离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)ppt课件.ppt

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1、1 DFS 和 DFT 的导出 DFS 和 DFT 的性质 Z 变换与 DFS 的关系 FFT IDFT 频谱分析频谱分析第三章第三章 DFT离散付氏变换离散付氏变换 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2n 连续信号连续信号 xa(t)，其傅里叶变换为：，其傅里叶变换为： xa(t) 为为时域连续信号时域连续信号 Xa() 为为频域连续信号频域连续信号()( )jtaaXxt edt 1( )()2jta

2、ated xX3.1 问题的提出：连续信号的傅里叶变换问题的提出：连续信号的傅里叶变换 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3n 离散信号在两种变换域中的表示方法离散信号在两种变换域中的表示方法 （1）离散时间傅里叶变换）离散时间傅里叶变换 DTFT - 提供了绝对可加的离散时间序列提供了绝对可加的离散时间序列在频域（在频域（）中的表示方法。）中的表示方法。 （2）Z 变换变换 - 提供任意序列的提供任意序

3、列的 z 域表示。域表示。()( )jwjnwnX ex n e 这两种变换有两个共同特征：这两种变换有两个共同特征： （1）变换适合于变换适合于无限长序列无限长序列 （2）它们是）它们是连续变量连续变量 或或 z 的函数的函数( )( )nnX zx n z 3.1 问题的提出：离散信号的变换问题的提出：离散信号的变换 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4n问题：问题：X(z)，X(ejw) 都是连续的

4、，都是连续的，利用计算机处理有困难，例如使用利用计算机处理有困难，例如使用 Matlab，因此，因此 提出了在频域内取样，使频谱离散化的问题；提出了在频域内取样，使频谱离散化的问题； 必须截断序列，得到有限个点的序列。必须截断序列，得到有限个点的序列。n目标：目标：我们需要得到一个我们需要得到一个可进行数值计算可进行数值计算的变换的变换n方法：方法： （1 1）DTFT - 频域中原始信号频谱的周期拓展频域中原始信号频谱的周期拓展 （2）对对 DTFT 在频域中采样在频域中采样 - DFS （3）将将 DFS 推广到有限持续时间序列推广到有限持续时间序列 DFT （DFT 避免了前面提到的那两

5、个问题，并且它是计算机可实现避免了前面提到的那两个问题，并且它是计算机可实现 的变换方式。）的变换方式。）nDFT DFT 已成为已成为 DSP DSP 算法中的核心变换，算法中的核心变换，原因：原因： （1 1）有限长序列傅里叶变换的重要方法）有限长序列傅里叶变换的重要方法 （2 2）有快速算法）有快速算法3.1 问题的提出：可计算性问题的提出：可计算性 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5 时间函数时

6、间函数 频率函数频率函数3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （1）n 非周期连续时间非周期连续时间傅里叶变换傅里叶变换(FT)(FT)连续频率连续频率n 周期连续时间周期连续时间傅里叶级数傅里叶级数(FS)(FS)离散频率离散频率n 非周期离散时间非周期离散时间离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT)(DTFT)连续频率连续频率n 周期离散时间周期离散时间离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)(DFS)离散频率离散频率 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以

7、综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。63.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （2）1. 连续信号（非周期）的付氏变换连续信号（非周期）的付氏变换) (txt)(XtXtx),()(deXtxtj)(21)(dtetxXtj)()(n时域连续时域连续函数造成频域是函数造成频域是非周期的谱非周期的谱n时域的非周期时域的非周期造成频域是造成频域是连续的谱连续的谱 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支

8、撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7 2. 周期连续时间信号：周期连续时间信号：傅里叶级数傅里叶级数 FSn 时域连续时域连续函数函数造成频域造成频域是是非周期的谱非周期的谱。n 频域的离散频域的离散对应对应时域是周期函数时域是周期函数。02021()( )TjntTX nx t edtT 0jnt0n -x(t)X(n)e 3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）时域周期时域周期频域离散频域离散)(0nXT20)(txtT 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）

9、、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。83. 非周期离散信号：非周期离散信号：离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 DTFTn 时域的离散化时域的离散化造成频域的造成频域的周期延拓周期延拓n 时域的非周期时域的非周期对应于对应于频域的连续频域的连续3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （4）T)(nTxT2)(TjeX时域离散时域离散频域周期频域周期()()2jTjn TTTTx nTX eed 01()()()jTjn TnnX ex nT eXT 取

