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1、知识点大全第四章三角函数一、突破方法技巧：1三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如：1=cos2+sin2=tanx cotx=tan45 等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角： =（+） ， =22等。（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asin +bcos=22basin( +) ，这里辅助角所在象限由a、b 的符号确定，角的值由 tan=ab确定。2. 解答三角高考题的
2、策略。(1) 内角和定理：三角形三角和为，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方. (2) 正弦定理：2sinsinsinabcRABC(R为三角形外接圆的半径). 注意：正弦定理的一些变式：sinsinsini a b cABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2sin,2 sin,2 siniiiaRA bRB bRC；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. (3) 余弦定理：2222222cos ,
3、cos2bcaabcbcAAbc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. (4) 面积公式：11sin22aSahabC. 特 别 提 醒 ： （ 1 ） 求 解 三 角 形 中 的 问 题 时 ， 一 定 要 注 意ABC这 个 特 殊 性 ：,ABC s i n ()si n, s i nc os22ABCABC；（2） 求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。二、三角函数真题汇编1.2012 文（ 3）若函数( )sin(0,2)3xf x是偶函数，则A.2 B.32 C.23 D.35解：函数)33sin(3sin)(xxxf，因为函数)33sin()(
4、xxf为偶函数， 所以k23，所以Zkk ,323, 又2,0，所以当0k时，23，选 C. 2.2012 文（ 4）已知为第二象限角，3sin5，则sin2A.2524 B.2512 C.2512 D.2524【解析】因为为第二象限，所以0cos，即54sin1cos2，所以25125354cossin22sin，选 B. 3.2012 理（ 7）已知 为第二象限角，33cossin，则 cos2=( ) A. 5-3 B.5-9 C.59 D.53【解析】因为33cossin所以两边平方得31cossin21， 所以032cossin2，因为已知 为第二象限角，所以0cos,0sin，31
5、535321cossin21cossin，所以)sin)(cossin(cossincos2cos22= 3533315，选 A. 4.2012 年文理（ 14）当函数sin3 cos (02 )yxxx取得最大值时，x=_. 【解析】函数为)3sin(2cos3sinxxxy，当20 x时，3533x，由三角函数图象可知，当23x，即65x时取得最大值，所以65x. 5. 2012年理（ 17） （本小题满分10 分） （注意：在试卷上作答无效）ABC的内角 A、B、 C的对边分别为a、b、c，已知 cos（A-C） cosB=1，a=2c，求 C. 【解析】由()ABCBAC，由正弦定理及
6、2ac可得：sin2sinAC，所以cos()coscos()cos()cos()cos()ACBACACACACcoscossinsincoscossinsin2sinsinACACACACAC故由cos()cos1ACB与sin2sinAC可得：22sinsin14sin1ACC而C为三角形的内角且2acc，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页知识点大全故20C，所以21sin C，故6C。6. 2012文（ 17）( 本小题满分10 分) （注意：在试题卷上作答无效）ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边a、
7、b、c满足223bac，求A。7. 2011 文理 (5) 设函数( )cos(0)f xx，将( )yf x的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ( ) A.13 B.3 C.6 D.9【解析】 由题意将( )yf x的图像向右平移3个单位长度后， 所得的图像与原图像重合，说明了3是此函数周期的整数倍, 所以有2()3kkZ, 解得6k, 又0, 令1k, 得min6.8. 2011文(14) 已知3( ,)2,tan2, 则cos . 【解析】3( ,)2,tan2, 则cos55. 9. 2011理(14) 已知(,)2,5sin5, 则tan2 . 【解
