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1、第三章 导数及其应用第一部分 五年高考荟萃一、选择题1.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 2.(2009全国卷理) 已知直线y=x+1与曲线相切,则的值为( ) 3.(2009安徽卷理)已知函数在R上满足,则曲线在点处的切线方程是 ( )A. B. C. D. 答案 A解析 由得几何,即,切线方程,即选A4.(2009江西卷文)若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于( ) A或 B或 C或 D或答案 A解析 设过的直线与相切于点,所以切线方程为即,又在切线上,则或,当时,由与相切可得,当时,由与相切可得,所以选.5.(2009江西卷理)

2、设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为( )ABCD答案 A解析 由已知,而,所以故选A力。6.(2009全国卷理)曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 答案 B解 ,故切线方程为,即 故选B.7.(2009湖南卷文)若函数的导函数在区间上是增函数,则函数在区间上的图象可能是( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D8.(2009辽宁卷理)若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +( )A. B.3 C. D.4答案 C解析 由题意 所以, 即2 令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1) 52t2lo

3、g2(t1)与式比较得tx2 于是2x172x29.(2009天津卷理)设函数则( )A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。C在区间内有零点,在区间内无零点。D在区间内无零点,在区间内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。解析 由题得,令得;令得;得,故知函数在区间上为减函数,在区间为增函数,在点处有极小值;又,故选择D。二、填空题10.(2009辽宁卷文)若函数在处取极值,则 解析 f(x) f(1)0 a3答案 311.若曲线存在垂直于轴的切线,则实数的取值范围是 .解析 解析 由题意该函数的定义域,由。因为存在垂直于轴的切线,故此时斜率为,问题转化为范围内导函数存在零点。

4、解法1 (图像法)再将之转化为与存在交点。当不符合题意,当时,如图1,数形结合可得显然没有交点,当如图2,此时正好有一个交点,故有应填或是。解法2 (分离变量法)上述也可等价于方程在内有解,显然可得12.(2009江苏卷)函数的单调减区间为 . 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 ,由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13.(2009江苏卷)在平面直角坐标系中,点P在曲线上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 . 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 ,又点P在第二象限内,点P的坐标为(-2,15)答案 : 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与

5、直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.14.(2009福建卷理)若曲线存在垂直于轴的切线,则实数取值范围是_.答案 解析 由题意可知,又因为存在垂直于轴的切线,所以。15.(2009陕西卷理)设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,令,则的值为 . 答案 -216.(2009四川卷文)设是已知平面上所有向量的集合,对于映射,记的象为。若映射满足:对所有及任意实数都有,则称为平面上的线性变换。现有下列命题:设是平面上的线性变换,则 若是平面上的单位向量,对,则是平面上的线性变换; 对,则是平面上的线性变换; 设是平面上的线性变

6、换,则对任意实数均有。其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)答案 解析 :令,则故是真命题同理,:令,则故是真命题:,则有是线性变换,故是真命题:由,则有是单位向量,0,故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新颖,突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质。17.(2009宁夏海南卷文)曲线在点(0,1)处的切线方程为 。答案 解析 ,斜率k3,所以,y13x,即三、解答题18.(2009全国卷理)本小题满分12分。(注意:在试题卷上作答无效)设函数在两个极值点,且(I)求满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点的区域;(II)证

7、明:分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标中的,(如果消会较繁琐)再利用的范围,并借助(I)中的约束条件得进而求解,有较强的技巧性。解析 由题意有又消去可得又,且 19.(2009浙江文)(本题满分15分)已知函数 (I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值; (II)若函数在区间上不单调,求的取值范围解析 ()由题意得 又 ,解得,或 (

8、)函数在区间不单调,等价于 导函数在既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点,根据零点存在定理,有 , 即: 整理得:,解得20.(2009北京文)(本小题共14分)设函数.()若曲线在点处与直线相切,求的值;()求函数的单调区间与极值点.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力(),曲线在点处与直线相切,(),当时,函数在上单调递增,此时函数没有极值点.当时,由,当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,此时是的极大值点,是的极小值点.21.(2009北京理)(本小题共13分)设函数()求曲线在