10、样定理取样定理 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。94. 周期离散时间信号：离散傅里叶级数周期离散时间信号：离散傅里叶级数 DFSn 一个域的离散造成另一个域的周期延拓一个域的离散造成另一个域的周期延拓n 离散傅里叶级数的时域和频域都是离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的离散的和和周期的周期的210()()NjnkNnXkx n e2101( )( )NjnkNkx nX k eN3.1 问题的提出：傅里

11、叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (5)k02T 0()X k 12T TT1n周期取样间隔1()x nT 11 T=NTTNT 0122TNT 012NT 时域周期、离散时域周期、离散频域周期、离散频域周期、离散 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10n四种傅里叶变换形式的归纳总结：四种傅里叶变换形式的归纳总结：形式形式时间函数时间函数频率函数频率函数傅里叶傅里叶变换变换 FT连续连续非

12、周期非周期非周期非周期连续连续傅里叶傅里叶级数级数 FS连续连续周期周期(T0)非周期非周期离散离散(0=2/T0)离散时间离散时间傅里叶变傅里叶变换换DTFT离散离散(T)非周期非周期周期周期(s=2/T)连续连续离散傅里离散傅里叶级数叶级数DFS离散离散(T)周期周期(T0)周期周期(s=2/T)离散离散(0=2/T0)离散时间函数的取样间隔：离散时间函数的取样间隔：T1，取样频率：，取样频率：112ssfT 离散频率函数的取样间隔：离散频率函数的取样间隔：F0，时间周期：，时间周期：00012TF 3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）结论：结论

13、： 时域中函数取样时域中函数取样(离散离散) （映射）映射）频域中函数周期重复；频域中函数周期重复； 频域中函数取样频域中函数取样 （映射）（映射） 时时域中函数周期重复；域中函数周期重复； 取样间隔取样间隔 （映射）（映射） 周期（周期（2/间隔）间隔）110nN(d) DFSk0N-N)()(nTxnx1/T)()(1kXkX-N(c) FS-mXa(k1)tTm0T1-T1)(tx11mnx(n) = xa(nT)Tm0(b) DTFTm-ms-s1/T)(XTtxa(t)Tm0(a) FTm-mXa()时域中函数的取样和频域中函数的取样时域中函数的取样和频域中函数的取样3.1 问题的提

14、出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (7) 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12n由以上讨论可以清楚地看到，由以上讨论可以清楚地看到，时域取样将引起频时域取样将引起频域的周期延拓，频域取样也将引起时域的周期延域的周期延拓，频域取样也将引起时域的周期延拓拓。n因此可以设想，如果因此可以设想，如果同时对频域和时域取样同时对频域和时域取样，其，其结果是结果是时域和频域的波形都变成离散、周

15、期性的时域和频域的波形都变成离散、周期性的波形波形，从而我们可以利用付氏级数这一工具，得，从而我们可以利用付氏级数这一工具，得到它们之间的到它们之间的离散付氏级数离散付氏级数 DFS DFS 关系关系。3.2 DFS 及其性质及其性质 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。132jNNWe n 基本关系式基本关系式 若若 r，m 都是整数都是整数,则则:2100()Njk rmNkNrmerm 2211200

16、11011()()()()()()r m Njr mNNjk r mk r mNNNr mjr mkkNNWeeWWe 其中其中:1-00NkrkmNNkNrmWWrmDFS 定义：定义：预备知识预备知识证明证明: 对于对于r=m：不论：不论 k 取何值，显然等式成立。取何值，显然等式成立。 对于对于rm： 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14n 为了推导为了推导 的关系，作下列变量代换：的关系，作下列

17、变量代换：时域：时域：频域：频域：n 则得：则得：n)(nx01Nk)(kX01NDFS10()()DFSx nTX k 1nTn0kk ?DFS 定义：定义：正变换正变换 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15n 周期离散序列的周期离散序列的 Z Z 变换存在（收敛）的问题变换存在（收敛）的问题 因为周期离散序列，因为周期离散序列， 而对于周期信号，严格数学意义上讲，其而对于周期信号，严格数学意义上讲，

18、其 Z 变换不收敛，变换不收敛，因为：因为： 而对于而对于 找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函数，其数，其 Z 变换：变换：()(),x nx nNmm 为为 整整 数数( )( )nnX zx n z ( )nnx nz DFS 定义：定义：正变换正变换 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16n 其频谱：（其频谱：（ 是连续变量，需要对其

