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1、第1节 简单几何体的直观图、表面积与体积 A级基础巩固1.(2020衡水中学月考)如图所示，等腰ABC是ABC的直观图，那么ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形解析：由题图知，ACy轴，ABx轴由斜二测画法知，在ABC中，ACy轴，ABx轴，所以ACAB.又ACAB，所以AC2ABAB，所以ABC是直角三角形答案：B2关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是()A棱柱的侧棱长都相等B棱锥的侧棱长都相等C三棱台的上、下底面是相似三角形D有的棱台的侧棱长都相等解析：根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等答案：B3棱长为2的正方体的内切球的体积为()A4 B
2、16 C. D.解析：由正方体的性质可得正方体的内切球的半径R21，所以球的体积VR3.答案：C4三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为()A4 B6 C8 D10解析：三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，它的外接球就是其扩充为长方体的外接球，设PAa，PBb，PCc，则ab，bc，ca，解得a，b1，c.故长方体的体对角线的长为.所以球的直径是，半径R，则球的表面积S4R26.答案：B5(2020西安模拟)如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为()A3 B.C1
3、D.解析：由题意可知，AD平面B1DC1，即AD为三棱锥A-B1DC1的高，且AD2，易求得SB1DC12，所以VA-B1DC11.答案：C6(2019全国卷)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8 B4 C2 D.解析：因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EFPB，因为CEF90，所以EFCE，所以PBCE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC平面BDP，所以PBAC，又ACCEC，AC，CE平面PAC，所以PB平面PAC，所以PBPA，PBPC，因为PAPBPC，ABC
4、为正三角形，所以PAPC，即PA，PB，PC两两垂直，以PA，PB，PC为从同一顶点出发的三条棱补成正方体(如图)由AB2，知正方体的棱长为PAPBPC.则外接球的半径R满足(2R)23()26，所以R.故球O的体积VR3.答案：D7若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与旋转轴所成角的大小是_解析：设圆锥的母线与旋转轴所成角为，由题意得Rl2R2，即l2R，所以sin ，即.故母线与旋转轴所成角的大小是.答案：8(2020泉州期末)在三棱锥P-ABC中，D，E分别是PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则_解析：如图所示，设SABDS1，SABPS2，点E
5、到平面ABD的距离为h1，点C到平面ABP的距离为h2，则S22S1，h22h1.因为V1S1h1，V2S2h2，所以.答案：9(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图所示，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥 46312(cm3)又V长方体664144(cm
6、3)，所以模型的体积为V长方体-V挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)答案：118.810圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为15，若圆台的侧面积为420，求圆台较小底面的半径解析：设圆台较小底面半径为r，则另一个底面半径为3r，由S(r3r)15420，解得r7.所以圆台较小底面的半径为7.B级能力提升11(2020南阳模拟)如图所示，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将AED，EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A，若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则
7、该球的半径为()A. B. C. D.解析：由题意可知AEF是等腰直角三角形，且AD平面AEF.将三棱锥的底面AEF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，则三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，又正四棱柱的体对角线的长度就是外接球的直径，直径为，所以球的半径为.答案：D12(2018天津卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_解析：依题意，易知四棱锥MEFGH是一个正四棱锥，且底面边长为，高为.故VMEFGH()2.答案：13(2020河南六市模拟)已知空间几何体ABCD
8、E中，BCD与CDE均是边长为2的等边三角形，ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E-ABC的体积解：(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，因为ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，所以AHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC，所以AH平面BCD，同理可证EN平面BCD.所以ENAH.因为EN平面ABC，AH平面ABC，所
9、以EN平面ABC.又M、N分别为BD，DC的中点，所以MNBC，因为MN平面ABC，BC平面ABC，所以MN平面ABC.又MNENN，MN平面EMN，EN平面EMN，所以平面EMN平面ABC，又EF平面EMN，所以EF平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NGDH，由(1)可知EN平面ABC，所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又BCD是边长为2的等边三角形，所以DHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD，所以DH平面ABC，所以NG平面ABC，因为DH，N为CD的中点，所以NG，又SABCBCAH22，所以VEABCSABCNG.C级素养升华14(多选题)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱D1C1，B1C1的中点，过E，F作一平面，则平面截正方体的表面所得的平面图形可能为()A三角形 B四边形C六边形 D七边形解析：如图所示，截面可能为三角形、四边形、六边形，故选ABC.答案：ABC- 6 -