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1、模式1：平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p使得四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边是对角线时，那么有（2）当边是对角线时，那么有（3）当边是对角线时，那么有例题1：（山东省阳谷县育才中学模拟10）本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接
2、写出相应的点Q的坐标.练习：如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系模式2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点p使得四点构成梯形，则可分成以下几种情况（1）当边是底时，那么有（2）当边是底时，那么有（3）当边是底时，那么有例题2：已知，矩形OABC在
3、平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D(1)求点D的坐标；(2)抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由练习：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP
4、上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN/x轴，交PB于点N 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN 在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式 模式3：直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点p使得三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况（1）当为直角时，（2）当为直角时，（3）当为直角时，例题3：如图1，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求
5、抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段时，求tanCED的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标练习：如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S4的情形？若
6、存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值模式4：等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点p使得三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况（1）当为顶角时，（2）当为顶角时，（3）当为顶角时，例题4：已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA2，OC3，过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交
7、于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由练习：（2012江汉市中考模拟）已知抛物线yax2bxc(a0)经过点B(12，0)和C(0，6)，对称轴为x2(1)求该抛物线的解析式(2)点D在线段AB上且ADAC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存
8、在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由ABCOPQDyx(3)在(2)的结论下，直线x1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由模式5：相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角例题5：（据荆州资料第58页第2题改编）在梯形ABCD中，ADBC，BAAC，B = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上。（1） 求过A、D、C三点的抛物线的解析式。（2） 求ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求M的半径。（3） E为抛物线
9、对称轴上一点，F为y轴上一点，求当EDECFDFC最小时，EF的长。（4） 设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的与ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。模拟题汇编之动点折叠问题1.（2012深圳模拟）（本题12分）已知二次函数与轴交于A（1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r的P，且圆心P在抛物线上运动，当P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.（3）半径为1的P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，P与y轴相离、相交？ 2.如图，在平面直角坐标系中
10、，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；（2）连结PO、PC，并把POC沿C O翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：将B、C两点的坐标代y=kx+b, 0=3k-3, k=1,y=x-31分将B、C两点的坐标代入得：，解得： 所以二次函数的表达式为： .3分（2）存在点P，使四边形POPC为菱形.设P点坐标为（x，），PP交CO于E.若四边形POPC是菱形，
11、则有PCPO.5分连结PP 则PECO于E，OE=EC=.= .6分解得=，=（不合题意，舍去）P点的坐标为（，）.9分3.（2012江西模拟）已知抛物线交y轴于点A，交x轴于点B,C（点B在点C的右侧）.过点A作垂直于y轴的直线l. 在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP.（1）写出A，B，C三点的坐标；（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：如果以A，P，Q三点构成的三角形与AOC相似，求出点P的坐标；若将APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M.是否存在点P，使得点M落在x轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. ABMPCDN4.
12、（2012安庆模拟）在直角梯形ABCD中，B90，AD1，AB3，BC4，M、N分别是底边BC和腰CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，始终保持AMMN、NPBC(1)证明：CNP为等腰直角三角形；(2)设NPx，当ABMMPN时，求x的值；(3)设四边形ABPN的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指出x取何值时，四边形ABPN的面积最大，最大面积是多少解：（1）过D作DQBC于Q，则四边形ABQD为平行四边形 DQ=AB=3，BQ=AD=1QC=DQ DQC 中C=QDC=45RtNPC为等腰Rt (4分)（2） MP=AB=3, BM=NPNPC为等腰RtPC=NP= x BM=BC
