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1、矩阵论及其在随机过程中的应用摘要：本文主要从三方面探讨矩阵论这门课程，水文学研究的一个重要方面即是对水文序列的过程进行模拟。 结合自身所学， 本篇文章首先分析了矩阵论教学需要改正之处， 再者阐述了矩阵论在随机过程、科学研究中的应用情况， 最后结合实际展望了矩阵论的发展前景。关键字 ：矩阵论 随机过程矩阵函数矩阵分解矩阵的早期发展， 除了矩阵理论在内容上的发展， 即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念， 以及随之引起的相似、 对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、 凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。1 矩阵论
2、课程教学存在的问题矩阵论是一门发展完善、 理论严谨、 方法独特的理论基础课程， 它对培养学生的逻辑能力、 推理能力具有重要作用， 但它又能广泛应用于各个领域。现行矩阵论教材基本上是理科数学教材的缩写，过分强调严格的理论证明、 抽象思维能力的培养， 而实际应用介绍偏少， 使学生没有应用意识； 忽视与计算机有关的数值计算方面的训练。 这些问题的存在， 不仅影响了学生学习数学的积极性，使学生缺少对数学实质性的理解， 同时影响了后续课程的学习， 专业课教师常常感到学生的数学基础不够扎实， 联系实际问题的能力欠缺， 一些学生在做学位论文时，不会灵活运用学过的理论知识解决问题，因而不利于高素质创新型人才的
3、培养，所有这些都反映了教学改革的迫切性。2 矩阵理论在随机过程和科学研究中的应用概况矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵； 特征值的估计以及广义特征值等。用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。在随机过程的模拟中引进矩阵理论不仅使模拟过程的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。 计算机和计算方法的普及发展， 不仅为矩阵理论的应用开辟了关阔的前景，也使随机过程的研究发生了新的变化，开拓了崭新的研究途径。 因此矩阵的理论与方法已经成为随机过程计算的数学基础。2.1 矩阵函数名师资料总结 - - -精品资
4、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。随着科技的发展， 自动控制理论跨入了一个新的阶段-现代控制理论。 它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题。而研究多变量系统的主要工具室矩阵理论。 因此，矩阵理论及其矩阵函数在现代控制理论中有着广泛而重要的应用。 以线性系统为背景， 应用矩阵理论方法， 分析控制理论中的某些经典问题，如用矩阵函数讨论线性时不变系统的能控性、能观测性
5、、稳定性。2.2 矩阵分解信息时代使得人类面临分析或处理各种大规模数据信息的要求，如信息传回的大量图像，机器人接受到的视频流数据库中的大规模文本Web 上的海量信息等。处理这类信息时， 矩阵是人们最常用的数学表达方式，比如一幅图像就与一个矩阵对应，矩阵的每一个位置存放着图像的一个像素的空间位置和色彩信息。由于实际问题中这样的矩阵很庞大，其中存放的信息分布往往不均匀，因此直接处理这样的矩阵效率低下， 这对很多实际问题而言就失去了实用意义。为高效处理这些通过矩阵存放的数据， 一个关键的必要步骤便是对矩阵进行分解操作。矩阵分解是指一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和。大体分为三角
6、分解、 QR分解、 UR分解、满秩分解和奇异值分解。通过矩阵分解，一方面将描述问题的矩阵的维数进行削减，另一方面可以对大量的数据进行压缩和概括。在数值代数中， 利用矩阵分解可以将规模较大的复杂问题转化为小规模的简单问题来求解；在应用统计领域，通过矩阵分解得到原始数据矩阵的低秩逼近，从而发现数据得内存接头特征； 在机器学习和规模识别的应用中，矩阵的低秩逼近可以大大降低数据特征的维数，节省存储和计算资源。2.3 特征值的估计与表示特征值是矩阵的重要参数之一。矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示。当矩阵的阶数较高时， 计算它的特征值一般比较困难， 而对它的特征值的位置给出一个范围就是特征值的估计问题