19、离散化）是连续变量，需要对其离散化） 10)()()(NnnnnznxznxzX10)()(| )(NnjnjezenxeXzXj jeX20n)(nx0 1 21NDFS 定义：定义：正变换正变换（取取 的一个主周期进行的一个主周期进行 Z 变换变换） ( )x n 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17n 频域取样频域取样 X(ej) 是连续变量是连续变量 的周期函数，周期为的周期函数，周期为2。把。

20、把 离散化，即在离散化，即在02区间内等间隔取区间内等间隔取 N 个点，取样间隔为个点，取样间隔为 2/N。 另一个角度看，另一个角度看， X(ej) 是是 Z 平面单位圆上的平面单位圆上的 Z 变换。连续变量变换。连续变量 的离散化也可以认为是把单位圆分的离散化也可以认为是把单位圆分 N 等分，每分为等分，每分为 2/N 。 其中：其中： 称为称为频域中的取样间隔频域中的取样间隔， 也称为也称为频率分辨率频率分辨率。 2N DFS 定义：定义：正变换正变换eRmI1平面ZN2kN2 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综

21、治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1822() |()( )jkjNkNX eX eX k 10( )|()( )jNjjnz enX zX ex n eDFS 定义：定义：正变换正变换21100210()( )( )( )( )NNjnknkjNnnNknNnNX kx n ex nx n We 2jNNWe 则则其中其中 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网

22、应用为重点的“群众性治安防控工程”。192211200210()()()()()( )( )( )( )NNjk N njknjnNNnnNjknNnX k Nx n ex n eex n eX k 211()00( )( )( )NNjknknNNnnX kx n ex nWDFS：DFS 定义：定义：正变换正变换( )X k也仅有也仅有 0 0，1 1，N-1 N-1 个独立值个独立值, ,周期为周期为 N N。因为因为随随 k 周期变化，周期变化，仅有仅有 0，1，N-1 个独立值。个独立值。仅有仅有 0，1，N-1 个独立值。个独立值。所以所以 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大

23、学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。20n 反变换反变换IDFS IDFS 正变换两端乘以正变换两端乘以 ，m=0,1,N-1 然后令然后令 k=0，1，N-1 求和，得：求和，得：2jkmNe 2211100021100()() ()() ()( )( )( )NNNjkmjk m nNNkknNNjk m nNnkX k ex n ex ne 2100() ()Njk m nNkNnmenm DFS 定义：定义：反变换反变换 用正交条件：用正

24、交条件： 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。212100 11()( )( )(), ,NjkmNkn mX k ex n NNx m mN DFS 定义：定义：反变换反变换即即（只有（只有 m=n 时，才有值，而时，才有值，而 m 不等于不等于 n 时，为零，因此，时，为零，因此，x(n) 只取只取 x(m) ）2101()()( )NjkmNkx mX k eN 2110011()( )( )( )N

25、NjknknNNkkx nX k eX k WNN 变量变量m替换为替换为n，得，得 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。22n DFS 变换对变换对：时域周期序列与频域周期序列间的关系时域周期序列与频域周期序列间的关系DFS 定义：定义：反变换反变换10101()()()()NknNnNknNkX kx n Wx nX k WN 2jNNWe 其中其中 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信

26、工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。23n 在什么条件下不产生混迭失真？在什么条件下不产生混迭失真？ 频率取样频率取样 频率取样：若时间信号有限长，当满足下列条件时，频率取样：若时间信号有限长，当满足下列条件时，X(ej) 的样本值的样本值 X(k) 能不失真的恢复成原信号。能不失真的恢复成原信号。 为了避免时间上的混迭：为了避免时间上的混迭： （1）必须是时间限制（有限时宽）必须是时间限制（有限时宽） （2）取样频率间隔小于）取样频率间隔小于2( )()|

27、jkNX kX e 00122 NNT 或或DFS 定义：定义：几点说明几点说明( ),01( )0,x nnNx n 其其它它 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。24n 频率分量频率分量 如果变量如果变量 DFS 可表示为：可表示为： 因此，因此，时域时域 n n 及频域及频域 k k 都是有物理意义的都是有物理意义的。01,kknTn10)2(10)()(NnknNjenTxkX10)2(11)2(1