8、 析】由(, )2,5sin5得2 5cos5,故sin1tancos2,22 tan4tan21tan3. 10. 2011文(18) ( 本小题满分12 分)( 注意：在试题卷上作答无效) ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c. 己知sincsin2 sinsinaACaCbB. ( ) 求 B；（）若075 ,2,Abac求 ，. 解： (I) 由正弦定理得2222acacb3 分由余弦定理得2222cosbacacB. 故2cos2B，因此45B . 6 分（II ）sinsin(3045 )Asin30 cos45cos30 sin 452648 分故sin2613sin2
9、AabB，sinsin6026sinsin45CcbB. 12 分11.2011 理(17)( 本小题满分l0 分)( 注意：在试题卷上作答无效) ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知90AC, ,求C.【解析】由2acb及正弦定理可得sinsin2 sinACB 3 分又由90AC,180()BAC, 故cossin2 sin()CCAC=2 sin(902)C=2 cos2C7 分22cossincos222CCC,cos(45)cos2CC因为090C, 所以245CC,15C 10 分12. 2010文(1)cos300( C ) (A)32 (B)-12 (C)12
10、(D)3213.2010 文(14) 已知为第二象限的角，3sin5a, 则tan2。答案：72414. 2010理(2) 记cos( 80 )k, 那么tan100A.21kk B. -21kk C. 21kkD. -21kk【解析1】222sin801cos 801cos ( 80 )1 k,所以tan102sin801.cos80kk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页知识点大全【解析 2】cos( 80 )kcos(80 )k，00000sin 18080sin100sin80tan1001008018080o
11、ooconconcon21kk15. 2010理(14) 已知为第三象限的角，3cos25, 则tan(2 )4 . 【解析 1】 因为为第三象限的角, 所以2(2(21) ,2(21) )()kkkZ， 又3c o s 250，0，直线4x和45x是函数f(x)=sin(x+)图像的两条相邻的对称轴，则= （A）4（B）3（C）2（D）34【解析】因为4x和45x是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T，即2,2TT.又22T， 所 以1， 所 以)sin()(xxf， 因 为4x是 函 数 的 对 称 轴 所 以k24，所以k4，因为0，所以4，检验知此时45x也为对称轴，所以选A. 3.
12、 【2012 高考山东文8】函数2sin(09)63xyx的最大值与最小值之和为( ) (A)23(B)0 (C) 1 (D)13【解析】因为90 x，所以6960 x，369363x，即67363x，所以当336x时，最小值为3)3sin(2， 当236x时，最大值为22sin2，所以最大值与最小值之和为32，选 A. 4.【2012 高考全国文3】 若函数( )sin(0,2)3xf x是偶函数， 则( ) （A ）2（B）32（C）23（D）35【 解 析 】 函 数)33sin(3sin)(xxxf， 因 为 函 数)33sin()(xxf为 偶 函 数 ， 所 以k23，所以Zkk
13、,323, 又2,0，所以当0k时，23. 5. 【2012 高考重庆文5】sin47sin17 cos30cos17=( ) （A）32（B）12（C）12（ D）32【解析】sin47sin17 cos30sin(3017 )sin17 cos30cos17cos17sin30 cos17cos30 sin17sin17 cos30sin30 cos171sin 30cos17cos1726. 【2012 高考上海文17】在ABC中，若222sinsinsinABC，则ABC的形状是（）A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D 、不能确定【 解 析 】 根 据 正 弦 定 理 可
14、 知 由CBA222s i ns i ns in, 可 知222cba， 在 三 角 形 中02c o s222abcbaC，所以C为钝角，三角形为钝角三角形，选A. 7. 【2012 高考辽宁文6】已知sincos2，(0 ， ) ，则sin2= (A) 1 (B) 22 (C) 22 (D) 1 【解析】2sincos2,(sincos)2,sin 21,8. 【2012 高考江西文4】若sincos1sincos2，则 tan2 = A. -34 B. 34 C. -43 D. 43【 解 析 】 由21cossincossin， 得c o ss i n)c o s( s i n2， 即
15、3t a n。 又4386916t a n1t a n22t a n2，选 B. 9. 【 2012高考江西文9】 已知2( )sin ()4f xx若a=f（lg5 ） ，1(lg)5bf， 则 （） A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1 【解析】先化简函数22sin212)4(2cos1)4(sin)(2xxxxf，所以25lg2sin21)5(lg）（fa，25lg2sin21251lg2sin21)51(lg）（）（fb，所以125lg2sin2125lg2sin21）（）（ba，选 C。10.【2012 高考湖南文8】 在ABC中，AC=7， BC=2 ，