7、。对于很多的应用问题， 只要粗略地估计特征值的大小或者分布范围就够了。例如，用迭代法求解线性方程组时，为讨论其收敛性，需要估计迭代矩阵的谱半径是否小于1；讨论差分方法的稳定性时，需要判定矩阵的特征值是否都在复平面的单位圆上；在自动控制理论中， 通过估计矩名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 阵的特征值是否都有负的实部， 即是否都位于复平面的左半平面上，便可判定系统的稳定性。 因此，从矩阵的元素出发， 若能用较简便的运算
8、给出矩阵特征值的所在范围，将有十分重要的意义。2.4 广义逆矩阵在某些实际问题中所得到的线性方程组Ax=b 往往是无解的或矛盾的，本身不能找到 Ax-b=0 的 x，只能将要求合理地改为：寻找x 使| Ax-b|2极小，满足这样要求的 x 将以这种近似方式而作为实际问题的解。根据实际问题的需要人们定义了各种类型的广义逆矩阵。 广义逆矩阵可以给出线性方程组 （包括相容的和矛盾的方程组）各种解的统一描述。1955 年以后，出现了大量的关于广义逆矩阵的理论、应用和计算方法的文献。70 年代还出版了一些专注和会议录，指出广义逆矩阵在控制论、系统识别、规划论、网络理论、测量、统计和计量经济学等方面的应用
9、。3 矩阵应用展望随着数字技术的高速发展，软硬件水平的提高，不断有高性能的DSP和高速的总线得到应用， 使基于数字技术的视频矩阵方案能够得以实现。 基于现代高速发展的信息技术，视频矩阵将成为日后矩阵发展的一个新兴热点。作为视频矩阵， 最重要的一个功能就是实现对输入视频图像的切换输出。准确概括那就是：将视频图像从任意一个输入通道切换到任意一个输出通道显示。一般来讲 , 一个 M N矩阵：表示它可以同时支持M路图像输入和 N路图像输出。这里需要强调的是必须要做到任意，即任意的一个输入和任意的一个输出。另外，一个矩阵系统通常还应该包括以下基本功能：字符信号叠加； 解码器接口以控制云台和摄像机；报警器
10、接口；控制主机，以及音频控制箱、报警接口箱、控制键盘等附件。 对国内用户来说， 字符叠加应为全中文， 以方便不懂英文的操作人员使用，矩阵系统还需要支持级联，来实现更高的容量，为了适应不同用户对矩阵系统容量的要求，矩阵系统应该支持模块化和即插即用（PnP ）的，可以通过增加或减少视频输入、输出卡来实现不同容量的组合。矩阵系统的发展方向是多功能、大容量、可联网以及可进行远程切换。一般而言矩阵系统的容量达到6416 即为大容量矩阵。如果需要更大容量的矩阵系统，也可以通过多台矩阵系统级联来实现。矩阵容量越大，所需技术水平越高，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
11、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 设计实现难度也越大。按实现视频切换的不同方式， 视频矩阵分为模拟矩阵和数字矩阵。模拟矩阵即是视频切换在模拟视频层完成。 信号切换主要是采用单片机或更复杂的芯片控制模拟开关实现。数字矩阵即是视频切换在数字视频层完成，这个过程可以是同步的也可以是异步的。数字矩阵的核心是对数字视频的处理，需要在视频输入端增加AD转换，将模拟信号变为数字信号，在视频输出端增加DA转换，将数字信号转换为模拟信号输出。视频切换的核心部分由模拟矩阵的模拟开关，变成了对数字视频的处理和传
12、输。4 矩阵论应用能力的培养矩阵论课程教学的基本要求是培养学生在有限维线性空间的框架下分析和解决工程实际问题的能力。 通过本课程的教学， 可以使得我们的矩阵理论知识变得更为扎实， 掌握常用的矩阵分析方法， 了解矩阵理论在随机过程模拟以及科学研究中的应用概况， 可加强我们应用矩阵方法解决科研、生产中的若干实际问题的能力。参考文献 ：1 李新等编著 .矩阵理论及其应用 .重庆大学出版社 .19892 程云鹏等编著 .矩阵论 .西北工业大学出版社 .1989 3 王朝瑞等编著 .矩阵分析 .北京理工大学出版社 . 1990 4 中国大百科全书数学 .北京中国大百科全书出版社.2004 5 王文圣等编著 .随机水文学 .水利水电出版社 .2008 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -