《2022年导数与函数的极值、最值问题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年导数与函数的极值、最值问题 .pdf（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 / 37【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数( )f x的定义域并求出函数( )f x的导函数( )fx ；第二步求方程( )0fx的根；第三步判断( )fx在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值 . 例 1 已知函数
2、xxxfln1)(，求函数f x的极值. 【答案】极小值为1，无极大值 . 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令( )0fx，可解出其极值点，然后根据导函数大于 0、小于 0 即可判断函数( )f x的增减性，进而求出函数( )f x的极大值和极小值【变式演练 1】已知函数322( )f xxaxbxa 在1x处有极值 10，则(2)f等于（）A 11 或 18 B 11 C 18 D17 或 18 【答案】 C 【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 37 页2 / 37试题分析：baxxxf23)(2,1010
3、232ababa114012232baaaab或33ba当33ba时 , 0)1(3)(2xxf在1x处 不 存 在 极 值 当114ba时 ，)1)(113(1183)(2xxxxxf，0)(),1 ,311(xfx；0)(), 1 (xfx,符合题意所以114ba181622168)2(f故选 C考点：函数的单调性与极值【变式演练 2】设函数21ln2fxxaxbx，若1x是 fx 的极大值点，则 a的取值范围为（）A1,0B1,C 0,D, 10,U【答案】 B 【解析】考点：函数的极值【变式演练 3】函数xmxmxxf)1(2)1(2131)(23在)4,0(上无极值，则 m_. 【答
4、案】 3【解析】试题分析：因为xmxmxxf)1(2)1(2131)(23，所以2( )(1)2(1)21fxxmxmxxm，由0fx得2x或1xm，又因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 37 页3 / 37函数xmxmxxf)1(2)1(2131)(23在)4,0(上无极值，而 20,4 ， 所以只有12m，3m时， fx 在R上单调，才合题意，故答案为3. 考点： 1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性. 【变式演练4】已知等比数列 na的前 n项和为12nnSk，则32( )21f xxkxx的极
5、大值为（）A2 B52C3 D72【答案】 B 【解析】考点： 1、等比数列的性质； 2、利用导数研究函数的单调性及极值【变式演练5】设函数32( )(1)f xxa xax有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f xf x恒成立，则实数 a的取值范围是【答案】1(, 1,22U【解析】试 题 分 析 ： 因 为12()()0f xf x, 故 得 不 等 式332212121210 xxaxxa xx,即221212121212123120 xxxxx xaxxx xa xx, 由于232 1fxxa xa, 令0fx得方程232 10 xa xa,因2410aa, 故1
6、2122133xxaax x， 代 入 前 面 不 等 式 , 并 化 简 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 37 页4 / 371a22520aa,解不等式得1a或122a，因此 , 当1a或122a时, 不等式120fxfx成立,故答案为1(, 1,22U. 考点： 1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法. 【变式演练 6】 已知函数3220fxxaxxa的极大值点和极小值点都在区间1,1 内, 则实数a的取值范围是【答案】32a【解析】考点：导数与极值类型二求函数在闭区间上的最值使用情景：一般
7、函数类型解题模板：第一步求出函数( )f x在开区间( , )a b内所有极值点；第二步计算函数( )f x在极值点和端点的函数值；第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 例 2 若函数2xfxexmx，在点 1,1f处的斜率为1e（1）求实数 m的值；（2）求函数 fx 在区间1,1 上的最大值【答案】 （1）1m； （2）maxfxe. 【解析】试题分析：（1）由(1)1fe解之即可；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 37 页5 / 37（2）21xfxex为递增函数且1110,130fef
8、e,所以在区间( 1,1)上存在0 x 使0()0fx，所以函数在区间0 1,x上单调递减，在区间0,1x上单调递增，所以maxmax1 ,1fxff，求之即可 . 试题解析：（1）2xfxexm，12fem，即21eme，解得1m；实数 m的值为 1；（2）21xfxex为递增函数，1110,130fefe，存在01,1x，使得00fx，所以maxmax1 ,1fxff，112,1fefe，max1fxfe考点： 1.导数的几何意义； 2.导数与函数的单调性、最值. 【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选
