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1、 初二数学组 1 / 11 全等全等三角形三角形&轴对称图形轴对称图形 一、一、 知识梳理知识梳理 1.全等全等三角形的性质：三角形的性质： （1）全等三角形对应边对应边相等 （2）全等三角形对应对应角角相等 （3）全等三角形的周长周长、面积、面积相等 （4）全等三角形对应边对应边上上的中线的中线相等，对应边上的高对应边上的高相等，对应对应角角的角平分线的角平分线相等 2.全等全等三角形的判定三角形的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS） （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） （4）两角和其中一角的对边对
2、应相等的两个三角形全等（AAS） （5）直角三角形直角三角形全等全等特殊特殊判定判定方法方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3.垂直平分线垂直平分线 性质：性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 判定：判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4.角平分线角平分线 性质性质：在角的内部平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 判定判定：在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 5.三垂直模型三垂直模型 1=3 2=4 1=3 2=4=5 1=2 3=4 初二数学组 2 / 11 三垂直模型是弦图的一半，模型中角度互
3、余和相等关系以及边长相等往往是做题的关键。 6.6.手拉手模型手拉手模型 手拉手模型中的本质特点是等线段，共顶点，夹角等，模型中全等的证明使用 SAS 来证明。 KHJGHI（SAS） 7.半角半角模型模型 题中出现半角往往可以去绕点旋转，构造角相等，再去找全等 8.中点中点模型模型 对于题目中给出的中点条件，可以考虑从以下几个方面来利用 （1） 倍长中线或类中线（与中点有关的线段） ，构造全等三角形 （2） 直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 （3） 等腰三角形底边中点，连接到顶点，利用三线合一 9.截长补短截长补短模型模型 对于题目条件或结论中含有 a=b+c 的条件，添加辅助线多考
4、虑截长补短 初二数学组 3 / 11 10.角平分线角平分线模型模型 （1）在角平分线上取一点，向角两边作垂线（如图 a） （2）当题目设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交（角平分线+垂线，如图 b） （3）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形（截取，如图 c） （4）角平分线+平行线，等腰三角形必呈现（如图 d） 11.“将军将军饮马饮马”模型模型 直线 L 上一点使 PA+PB 取最小值 方法：直线 AB 与 L 的交点即为所求点 P 如图，在 L 上找一点 P,使 PA+PB 最小。 初二数学组 4 / 11 做点 B 关于直线 L 的对称点 B,直线 A
5、B 与 L 的交点即为所求点 P， PA+PB 最小值为 AB。 如图，在 L 上找一点 P，使|PA-PB|最大 方法：直线 AB 与 L 的交点即为所求点 P，|PA-PB|最大值为 AB。 如图，在 L 上找一点 P，使|PA-PB|最大 方法：做点 B 关于直线 L 的对称点 B,直线 AB与 L 的交点即为所求点 P，|PA-PB|最大值为 AB 如图，在 L 上找一点 P，使|PA-PB|最小 方法：直线 AB 的中垂线与 L 的交点即为所求点 P，|PA-PB|最小值为 0 如图，点 P 在锐角AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 D，在 OA 边上求作一点C，使PCD 的周长
6、最小。 初二数学组 5 / 11 方法：做点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P、P，PP与直线 OA、OB 的交点为所求点 C、D。PCD 的周长最小值为 PP 如图，点 P 在锐角AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 D，在 OA 边上求作一点C，使 PD+CD 最小。 方法：做点 P 关于直线 OB 的对称点 P，过 P点向直线 OA 作垂线与 OB 的交点为所求点 D，垂足即为点 C，PD+CD 的最小值为 PC 的长度。 如图，点 C、D 在锐角AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 F，在 OA 边上求作一点 E，使四边形 CEFD 周长最小。 方法：如图所示，作 C、D 两
