；（3），；（4），2下列二次根式中，哪些与是同类二次根式？3运算： （1）；（2）4运算： （1）；（2）习题22.31下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）；（2）；（3）；（4）2运算： （1）；（2）；（3）3运算： （1）；（2）4用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为20cm的圆中（如图），求这根铁丝的长度（结果精确到0.1cm）5已知二次根式与是同类二次根式，试写出三个a的可能取值小结
10、一、 知识结构二次根式二次根式的化简二次根式的运算二、 概括1 懂得符号的意义是研究二次根式的关键表示非负数a的算术平方根，即有： （1）0(a0）；（2）=a（a0）要注意二次根式中字母的取值范畴： 被开方数必须是非负数2 二次根式的化简是进行二次根式运算的重要手段，二次根式的化简主要包括两个方面： （1） 如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来（2） 如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来在化简过程中，都需要将被开方数中的完全平方“开方”出来，在这里，二次根式的性质“=a（a0）”起着举足轻重的作
11、用3 二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减（1） 二次根式乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是： （a0，b0）；（a0，b0）（2） 二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并二次根式运算的结果应尽可能化简复习题A组1运算： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（a0）；（9）；（10）2下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）；（2）；（3）；（4）3x取何值时，下列各二次根式有意义？（1）；（2）4x是怎样的实数时，？5钳工车间用圆钢做正方形螺母，所需螺母边长为a，问下料时至少要用直径多大的
12、圆钢？6如图，边长为8米的正方形大厅，地面由大小完全相同的黑、白正方形方砖相间铺成求每块方砖的边长B组7 若，则a的取值范畴是_8 若有意义，则a的值为_9 若，则x的取值范畴是_10 试写出一个式子，使它与之积不含二次根式11 数a、b在数轴上的位置如图所示，化简C组12 化简：13 19世纪俄国文学巨匠列夫托尔斯泰曾在作品一个人需要很多土地吗中写了这样一个故事： 有一个叫巴霍姆的人到草原上去购买土地，卖地的酋长出了一个非常惊奇的地价“每天1000卢布”，意思是谁出1000卢布，只要他日出时从规定地点出发，日落前返回出发点，所走过的路线圈起的土地就全部归他如果日落前不能回到出发点，那么他就得不到半点土地，白出1000卢布巴霍姆觉得这个条件对自己有利，便付了1000卢布第二天天刚亮，他就连忙在草原上大步向前走去他走了足足有10俄里（1俄里1.0668公里），才朝左拐弯；接着又走了许久，才再向左拐弯；这样又走了2俄里，这时他发觉天色不早，而自己离出发点还足有15俄里的路程，于是只得改变方向，径直朝出发点奔去最后，他总算如期赶到了出发点，却因过度劳累，口吐鲜血而死请你算一算，巴霍姆这一天走了多少俄里路？他走过的路线围成的土地面积有多大？（结果保留二次根式）