9、择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围. 【变式演练 7】已知xexxf1)(. （1）求函数)(xfy最值；（2）若)()(2121xxxfxf，求证：021xx. 【答案】 （1）)(xf取最大值1)0()(maxfxf，无最小值；（2）详见解析 . 【解析】试题解析：（1）对)(xf求导可得xxxxexeexexf2) 1()(，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 37 页6 / 3
10、7令0)(xexxf得 x=0. 当)0 ,(x时，0)(xf，函数)(xf单调递增；当),0(x时，0)(xf，函数)(xf单调递减，当 x=0 时，)(xf取最大值1)0()(maxfxf，无最小值 . （2）不妨设21xx，由（ 1）得当)0 ,(x时，0)(xf，函数)(xf单调递增；当),0(x时，0)(xf，函数)(xf单调递减，若)()(21xfxf，则210 xx，考点： 1.导数与函数的最值； 2.导数与不等式的证明 . 【变式演练 7】已知函数( )lnf xxx，2( )2g xxax. （）求函数( )f x 在 ,2(0)t tt上的最小值；（）若函数( )( )yf
11、 xg x 有两个不同的极值点1212,()x xxx且21ln 2xx，求实数 a 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 37 页7 / 37【答案】 （）min110( )1ln ,teef xtt te，； （）2ln 2ln 2ln()133a. 【解析】试题分析：（）由( )ln10fxx，得极值点为1xe，分情况讨论10te及1te时，函数)(xf的最小值； （）当函数( )( )yf xg x 有两个不同的极值点，即ln210yxxa有两个不同的实根1212,()x x xx，问题等价于直线ya
12、与函数( )ln21G xxx的图象有两个不同的交点，由)(xG单调性结合函数图象可知当min1( )( )ln 22aG xG时，12,x x 存在，且21xx 的值随着 a的增大而增大， 而当21ln 2xx时，由题意1122ln210ln210 xxaxxa，214xx代入上述方程可得2144ln 23xx，此时实数 a的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a. 试题解析：（）由( )ln10fxx，可得1xe，10te时，函数( )f x 在1( ,)te上单调递减，在1(,2)te上单调递增，函数( )f x 在 ,2(0)t tt上的最小值为11( )fee，当1te时，(
13、)f x 在 ,2t t上单调递增，min( )( )lnf xf ttt ，min110( )1ln ,teef xtt te，；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 37 页8 / 37两式相减可得1122ln2()2ln 2xxxx214xx 代入上述方程可得2144ln 23xx，此时2ln 2ln 2ln()133a，所以，实数 a的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a；考点：导数的应用【变式演练 8】设函数ln1fxx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
14、 -第 8 页，共 37 页9 / 37（1）已知函数2131424Fxfxxx,求 F x 的极值；（2） 已知函数2210G xfxaxaxa a,若存在实数2,3m,使得当0,xm 时,函数 G x 的最大值为 G m ,求实数 a的取值范围 . 【答案】 （1）极大值为 0，极小值为3ln 24； （2） 1 ln 2,. 【解析】,F xFx 随 x 的变化如下表 : x0,111,222,Fx00F xZ03ln 24Z当1x时,函数 F x 取得极大值10F;当2x时,函数 F x 取得极小值32ln 24F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
15、- - - - - -第 9 页，共 37 页10 / 37当112a, 即12a时, 函数 fx 在10,2a和 1,上单调递增 , 在1,12a上单调递减 , 要存在实数2,3x,使得当0,xm 时, 函数 G x 的最大值为 G m ,则122GGa,代入化简得1ln 2ln 2104aa. 令11ln 2ln 2142g aaaa,因11104gaaa恒成立 , 故恒有111ln 20,222g aga时,式恒成立 ; 综上，实数 a的取值范围是1ln2,. 考点：函数导数与不等式【高考再现】1. 【2016 高考新课标 1 卷】 （本小题满分 12 分）已知函数221xfxxea x
16、有两个零点. (I)求 a 的取值范围；(II) 设 x1,x2是 fx 的两个零点 ,证明：122xx. 【答案】 (0,)试题解析 ;（）( )(1)2 (1)(1)(2 )xxfxxea xxea （i）设0a,则( )(2)xf xxe ,( )f x只有一个零点（ii）设0a,则当(,1)x时,( )0fx；当(1,)x时,( )0fx所以( )f x 在(,1)上单调递减 ,在(1,) 上单调递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 37 页11 / 37又(1)fe,(2)fa,取b满足0b且ln2ab,则22