9、点处的切线方程;()求函数的单调区间;()若函数在区间内单调递增,求的取值范围. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力(),曲线在点处的切线方程为.()由,得, 若,则当时,函数单调递减,当时,函数单调递增, 若,则当时,函数单调递增, 当时,函数单调递减,()由()知,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,综上可知,函数内单调递增时,的取值范围是.22.(2009山东卷文)(本小题满分12分)已知函数,其中 (1)当满足什么条件时,取得极值?(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围

10、.解: (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时

11、在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.设函数,其中常数a1()讨论f(x)的单调性;()若当x0时,f(x)0恒成立,求a的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关键是通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从

12、而求出的范围。解析 (I) 由知,当时,故在区间是增函数;当时,故在区间是减函数; 当时,故在区间是增函数。 综上,当时,在区间和是增函数,在区间是减函数。 (II)由(I)知,当时,在或处取得最小值。由假设知 即 解得 1a6故的取值范围是(1,6)23.(2009广东卷理)(本小题满分14分)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值设(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点 解析 (1)依题可设 (),则; 又的图像与直线平行 , , 设,则 当且仅当时,取得最小值,即取得最小值当时, 解得 当时, 解得 (2)由(),得 当

13、时,方程有一解,函数有一零点;当时,方程有二解,若,函数有两个零点,即;若,函数有两个零点,即;当时,方程有一解, , 函数有一零点 综上,当时, 函数有一零点;当(),或()时,函数有两个零点;当时,函数有一零点.24.(2009安徽卷理)(本小题满分12分) 已知函数,讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。解析 的定义域是(0,+), 设,二次方程的判别式. 当,即时,对一切都有,此时在上是增函数。当,即时,仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当,即时,方程有两个不同的实根,.+0_0+单

14、调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.25.(2009安徽卷文)(本小题满分14分) 已知函数,a0, ()讨论的单调性; ()设a=3,求在区间1,上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性,同时要注意对参数的讨论,即不能漏掉,也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。解析 (1)由于令 当,即时, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数.当,即时 由得或 或或又由得综上当时, 在上都是增函数.当时, 在上是减函数, 在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又

15、函数在上的值域为 26.(2009江西卷文)(本小题满分12分)设函数 (1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围 解析 (1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得,即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.27.(2009江西卷理)(本小题满分12分)设函数(1)求函数的单调区间; (1)若,求不等式的解集解析 (1), 由,得 .因为 当时,; 当时,; 当时,;所以的单调增区间是:; 单调减区间是: .(2)由 , 得:. 故:当 时,

16、解集是:;当 时,解集是: ;当 时, 解集是:. 28.(2009天津卷文)(本小题满分12分)设函数()当曲线处的切线斜率()求函数的单调区间与极值;()已知函数有三个互不相同的零点0,且。若对任意的,恒成立,求m的取值范围。答案 (1)1(2)在和内减函数,在内增函数。函数在处取得极大值,且=函数在处取得极小值,且=解析 解析 当所以曲线处的切线斜率为1. (2)解析 ,令,得到因为当x变化时,的变化情况如下表:+0-0+极小值极大值在和内减函数,在内增函数。函数在处取得极大值,且=函数在处取得极小值,且=(3)解析 由题设, 所以方程=0由两个相异的实根,故,且,解得因为若,而,不合题

17、意若则对任意的有则又,所以函数在的最小值为0,于是对任意的,恒成立的充要条件是,解得 综上,m的取值范围是【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的运算,以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识,考查综合分析问题和解决问题的能力。30.(2009湖北卷理)(本小题满分14分) (注意:在试题卷上作答无效) 在R上定义运算(b、c为实常数)。记,.令. 如果函数在处有极什,试确定b、c的值;求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点;记的最大值为.若对任意的b、c恒成立,试示的最大值。 解 当得对称轴x=b位于区间之外 此时由 若于是若,则,于是综上,对任意的b、c都有而当,时,在区间上的最