16、B =60，则 BC边上的高等于A32 B.3 32C.362 D.3394【解析】设ABc，在 ABC中，由余弦定理知2222cosACABBCAB BCB，即27422cos60cc，2230,( -3)(1)cccc即=0.又0,3.cc设 BC边上的高等于h，由三角形面积公式11sin22ABCSAB BCBBC h，知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页知识点大全1132sin 60222h，解得3 32h. 11. 【 2012 高考广东文6】在ABC中，若60A，45B，3 2BC，则AC（ ）A. 4
17、3 B. 2 3 C. 3 D. 32【解析】根据正弦定理，sinsinBCACAB，则23 2sin22 3sin32BCBACA. 12. 【 2102 高考福建文8】函数 f(x)=sin(x-4) 的图像的一条对称轴是 A.x=4 B.x=2 C.x=-4 D.x=-2【 解 析 】 因 为xysin的 对 称 轴 为Zkkx,2， 所 以)4s i n ()(xxf的 对 称 轴 为Zkkx,24，即Zkkx,43，当1k时，一条对称轴是4x. 故选 C. 13. 【 2012 高考浙江文18】 （本题满分14 分）在 ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b， c，且bsinA
18、=3acosB。（1）求角 B的大小；（2）若 b=3，sinC=2sinA ，求 a，c 的值 . 【解析】（1）bsinA=3acosB，由正弦定理可得sinsin3 sincosBAAB，即得tan3B，3B. （ 2 ）sinC=2sinA， 由 正 弦 定 理 得2ca， 由 余 弦 定 理2222cosbacacB，229422 cos3aaaa，解得3a，22 3ca. 14. 【 2012 高考山东文17】 ( 本小题满分12 分) 在 ABC中，内角,A B C 所对的边分别为, ,a b c ，已知 sin(tantan)tantanBACAC . ( ) 求证：, ,a
19、b c 成等比数列；( ) 若1,2ac，求ABC的面积S. 解： (I) 由已知得：sin(sincoscossin)sinsinBACACAC ，sinsin()sinsinBACAC ，2sinsinsinBAC ，再由正弦定理可得：2bac ，所以, ,a b c成等比数列 . (II)若1,2ac，则22bac，2223cos24acbBac，27sin1cos4CC， ABC 的面积1177sin122244SacB. 15. 【2012 高考真题重庆理5】设tan,tan是方程2320 xx的两个根，则tan()的值为（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3 【解析】 因为ta
20、n,tan是方程2320 xx的两个根， 所以3tantan，2tantan，所以3213tantan1tantan)tan(，选 A. 16. 【2012 高考真题新课标理9】已知0，函数( )sin()4f xx在(,)2上单调递减 . 则的取值范围是（）()A1 5,2 4()B1 3,2 4()C1(0,2()D(0,2【解析】 函数)4sin()(xxf的导数为)4cos()( xxf， 要使函数)4sin()(xxf在),2(上单调递减，则有0)4cos()( xxf恒成立，则kxk223422，即kxk24524，所以Zkkxk，2424， 当0k时 ，454x， 又x2， 所
21、以 有45,24，解得45,21，即4521，选 A. 17. 【2012 高考真题陕西理9】在ABC中，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，若2222abc，则cosC的最小值为（）A. 32 B. 22 C. 12 D. 12【解析】由余弦定理知214242)(212cos222222222abababbaabbabaabcbaC，18. 【2012 高考真题山东理7】若42，3 7sin 2 =8，则sin（A）35（B）45（C）74（D）34精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页知识点大全【解析】因为
22、2,4，所以,22，02cos，所以812sin12cos2，又81sin212cos2，所以169sin2，43sin，选 D. 19.【2012 高考真题辽宁理7】 已知sincos2，(0， ) ， 则t a n= （） (A) 1 (B) 22 (C) 22 (D) 1 解析一：sincos2,2sin()2,sin()1443(0),tan14，故选 A 【解析二】2sincos2,(sincos)2,sin 21,33(0,),2(0,2 ),2,tan12420. 【 2012 高考真题江西理4】若 tan+1tan =4, 则 sin2=（）A15 B. 14 C. 13 D.