17、3( )(2)(1)()022af bba ba bb, 故( )f x 存在两个零点（iii ）设0a,由( )0fx得1x或ln( 2 )xa 若2ea,则 ln( 2 )1a,故当(1,)x时,( )0fx,因此( )f x 在 (1,)上单调递增又当1x时,( )0f x,所以( )f x不存在两个零点若2ea,则 ln( 2 )1a,故当(1,ln( 2 )xa时,( )0fx；当(ln( 2 ),)xa时,( )0fx因此( )f x 在 (1,ln( 2 )a单调递减 ,在 (ln( 2 ),)a单调递增又当1x时,( )0f x,所以( )f x 不存在两个零点综上, a的取值
18、范围为 (0,)（）不妨设12xx ,由（）知12(,1),(1,)xx,22(,1)x,( )f x 在 (,1)上单调递减,所以122xx等价于12()(2)f xfx,即2(2)0fx由于222222(2)(1)xfxx ea x,而22222()(2)(1)0 xf xxea x,所以222222(2)(2)xxfxx exe设2( )(2)xxg xxexe ,则2( )(1)()xxg xxee所以当1x时,( )0g x,而(1)0g,故当1x时,( )0g x从而22()(2)0g xfx,故122xx考点：导数及其应用2. 【2016高考山东理数】 (本小题满分 13分) 已
19、知221( )ln,Rxf xa xxax. （I）讨论( )fx的单调性；（II）当1a时，证明3( )2f xfx对于任意的1,2x成立. 【答案】 （）见解析；（）见解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 37 页12 / 37【解析】试题分析：（）求( )f x的导函数，对 a 进行分类讨论，求( )f x的单调性；（）要证3( )2fxfx对于任意的1,2x成立，即证23)()(/xfxf，根据单调性求解 . （1）20a，12a，当) 1 ,0(x或x),2(a时，0)(/xf，)(xf单调递增；当x)2, 1
20、 (a时，0)(/xf，)(xf单调递减；（2）2a时，12a，在x),0(内，0)(/xf，)(xf单调递增；（3）2a时，120a，当)2,0(ax或x), 1(时，0)(/xf，)(xf单调递增；当x)1 ,2(a时，0)(/xf，)(xf单调递减 . 综上所述，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 37 页13 / 37（）由（）知，1a时，/22321122( )( )ln(1)xf xfxxxxxxx23312ln1xxxxx， 2, 1x，令1213)(,ln)(32xxxxhxxxg，2, 1x. 则)()(
21、)()(/xhxgxfxf，由01)(/xxxg可得1) 1()(gxg，当且仅当1x时取得等号 . 又24326( )xxh xx，设623)(2xxx，则)(x 在x2 , 1 单调递减，因为10)2(, 1) 1(，考点： 1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想 . 【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 37 页14 / 37分类讨论是关键，易
22、错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出 .本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 3. 【2016高考江苏卷】（本小题满分 16分）已知函数( )(0,0,1,1)xxf xababab.设12,2ab. （1）求方程( )2f x的根; （2）若对任意xR,不等式(2 )f( )6fxmx恒成立，求实数m的最大值；（3）若01,1ab，函数2g xfx有且只有 1 个零点，求ab的值。【答案】 （1）0 4（2）1 【解析】试题解析：（1）因为12,2ab，所以( )22xxf x. 方程( )2f x，即 222xx，亦即2(2
23、 )2210 xx，所以2(21)0 x，于是 21x，解得0 x. 由条件知2222(2 )22(22 )2( )2xxxxfxf x. 因为(2 )( )6fxmf x对于 xR恒成立，且( )0f x，所以2( )4( )f xmf x对于 xR恒成立 . 而2( )444( )2( )4( )( )( )f xf xf xf xf xf x?，且2( (0)44(0)ff，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 37 页15 / 37所以4m，故实数 m的最大值为 4. （2）因为函数( )( )2g xf x只有 1
24、 个零点，而00(0)(0)220gfab，所以 0 是函数( )g x的唯一零点 . 因为( )lnlnxxg xaabb，又由01,1ab知ln0,ln0ab，所以( )0g x有唯一解0lnlog ()lnbaaxb. 令( )( )h xg x ，则22( )(lnln )(ln)(ln )xxxxh xaabbaabb，从而对任意 xR，( )0h x，所以( )( )g xh x 是(,)上的单调增函数，于是当0(,)xx，0( )()0gxg x；当0(,)xx时，0( )()0g xg x. 因而函数( )g x在0(,)x上是单调减函数，在0(,)x上是单调增函数 . 下证0