28、)(NkknNjeNTkXNnTxDFS 定义：定义：几点说明几点说明（指数项（指数项 kn 不变）不变） 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。25更具体地，傅里叶系数的标号更具体地，傅里叶系数的标号 k 和频率和频率 f 的关系为：的关系为：所以：所以： 对应关系对应关系： 傅里叶系数标号傅里叶系数标号k ：0N 数字频率数字频率：02 模拟频率模拟频率 f ：0fs 01222skkfNTfNk sff

29、kN DFS 定义：定义：几点说明几点说明| ( )|jHe 0000222/ssNf 2ssNf k () Hz/f 变变换换系系数数标标号号（弧弧度度，数数字字频频率率）（，模模拟拟频频率率）（弧弧度度 秒秒，模模拟拟角角频频率率） 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。26DFS 定义：定义：几点说明几点说明 频率成份频率成份直流分量直流分量： 当当 k=0 时，时， ，此时得到的傅里叶级数的系数，此时

30、得到的傅里叶级数的系数称为信号的直流分量（称为信号的直流分量（DC Component），）， 是信号的平均值；是信号的平均值；交流分量交流分量：其它频率（其它频率（k0）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为信号的交流分量。信号的交流分量。k=1 时的频率为信号的一次谐波，或时的频率为信号的一次谐波，或基频基频，频率大小为，频率大小为 fs/N，时间为，时间为 NTs，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。离散傅里叶级数包含了离散傅里叶级数包含了 0 到到 (N-1)f

31、s/N 的频率，因而的频率，因而 N 个傅里叶级数的系个傅里叶级数的系数位于从数位于从 0 直到接近取样频率的频率上。直到接近取样频率的频率上。11000(0)( )( )NNnNnnXx n Wx n (0)/XN 时域时域2NsfNsfkN频域频域 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。27DFS 定义：定义：几点说明几点说明周期信号的频谱周期信号的频谱由傅里叶系数由傅里叶系数 可得到可得到 的幅度频谱的

32、幅度频谱 和相位频和相位频谱谱 ，不难证明，如果，不难证明，如果 是实序列，那么是实序列，那么幅度频谱是周期幅度频谱是周期性偶函数性偶函数，相位频谱是周期性奇函数相位频谱是周期性奇函数。周期信号由离散傅里叶级数周期信号由离散傅里叶级数 DFS 得到的频谱，和非周期信号由离得到的频谱，和非周期信号由离散时间傅里叶变换散时间傅里叶变换 DTFT 得到的频谱之间有重要区别。得到的频谱之间有重要区别。 DTFT 产生连续频谱产生连续频谱，这意味着频谱在所有的频率处都有值，因而非，这意味着频谱在所有的频率处都有值，因而非周期信号的幅度和相位频谱是光滑无间断的曲线。周期信号的幅度和相位频谱是光滑无间断的曲

33、线。 与之相反，与之相反，DFS 仅有仅有 N 点的频谱，仅包含有限个频率，因而周期信点的频谱，仅包含有限个频率，因而周期信号的幅度和相位频谱是号的幅度和相位频谱是线谱线谱，即相等间隔的竖线，当频谱的横坐标，即相等间隔的竖线，当频谱的横坐标变量用实际频率变量用实际频率 f 代替代替 k 时，谱线间隔为时，谱线间隔为 fs/N。并不是所有的周期信并不是所有的周期信号都含有全部谐波号都含有全部谐波，例如有些频谱只有奇次谐波，比如三角波，偶，例如有些频谱只有奇次谐波，比如三角波，偶次谐波为次谐波为0，而有些频谱仅在一些谐波处的值为，而有些频谱仅在一些谐波处的值为0。( )X k ( )X karg(

34、 )X kx(n) x(n) 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。28DFS 的的 Matlab 的实现的实现由由 DFS 的定义可以看出它是一种可进行数值计算表示式，的定义可以看出它是一种可进行数值计算表示式，它可由多种方式实现。它可由多种方式实现。（1）利用循环语句 for.end 实现 为了计算每个样本为了计算每个样本 ，可用，可用 for . end 语句实现求和。语句实现求和。 为了计算所有的为了