18、大值 故对任意的b,c恒成立的k的最大值为 31.(2009四川卷文)(本小题满分12分)已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。(I)求函数的解析式;(II)设函数,若的极值存在,求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.解析 (I)由已知,切点为(2,0),故有,即又,由已知得联立,解得.所以函数的解析式为 4分(II)因为令当函数有极值时,则,方程有实数解, 由,得.当时,有实数,在左右两侧均有,故函数无极值当时,有两个实数根情况如下表:+0-0+极大值极小值所以在时,函数有极值;当时,有极大值;当时,有极小值; 12分32.(2009全国卷理)(本小题满分12分)设函数有两个

19、极值点,且(I)求的取值范围,并讨论的单调性;(II)证明: 解: (I) 令,其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,其充要条件为,得当时,在内为增函数; 当时,在内为减函数;当时,在内为增函数;(II)由(I),设,则当时,在单调递增;当时,在单调递减。 故 33.(2009湖南卷文)(本小题满分13分)已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.()求b的值;()若在处取得最小值,记此极小值为,求的定义域和值域。解: ().因为函数的图象关于直线x=2对称,所以,于是 ()由()知,.()当c 12时,此时无极值。 (ii)当c12时,有两个互异实根,.不妨设,则2.当x时,

20、 在区间内为增函数; 当x时,在区间内为减函数;当时,在区间内为增函数. 所以在处取极大值,在处取极小值.因此,当且仅当时,函数在处存在唯一极小值,所以.于是的定义域为.由 得.于是 .当时,所以函数在区间内是减函数,故的值域为 35.(2009福建卷理)(本小题满分14分)已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间;(2)令,设函数在处取得极值,记点M (,),N(,),P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:(I)若对任意的m (, x),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;(II)若存在

21、点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时,与的变化情况如下表:x+单调递增单调递减单调递增由此得,函数的单调增区间为和,单调减区间为。当时,此时有恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为R当时,同理可得,函数的单调增区间为和,单调减区间为 综上:当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为;当时,函数的单调增区间为R;当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.()由得令得由(1)得增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值,故M()N()。观察的图象,有如下现象:当m从-1(不含-1)变化到3时,线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异

22、于H,P的公共点与Kmp的m正负有着密切的关联;Kmp=0对应的位置可能是临界点,故推测:满足Kmp的m就是所求的t最小值,下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率;线段MP的斜率Kmp当Kmp=0时,解得直线MP的方程为 令当时,在上只有一个零点,可判断函数在上单调递增,在上单调递减,又,所以在上没有零点,即线段MP与曲线没有异于M,P的公共点。当时,.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上,t的最小值为2.(2)类似(1)于中的观察,可得m的取值范围为解法二:(1)同解法一.(2)由得,令,得由(1)得的单调增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值。故M().

23、N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.36.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)设,且曲线yf(x)在x1处的切线与x轴平行。(2)求a的值,并讨论f(x)的单调性;(1)证明:当 解析 ().有条件知,故. 2分 于是.故当时,0; 当时,0.从而在,单调减少,在单调增加. 6分()由()知

24、在单调增加,故在的最大值为,最小值为. 从而对任意,有. 10分 而当时,. 从而 12分37.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)已知函数f(x)=xax+(a1),。(1)讨论函数的单调性; (2)证明:若,则对任意x,x,xx,有。解析 (1)的定义域为。2分(i)若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时,;当及时,故在单调减少,在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少,在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a1,证明对任意的c,都有M2: ()若MK对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识,考察综合运用数学知识进行推理论

25、证的能力和份额类讨论的思想(满分14分)(I)解析 ,由在处有极值可得解得或若,则,此时没有极值;若,则当变化时,的变化情况如下表:10+0极小值极大值当时,有极大值,故,即为所求。()证法1:当时,函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2(反证法):因为,所以函数的对称轴位于区间之外,在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设,则 将上述两式相加得:,导致矛盾,()解法1:(1)当时,由()可知;(2)当时,函数)的对称轴位于区间内, 此时由有若则,于是若,则于是综上,对任意的、都有而当时,在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。 解法2