7、点分别关于直线 OA、OB 的对称点 C、D，连接C、D分别交 OA、OB 于点 E、F，点 E、F 即为所求。 如图，直线 L 外有两点 A、B，有一定长线段 a，在直线上找到点 M、N,使 得 MN 间的距离等于定长 a,使得四边形 AMNB 的周长最小。 初二数学组 6 / 11 方法：如图所示，将 A 点向右平移 a 个单位长度到点 A，做点 B 关于直线 L的对称点 B，连接 AB后交直线 L 于点 N，过点 A 作 AMAB，交直线L 于点 M，四边形 AMNB 即为所求 如图，在一组平行线 L、L两侧各有一点 A、B,在 L、L间找一条线段MN，使 MNL，并且使得 AM+MN+
8、NB 之和最短。 方法：如图所示，将 A 点向下平移到点 A，使 AA=MN，连接 AB 交 L于点 N，过 N作 NM垂直于 L，N、M即为所求。 二、二、 相关相关例题例题 1.如图，在ABC中，点D是BC中点，且,ADBC BEAC BE AD相交于点G，过点BBFACAD作交延长线于点F，6DF ，求AE的长 初二数学组 7 / 11 2. 如图：在ABC 中，AB=5，AC=3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围。 3. 如图，在四边形ABCD中，ABAD,180BD ,EF、分别是边BCCD、延长线上的点，且12EAFBAD，求证EFBEFD 4. 某课题组在探究“将军饮马问题
9、”时抽象出数学模型： 直线 l 同旁有两个定点 A、B，在直线 l 上存在点 P，使得 PA+PB 的值最小。解法： 作点 A 关于直线的对称点 A，连接 AB，则 AB 与直线 l 的交点即为 P，且 PA+PB 的最小值为 AB 初二数学组 8 / 11 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图 1，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 2，E 是斜边 AB 的中点，P 是 AC 边上的一动点，则 PB+PE 的最小值为 （2）几何拓展：如图 2，ABC 中，AB=2，BAC=30 ，若在 AC、AB 上各取一点 M、N 使 BM+MN 的值最小，求这个最小值； （3）代数应用：
10、求代数式2214404xxx 的最小值 初二数学组 9 / 11 全等三角形全等三角形&轴对称轴对称图形图形-例题例题解析解析 1.1.解：DBCEAC点 是中点，点 是中点，ADBC,BEAC 603062 332 3ACABCBABCCFDFDFBDBDDCECAEAE是等边三角形又 2.2.【考点】【考点】倍长中线 解：如图所示，延长AD到E ，且ADDE，并连接BE D是BC中点 BDCD ADCEDB在和中 BDCDADCEDBADED ADCEDB SAS ACBE 在ABE中 ABBEAEABBE 28AE 即28AD2 AD14 3.3.【考点】【考点】截长补短 解：在BE上截
11、取一点G，使BGDF 180180BADCADFADC ， 初二数学组 10 / 11 BADF ABGADF在和中 BGDFBADFABAD ABGADF .BAGDAF AGAF 12BAGEADDAFEADEAFBAD GAEFAE AEGAEF在和中 AEAEGAEFAEAGAF AEGAEF EGEF EGBEBG EFBEFD 4.4.【考点】【考点】轴对称-最短路线问题 解： （1）如图 1 所示，作点B关于AC的对称点B，连接EB交AC于P，此时PBPE的值最小连接AB 2222222 2ABABACBC 122AEAB 45B ACBAC 90B AB PBPE的最小值221
12、0B EB AAE 初二数学组 11 / 11 （2）如图 2，作点B关于AC的对称点B，过B作B NABN于，交AC于M此时 BM+MNBMMN的值最小 BMMNB N 点B与点B关于AC对称 ABAB 又30C, 60B AB, B AB是等边三角形 260B BABB BN，, 又B NAB, 3B NB B （3）构造图形如图 3 所示， 其中：4,1,2,ABACDBAPx CAABA DBABB于于 22PC+PD=144xx 所求的最小值就是求PCPD的最小值 作点C关于AB的对称点C， 过C作C E垂直DB的延长线于E 则222242 13435C EABDEC DC EDE ， 所求代数式的最小值是5