13、MPPC=1x 1- x= x x=当时，x = (8分)（3） =(AB+NP) BP=(3+ x)(4x)=+ x+ 6=( x-)+6.125(11分)当x取时，四边形ABPN面积最大，最大面积为6.125. (14分)5.（2012宝应模拟）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CDx轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设ODt. 求tanFOB的值；用含t的代数式表示OAB的面积S；是否存在点C, 使以B，E，F为顶点的三角形与OFE相似，若存在，请求
14、出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由 (1)作AHx轴于H，交CF于PA(2,2) AH=OH=2 AOB=45CD=OD=DE=EF= 3分(2)CFOB ACFAOB 即 6分(3)要使BEF与OFE相似,FEO=FEB=90只要或即:或 当时, , (舍去)或 B(6,0) 8分 当时,() 当B在E的右侧时, (舍去)或 B(3,0) 10分() 当B在E的左侧时,如图，, (舍去)或 B(1,0) 12分6.（2012广东预测）（本小题满分12分）如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点（点在点的左边），
15、试求点、的坐标；(3)设点是轴上的任意一点，分别连结、试判断：与的大小关系，并说明理由.DAOxyCB(第24题图) CxyABDEOP解：（1）（4分）设抛物线的解析式为1分 抛物线经过，解得： 2分 （或） 1分 （2）（4分）令得，1分 令得，解得、2分 、 1分（3）（4分）结论： 1分理由是：当点重合时，有 1分当，直线经过点、，直线的解析式为 3分设直线与轴相交于点，令，得，则关于轴对称，连结，则，在中，有1分综上所得1分7.如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过A(2，1)，B(0,7)两点(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当x为何值时，y0?(3)在x轴上方作平行于x轴
16、的直线l，与抛物线交于C、D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标解：解：(1)把A(2，1)，B(0,7)两点的坐标代入yx2bxc，得，解得.所以，该抛物线的解析式为yx22x7，又因为yx22x7(x1)28，所以对称轴为直线x1.(2)当函数值y0时，x22x70的解为x12 ，结合图象，容易知道12 x0.(3)当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为(m，n)，则nm22m7，即CFm22m7.因为C、D两点的纵坐标相等，所以C、D两点关于对称轴x1对称，设点D的横坐标为p，则1mp1，所以p2m，所以CD(2m
17、)m22m.因为CDCF，所以22mm22m7，整理，得m24m50，解得m1或5.因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取1.当m1时，nm22m7(1)22(1)74.于是，点C的坐标为(1,4)8.如图，在ABC中，已知ABBCCA4cm，ADBC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。 求x为何值时，PQAC； 设PQD的面积为y(cm2)，当0x2时，求y与x的函数关系式； 当0x2时，求证：AD平分PQD的面积； 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置
18、关系的x的取值范围(不要求写出过程)。解：当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。当Q在AC上时，由题意得：BPx，CQ2x，PC4x，ABBCCA4，C600，若PQAC，则有QPC300，PC2CQ4x22x，x，当x(Q在AC上)时，PQAC； 当0x2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QHBC于H，C600，QC2x，QHQCsin600xABAC，ADBC，BDCDBC2DP2x，yPDQH(2x)x 当0x2时，在RtQHC中，QC2x，C600，HCx，BPHCBDCD，DPDH，ADBC，QHBC，ADQH，OPOQSPDOSDQO，AD平分PQD的面积； 显然，不存在x的值，
19、使得以PQ为直径的圆与AC相离当x或时，以PQ为直径的圆与AC相切。当0x或x或x4时，以PQ为直径的圆与AC相交。9.已知抛物线与轴交于A、B两点，且点A在轴的负半轴上，点B在轴的正半轴上（1）求实数k的取值范围；（2）设OA、OB的长分别为a、b，且ab15，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，以AB为直径的D与轴的正半轴交于P点，过P点作D的切线交轴于E点，求点E的坐标。解：（1）设点A（，0），B（，0）且满足0由题意可知，即（2）15，设，即，则，即，即，即，解得，（舍去） 抛物线的解析式为（3）由（2）可知，当时，可得，即A（1，0），B（5，0） AB6，则点D的坐标为（2
20、，0）当PE是D的切线时，PEPD由RtDPORtDEP可得即 ，故点E的坐标为（，0）10.如图，抛物线yax2c（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（2,0），B（1, 3） （1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标 xyCB_D_AO解：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 解之得：；故为所求 4分 （2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设BD的解析式为，则有， ，故
21、BD的解析式为；令则，故8分 (3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，图3易知BN=MN=1，易求；设，依题意有：，即：解之得：，故 符合条件的P点有三个： 12分 11.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，b）（b0）P是直线AB上的一个动点，作PCx轴，垂足为C记点P关于y轴的对称点为P（点P不在y轴上），连接PP，PA，PC设点P的横坐标为a（1）当b=3时，求直线AB的解析式；若点P的坐标是（1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与PC的交点为D当PD：DC=1：3时，求a的值；（3）是
22、否同时存在a，b，使PCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+3，把x=4，y=0代入得：4k+3=0，k=，直线的解析式是：y=x+3， 3分 由已知得点P的坐标是（1，m），m=1+3=； 4分 （2）PPAC，PPDACD，=，即=，a=； 6分 （3）以下分三种情况讨论当点P在第一象限时，1）若APC=90，PA=PC（如图1）过点P作PHx轴于点HPP=CH=AH=PH=AC2a=（a+4）a=PH=PC=AC，ACPAOB （24题图1）=，即=，b=2 8分 2）若PAC=90，PA=CA （如图2）则PP=AC2a=a+4a=4PA=PC=AC，ACPAOB=1，即=1b=4 10分 3）若PCA=90，则点P，P都在第一象限内，这与条件矛盾PCA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形当点P在第二象限时，PCA为钝角（如图3），此时PCA不可能是等腰直角三角形；当P在第三象限时，PCA为钝角（如图4），此时PCA不可能是等腰直角三角形所有满足条件的a，b的值为或 12分 12.22