35、计算所有的 DFS 系数，需要另外一个系数，需要另外一个for.end 循循环，这将导致运行嵌套的两个环，这将导致运行嵌套的两个for .end 循环。显然，这种循环。显然，这种方法的效率较低。方法的效率较低。 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。29设设 和和 代表序列代表序列 x(n) 和和 X(k) 主周期的列向量，主周期的列向量，则则 DFS 的正反变换表达式由下式给出：的正反变换表达式由下式给出：

36、 其中矩阵其中矩阵 WN 由下式给出：由下式给出： )(kx)(kXXNxxXWWNN1*WWWWNNNNNNNNnk WWnkknNN2) 1(1111,011111矩阵矩阵 WN 为方阵，叫做为方阵，叫做 DFS 矩阵矩阵. . （2）利用矩阵）利用矩阵矢量乘法矢量乘法 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。30function Xk = dfs(xn,N)n = 0:1:N-1; % row vecto

37、r for nk = 0:1:N-1; % row vecor for kWN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factornk = n*k; % creates a N by N matrix of nk valuesWNnk = WN . nk; % DFS matrixXk = xn * WNnk; % row vector for DFS coefficients function xn = idfs(Xk,N)n = 0:1:N-1; % row vector for nk = 0:1:N-1; % row vecor for kWN = exp(-j*2*pi/N);

38、 % Wn factornk = n*k; % creates a N by N matrix of nk valuesWNnk = WN . (-nk); % IDFS matrixxn = (Xk * WNnk)/N; % row vector for IDFS valuesDFS 的的 Matlab 的实现的实现31例例 ：求出下面周期序列的 DFS 表示式 .3 , 2 , 1 , 0 , 3 , 2 , 1 , 0 , 3 , 2 , 1 , 0.,)(nx解解：上述序列的基本周期为 N=4，因而 W4 = e-j2/4 = -j， 304)()(nnkWnxkX)22()()()

39、3(2)()()2()22(320)()() 1 (6) 3()2() 1 ()0()()()0(3033034302302430304303004jjnxWnxXjnxWnxXjjjjnxWnxXxxxxnxWnxXnnnnnnnnnnnnnnn324( )( ), ( )8( )( )x nR nx nNx nx nDFS ：已已知知序序列列将将以以为为周周期期 进进行行周周期期延延拓拓成成，求求的的例例。 解法一：数值解1780038022223888( )( )( )1NnknkNnnnknjkjkjkX kx n Wx n WWeee (1)121(3)12(0)4(2)0(1(5)

40、121(7)1214)0(6)0XXXXXjXjXjXj 33 221780022243440488838( )11sin2sin8NjknjknNnnjkjkjkjkjknjkjkjkjknjkX kDFS x nx n ex n eeeeeeeeeekek 解解法法二二：公公式式解解34例例: 下面给出一周期下面给出一周期“方波方波”序列：序列： 其中，其中， m=0, 1, 2,，N 是基本周期，是基本周期， L/N 是占空比。是占空比。(a)确定一种用确定一种用 L 与与 N 描述的描述的 的表达式。的表达式。(b)分别画出当分别画出当 L =5, N = 20；L=5，N=40；L=

41、5，N=60；L=7，N=60 时时 表达式。表达式。(c)对所得结果进行讨论。对所得结果进行讨论。1, ( )0,(1)1 mNnmNL1x n mNLnmN ()X k ()X k 35解：解：(a) 由由 DFS 定义可得定义可得12220002211( )( )11nNjnkjnkNjkNNNnnnjLkNLjkNX kx nL , k0, N, 2N,. , otherseeeee 2(1)2sin()1sin()1LLkLkLkjkjjjLkNNNNjNkkkkjjjjNNNNkLNkNeeeeeeeee 而：而： 的幅值可表示为：的幅值可表示为： ( )X k ( )sin(/)

42、sin(/)L , k0, N, 2N,.X kkL N , othersk N 36b. Matlab 程序如下：程序如下：% Chapter 3: Example 3.03L = 5; N = 20;(改变参数）改变参数）x = ones(1,L), zeros(1,N-L);xn = x * ones(1,3);xn = (xn(:);n = -N:1:2*N-1;subplot(1,1,1);subplot(2,1,2);stem(n,xn); xlabel(n);ylabel(xtilde(n)title(Three periods of xtilde(n)axis(-N,2*N-1

