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1、 （ 益阳改编） 图， 线 与 轴、 如直轴分别交于点 抛物线 经 、， （）过点 并与 轴交于另一点 其顶点为 、， ， （ ） 的值； 求 ， （ ） 物线的对称轴上有一动点 ， 点 在何处 抛 当时， 周长最小； （ ） 抛物线及其对称轴上分别取点 、 ， 以 在 使 ， 求的边长 第 题图 ， 为顶点的四边形为正方形， 此正方形 （ 遂宁） 图， 物线 轴交 如抛 与 于点 ， 轴于点 ）直线 （，）交 （， ， 过点 与 轴交于点 与抛物线的另一个交点是 ，求 与 解析式； （） 抛物线 直线 的 （ ） 点 是直线 上方的抛物线上一动点（ 设 不与点 重合） 过点 作 轴的平行线，
2、 直线 、，交 于点 ， 轴于点 探究： 否存在这 作 是样的 点 使 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 存 在 ， 若请求出点 的坐标， 不存在， 说明理由； 若请（ ） （ ） 条件下， 于点 ， 在 的 作 设，与 系式， 求出 最大值 的周长为 点 的横坐标为 求 的函数关 并的 二次函数压轴题 平行四边形问题 第 题图 如在 抛 （ 三明改编） 图， 平面直角坐标系中， 物线 （ ，）与 与 轴的一个交点为 ， ，点 轴的交点为 对称轴是 对称轴与 轴交于 （ ） 抛物线的函数表达式； 求 设 ， 的周长； （ ） 抛物线与 轴的另一个交点为 求 （） 过 的直线 移后与抛物线
3、交于点 ， 经 、平与 轴交于点 ， 以 、 为顶点的四边形 当、 是平行四边形时， 出点 的坐标 求第 题图 如图， 平面直角坐标系中， 物线 在抛 图象与直线 交于点 且点 的、， 在 轴上， 的坐标是（ ，） 点 （ ） 抛物线的函数解析式； 求 （ ） 点 作 ， 轴于点 过 交 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 一 点 使 得 ， 的周长最小， 存在， 出此时 的 若求 值； 不存在， 明理由； 若说若点 是抛物线对称轴上的动点， 、 、 以 、 为顶点的四边形是平行四边形， 点 的坐标 求第 题图 试题演练 【 路分析】 由直线的解析式可以求出 两点的坐标代入抛
4、思 （） 、物线 的解析式， 可求 的值； 因为点 与 （）即，（） 点 关于对称轴对称， 此只要连接 交对称轴于点 即可； 因（） 当点 在对称轴上时， 与 不垂直 以 应为正方形的对 所角线 据正方形的对角线互相垂直平分且相等， 以求出 、 两 根可点的坐标， 中， 勾股定理求出 的长度即正方形的 在 由边长 解： 直线 与 轴、 轴分别交于点 （） 、， ， （ ，） （ ，） ， 又抛物线 经过点 ， （ ，） （）（ ，） ， ， 得 ， 解 即 的值分别为 ，； 由 得 ，设 点的坐标为（ ，） ， （ ） （ ） 抛物线对称轴为 因为点 坐标（ ，） 则点 坐标（ ，） ， 如解
5、图， 接 ，交直线 于 则此 连 ，时点 正好使 的周长最小 设直线 的解析式为 代入点 ，第 题解图 坐标得 解得 、， ， 所以直线 解析式为 ，将点 （ ，） 入直线 得 所以点 的坐标为（ ，） 代 ， （ ） 点 在对称轴上时， 与 不垂直 以 应为正方形 当 所的对角线 解图， 边形 为正方形 如四 又对称轴 是 的中垂线， 以 点与顶点 重合， 所（， ） 点为点 关于 轴的对称点， 坐标为（ ，） 其 四边形 为正方形 此时， 且 ， ， 在 中，槡 槡 ， 正方形的边长为槡 即 【 路分析】 将 两点分别代入 进而求出 思 （） ， 抛物线解析式即可， 点代入 进而求出直线解