26、:(1)当时,由()可知; (2)当时,函数的对称轴位于区间内,此时 ,即下同解法143.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)已知函数.(1) 设,求函数的极值;(2) 若,且当时,12a恒成立,试确定的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 (21)解析 ()当a=1时,对函数求导数,得 令 列表讨论的变化情况:(-1,3)3+00+极大值6极小值-26所以,的极大值是,极小值是()的图像是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称.若上是增函数,从而 上的最小值是最大值是由于

27、是有 由所以 若a1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是 44.(2009天津卷理)(本小题满分12分) 已知函数其中(1)当时,求曲线处的切线的斜率; (2)当时,求函数的单调区间与极值。 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。(I)解析 (II) 以下分两种情况讨论。(1),则.当变化时,的变化情况如下表:+00+极大值极小值 (2),则,当变化时,的变化情况如下表:+00+极大值极小值 45.(2009四川卷理)(本小题满分12分)已知函数。(I)求函数的定义域,并判断的单调性;(II)若(

28、III)当(为自然对数的底数)时,设,若函数的极值存在,求实数的取值范围以及函数的极值。本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解析 ()由题意知当当当.(4分)()因为由函数定义域知0,因为n是正整数,故0a1.所以 ()令 当m=0时,有实根,在点左右两侧均有故无极值 当时,有两个实根当x变化时,、的变化情况如下表所示:+0-0+极大值极小值的极大值为,的极小值为 当时,在定义域内有一个实根, 同上可得的极大值为综上所述,时,函数有极值;当时的极大值为,的极小值为当时,的极大值为 46.(2009福建卷文)(本小题满分12分)已知函数且(I)试

29、用含的代数式表示;()求的单调区间; ()令,设函数在处取得极值,记点,证明:线段与曲线存在异于、的公共点;解法一:(I)依题意,得由得()由(I)得( 故 令,则或 当时, 当变化时,与的变化情况如下表:+单调递增单调递减单调递增由此得,函数的单调增区间为和,单调减区间为由时,此时,恒成立,且仅在处,故函数的单调区间为R当时,同理可得函数的单调增区间为和,单调减区间为综上: 当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为;当时,函数的单调增区间为R;当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为()当时,得 由,得 由()得的单调增区间为和,单调减区间为 所以函数在处取得极值。 故 所以直线的方程为 由

30、得 令 易得,而的图像在内是一条连续不断的曲线, 故在内存在零点,这表明线段与曲线有异于的公共点解法二:(I)同解法一()同解法一。()当时,得,由,得由()得的单调增区间为和,单调减区间为,所以函数在处取得极值, 故所以直线的方程为 由得解得所以线段与曲线有异于的公共点 47.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。48.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。(1) 16分49.(2009重庆卷理)(本小题满分13分,()问5分,()问8分)设函数在处取得极值,且曲线在点处的切线垂直于直线()求的值;()若函

31、数,讨论的单调性 解()因又在x=0处取得极限值,故从而 由曲线y=在(1,f(1)处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2,即()由()知,令(1)当(2)当K=1时,g(x)在R上为增函数(3)方程有两个不相等实根 当函数当时,故上为减函数时,故上为增函数50.(2009重庆卷文)(本小题满分12分,()问7分,()问5分)已知为偶函数,曲线过点,()求曲线有斜率为0的切线,求实数的取值范围;()若当时函数取得极值,确定的单调区间解: ()为偶函数,故即有 解得又曲线过点,得有从而,曲线有斜率为0的切线,故有有实数解.即有实数解.此时有解得 所以实数的取值范围:()因时函数取得极值,故有即

32、,解得又 令,得当时, ,故在上为增函数当时, ,故在上为减函数当时, ,故在上为增函数 20052008年高考题一、选择题1.(2008年全国一7)设曲线在点处的切线与直线垂直,则( )A2BCD答案 D2.(2008年 湖北卷7)若上是减函数,则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案 C3.(2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )答案 D4.(2008年辽宁卷6)设P为曲线C:上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为 ( )ABCD答案 A5.(2007年福建理11文)已知对任意实数,有,且时,则时 ( )A BC D答案 B6.(2007年海南理10)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( )A 答案 D7.(2007年江苏9)已知二次函数的导数为,对于任意实数都有,则的最小值为 ( )A B

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