43、,-0.5,1.5) -20-100102030-0.500.511.5nxtilde(n)Three periods of xtilde(n)1 2 3 , , x 123x 1111(1,3)2 1,1,12223333xnx one 1231(:)23123xn (:)123123123xn 37% Part (b)L = 5; N = 20;(改变参数）改变参数）xn = ones(1,L), zeros(1,N-L);Xk = dfs(xn,N);magXk = abs(Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1);k = -N/2:N/2;subplot(2,2,1); stem

44、(k,magXk); axis(-N/2,N/2,-0.5,5.5)xlabel(k); ylabel(Xtilde(k)title(DFS of SQ. wave: L=5, N=20)38-10010012345kXtilde(k)DFS of SQ. wave: L=5, N=20-20020012345kXtilde(k)DFS of SQ. wave: L=5, N=40-20020012345kXtilde(k)DFS of SQ. wave: L=5, N=60-200200246kXtilde(k)DFS of SQ. wave: L=7, N=605个峰值个峰值5个峰值个峰值

45、5个峰值个峰值7个峰值个峰值n 注意： 是周期信号，图中只画出了从 N/2 到 N/2 的部分。n c. 从图中可以看到，方波的 DFS 系数的包络像“ Sinc ”函数， K=0 时的幅度等于 L； 同时函数的零点位于 N/L（占空比的倒数）的整数倍处； L=5 不变，N变大（即填0，但有效信息没有增加），则形状不变，只是更平滑，即获得了一个高密度谱； N=60 不变，L 变大（即增加了原始数据长度），则变换后得形状发生了变化，获得了更多的信息，即高分辨率谱。( )X k 39例例 ： 设设 当当 N=5、10、20、50 时，分别对其时，分别对其 Z 变换在单位圆变换在单位圆上取样，研究不

46、同的上取样，研究不同的 N 对时域的影响。对时域的影响。( )(0.7)( )nx nu n 11( )0.710.70.7zX z , zzz 可用可用 Matlab 来实现取样运算：来实现取样运算：22/2/( )( )| .0.7kjNjk Njk Nz eeX kX z , k0, 1, e 用用 IDFS 计算，确定相应的时域序列。计算，确定相应的时域序列。解：可得解：可得 x(n) 的的 Z 变换为：变换为：40% Frequency-domain sampling% x(n)=(0.7)n * u(n)% X(z)=z/(z-0.7); |z|0.7 subplot(1,1,1)

47、N = 5; (改变参数）改变参数）k = 0:1:N-1;wk = 2*pi*k/N;zk = exp(j*wk);Xk = (zk)./(zk-0.7);xn = real(idfs(Xk,N);%只取实部，去掉产生的虚部误差只取实部，去掉产生的虚部误差xtilde = xn* ones(1,8); % 画出画出8个周期个周期 xtilde = (xtilde(:);subplot(2,2,1);stem(0:39,xtilde);axis(0,40,-0.1,1.5);xlabel(n);ylabel(xtilde(n); title(N=5)410204000.511.5nxtilde

48、(n)N=50204000.511.5nxtilde(n)N=100204000.511.5nxtilde(n)N=200204000.511.5nxtilde(n)N=40n 从图中清楚地表明在时域中出现的混叠，尤其是当从图中清楚地表明在时域中出现的混叠，尤其是当 N=5 与与 N=10 时。时。对于大的对于大的 N 值，其值，其 x(n) 的尾部足够小，实际上不会导致明显的混迭。的尾部足够小，实际上不会导致明显的混迭。这对于变换前，有效截取无限序列，是非常有效的。这对于变换前，有效截取无限序列，是非常有效的。1.20201.02911.00081.0000 北京邮电大学信息与通信工程学院北

49、京邮电大学信息与通信工程学院“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。42n 线性线性11( )( )XkDFS x n 22( )( )XkDFS x n 且：且：1212( )( )( )( )DFS ax nbx naX kbX k 则则 a,b为任意常数为任意常数12 x(n) x (n) N若若 ： 两两 个个 周周 期期 序序 列列和和， 周周 期期 均均 为为 DFS 的性质：的性质：线性线性 北京邮电大学信息与通信工程学院北京邮电大学信息与通信工程学院“雪

50、亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。432 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k 11011(0)111 ()() () ( ) ( )( )( )( )NnkNnNmNmk i mmkkiNNNi mi mNNmkNmkiNi NkimkkikiNNNNNimmi mmkNNiDFS x nmx nm Wx i WWx i WWx i WWx i Wx i WWx i Wnmx iiW 令令10( )NkimkNiWX k n序列的周期移位（