23、 12【 解 析 】 由4tan1tan得 ，4cossincossinsincoscossin22， 即42sin211， 所 以212sin，选 D. 21. 【 2012 高考真题新课标理17】 （本小题满分12 分）已知, ,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边，cos3 sin0aCaCbc（1）求A； （ 2）若2a，ABC的面积为3；求,b c. 解： （1）由正弦定理得：cos3 sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBCsincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30 )2303060ACACaCCAAAAA（2
24、）1sin342SbcAbc，2222cos4abcbcAbc22.【 2012 高考真题浙江理18】 ( 本小题满分14 分) 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 cosA23，sinB5 cosC( ) 求 tanC的值； ( ) 若a2 ，求ABC的面积解：( ) cosA230， sinA251cos3A，又5 cosC sinBsin(AC) sinAcosCsinCcosA 53cosC23sinC整理得： tanC5 ( ) 由图辅助三角形知：sinC56又由正弦定理知：sinsinacAC，故3c (1) 对角A运用余弦定理：cosA222223bcabc (
25、2) 解(1) (2)得：3borb33( 舍去 ) ABC的面积为：S52第五章平面向量1.2012 全国卷文理 （9）ABC中，AB边的高为CD， 若C Ba，CAb，0a b，| 1a，| 2b，则AD（）A.1133ab B.2233ab C.3355ab D.4455ab【解析】如图，在直角三角形中，521ABCACB，, 则52CD, 所以5454422CDCAAD, 所以54ABAD, 即babaABAD5454)(5454. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页知识点大全A B C D 2.2011 文
26、 (3) 设向量,a b满足| | 1ab,12a br r, 则2ab（A）2（B）3（C）5（D）7解:2221|2 |44|14()432abaa bbrrrr ru r, 所以23abrr3. 2011理(12) 设向量ar，br，cr满足 | | | 1abrr，12a br rg，,60ac bcrr rr，则|cr的最大值等于 ( ) A.2 B.3 C.2 D.1 【解析】如图，设,ABa ADb ACcuu u rr uuu rr uuu rr， 则1 2 0,6 0B A DB C D，180BADBCD，,A B C D四点共圆，当AC为圆的直径时，| |cr最大，最大值
27、为2.4. 2009文（ 8）设非零向量a、b、c满足cbacba|,|，则ba,( ) A.150 B.120 C.60 D.30解：由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。5. 2009 理（6）设a、b、c是单位向量， 且ab0，则a cb c的最小值为 ( D ) A.2B.22 C.1 D.12解: , ,a b c是单位向量2()acbca babcc1 | | | 12cos,12abcab c故选 D. 62008 理 3. 在ABC中，ABc，ACb若点D满足2BDDC，则AD（）A2133bcB5233
28、cbC2133bc D1233bc解： A. 由2ADABACAD，322ADABACcb，所以1233ADcb；7.【2012 高考真题重庆理6】 设, x yR， 向量( ,1),(1, ),(2,4)axbyc且cbca/,， 则ba=（）（A）5（B）10（C）2 5（D）10 【 解 析 】 因 为cbca/,， 所 以 有042x且042y， 解 得2x，2y， 即)2, 1(),1 , 2(ba，所以) 1, 3(ba，10ba，选 B. 8. 【2012 高考真题广东理3】若向量BA=（2,3 ） ，CA=（4,7 ） ，则BC= A （-2,-4 ） B (3,4) C (6
29、,10) D (-6,-10) 【解析】)4,2()7,4()3 ,2(CABABC故选 A9. 【2012 高考真题新课标理13】已知向量,a b夹角为45，且1, 210aab；则_b【 解 析 】 因 为102ba， 所 以10)2(2ba， 即104422bbaa， 所 以1045cos4402bb，整理得06222bb，解得23b或2-b（舍去） . 10. 【2012 高考真题安徽理14】若平面向量,a b满足：23ab，则a b的最小值是_。【解析】22222349494449448ababa baba ba ba ba ba b11. 【2012 高考陕西文7】设向量a=（1.
30、cos）与b=（ -1 ， 2cos）垂直，则cos2等于（）A22 B12 C .0 D.-1 【解析】02cos0cos212ba，故选 C. 12.【 2102 高考福建文3】已知向量 a= （x-1,2 ） ，b= （2,1 ） ， 则 ab 的充要条件是 （） A.x=-12 B.x-1 C.x=5 D.x=0 【解析】00122) 1(xxba，故选 D 13. 【 2012 高考安徽文11】设向量)2, 1(ma，) 1 , 1(mb，), 2(mc，若bca)(，则|a_. 1(3,3),()3(1)3022acmac bmmma。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页