6、析式即 将 可； 首先设出 点的坐标， 而得出 的 长， 两 函 数 联 立 （） ，进将得出 点 坐 标， 而 得 出 的 长， 用 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 进利 ， 出等式方程求出解即可； 利用勾股定理得出 的 得 （） 长， 而根据 得出两三角形周长之比， 出 进， 求与 的函数关系， 利用配方法求出二次函数最值即可 再解： 经 （） 过点 和 ） （ ，） （ ， ， 由此得 ，得 解 ， 抛物线的解析式是 直线 经过点 ， （ ，） 解得 ， ，直线的解析式是 ； （ ） 点 的坐标是（ ， ） 则 的坐标是（ ， 设 ） ， ， ）（ ） （ ， 联立得方程组 ，
7、， 解得 或 点 在第三象限， 点 的坐标是（ ） 则， ， 由 得点 的坐标是（ ， ） ， （ ） ，由于 轴， 使四边形 是平行四边形， 有 ， 要 必 即 ，解这个方程得： ， ，当 时， 2（ 2（ ，） ） 当 时， 2（ 2（ ， ） ） 因此， 线 上方的抛物线上存在这样的点 使四边形 是 直， 平行四边形， 的坐标是（ 和（ ） 点，） ， ； （） 中， ， ， 勾股定理得： 槡 ， 在 由 的周长是 轴， 易证明 容， 的周长 ， 即 的周长 ， 化简整理得：与 的函数关系式是： ， ） （ ， 最大值， 时，的最大值是 ，有 当 【 路分析】 已知解析式为 我们只需要根
8、据抛 思 （） ， ，对又 物线的图象及性质求出 即可 称轴为 ， 过点 （ ， 以函数表达式易得； 通过对称关系， 定点 的坐标， ，） 所 （） 确再分 别 运 用 勾 股 定 理 计 算 和 的 长 ， 加 即 可 ； 四 边 形 以 相（） 、 为顶点的四边形为平行四边形， 必定对边平行且相等 、 则因为已知 ， 以 ， 、 的位置如 位置关系， 所 即 、则可分 种情形， 点在 点右下方， 向下平移 个单位， 即向右平移 个单位与 重合； 点在 右下方， 向下平移 即个单位， 右平移 个单位与 重合 为 在抛物线上， 设坐 向因可 ， 得 坐标， 于 在 轴上， 以其 标为（， ）易
9、 由所纵坐标为 则可得关于 的方程， 而求出 求出 的坐标； ，进，解： 抛物线 交 轴于 ， （） （ ，） ， 对称轴是 ， ， ， 即 、 抛物线为 两个关于 的方程联立解得 ， ， ；（ ） （ ） 抛物线对称轴为 且抛物线与 轴交点 的坐标 由 知 ，为 （ ，） 点 坐标为（ ， 点 坐标为（ ，） ，） 在 中， 根据勾股定理得 ， ， ； 在 中， 根据勾股定理得 槡， ， ， 又 所以 的周长为 槡； ， 且 （ ）四边形为平行四边形， 点在 点右下方， 向下平移 个单位， 右平移 个单位 即向与 重合， ）则 ， ） 在 轴上， 设 （， ， （ ， ，解得 与 重合， 去
10、） 或 （舍， ，（ ，） 点在 右下方， 向下平移 个单位， 右平移 个单位与 即向 重合 ）则 ， ）在 轴上， 设 （， ， （ ， ，解得 槡， 槡， 或 槡， 槡， 或 （ 槡， 或（ 槡， ， ） ）综上所述， 的坐标为（ ，） （ 槡， 或（ 槡， 、 ） ） 知 ， （，） （，） 入 解：由 （） （，）把 和 代 解得 ， 得 ， 所以， 物线的函数解析式为 抛；（ ） 于 交 轴于 点 可 知 由 （ ，） ， 对称轴为直线 由抛物线 可得其 设点 关于 的对称点为 （ ，） ， 第 题解图 于点 根据轴对称的性质和两点之间线段 ，连接 交直线 最短可知， 时 的值最小，
11、 的周长的值 此 即最小， 又（ ，） ，） ， （ ， （ ） 槡， 槡 槡 ， 称轴平行于 轴， 抛物线对称轴为 对 当 时， 、 、 组成的四边形为平行四边形， 由 、 设 的解析式为 过点 和点 的一次函数为 ， （ ，） ， ， （ ，） 解得 ， ，） 入， ， 和 （ 的解析式为 将点 （ ，） 点 代 得 解得 ， ， 过点 与点 的一次函数为 ，时， 次函数值为 ，当 一，） 点 的坐标为（ ， 当 时， 、 、 为顶点的四边形是平行四边形， 时 以 、 ， 两点的位置如解图， 此又 ， 时， 点坐标为（， ， ） 当 点坐标为（，） （， 时， 点 、 、 为顶点的 和 ）以 、 四边形为平行四边形