25、0 x. 若00 x，则0002xx，于是0()(0)02xgg，又log 2log2log2(log2)220aaaagaba，且函数( )g x在以02x和log 2a为端点的闭区间上的图象不间断， 所以在02x和log 2a之间存在( )g x的零点，记为1x . 因为 01a，所以 log 20a，又002x，所以10 x与“0 是函数( )g x的唯一零点”矛盾 . 若00 x，同理可得，在02x和 log 2a之间存在( )g x的非 0 的零点，矛盾 . 因此，00 x. 于是ln1lnab，故 lnln0ab，所以1ab. 考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零
26、点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数. 4. 【2016高考天津理数】（本小题满分 14 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 37 页16 / 37设函数3( )(1)f xxaxb,Rx，其中Rba,(I)求)(xf的单调区间；(II)
27、若)(xf存在极值点0 x ，且)()(01xfxf，其中01xx，求证：1023xx；（）设0a，函数|)(|)(xfxg，求证：)(xg在区间 1 ,1上的最大值不小于41. 【答案】 （）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：axxf2) 1( 3)( ，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当0a时，有( )0fx恒成立，所以( )f x的单调增区间为(,).当0a时，存在三个单调区间试题解析：（）解：由baxxxf3) 1()(，可得axxf2)1( 3)( . 下面分两种情况讨论：（1）当0a时，有0)1(3)( 2axxf恒成立，所以)(xf的单
28、调递增区间为),(. （2）当0a时，令0)( xf，解得331ax，或331ax. 当 x变化时，)( xf，)(xf的变化情况如下表：x)331 ,(a331a)331 ,331(aa331a),331(a)( xf0 0 )(xf单调递增极大值单调递减极小值单调递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 37 页17 / 37所以)(xf的单调递减区间为)331 ,331(aa，单调递增区间为)331 ,(a，),331(a. （）证明：设)(xg在区间2, 0上的最大值为M，,maxyx表示yx,两数的最大值 .下面分
29、三种情况同理：（1） 当3a时，33120331aa， 由 （）知，)(xf在区间2,0上单调递减，所以)(xf在区间2,0上的取值范围为)0(),2(ff，因此|1|,21max|)0(|,)2(max|bbaffM|)(1|,)(1max|baabaa0),(10),(1babaababaa，所以2|1baaM. （2）当343a时，3321233133103321aaaa，由（）和（）知，)331()3321()0(afaff，)331()3321()2(afaff，所以)(xf在区间2,0上的取值范围为)331 (),331(afaf，因此|392|,392max|)331(|,)33
30、1 (max|baaabaaaafafM|)(392| |,)(392max|baaabaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 37 页18 / 37414334392|392baaa. 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】 1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域 (定义域优先 )；(2)求导函数 f(x)；(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式f(x)0 或 f(x)0 的解集(4)由 f(x)0(f(x)0)的解集确定函数 f (x)的单调增 (减)区间若遇不等
31、式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数 f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x) 0( 或 f(x) 0) 恒成立问题，要注意 “ ” 是否可以取到5. 【2016 高考新课标 3 理数】设函数( )cos2(1)(cos1)f xaxax，其中0a，记|( ) |fx的最大值为A（）求( )fx；（）求A；（）证明|( ) | 2fxA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 37 页19 / 37【答案】 （）( )2 sin2(1)sinfxaxax； （）2123 ,0561 1,1853
32、2,1aaaaAaaaa； （）见解析【解析】试题解析：（）( )2 sin2(1)sinfxaxax（）当1a时，|( ) | | sin2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f因此，32Aa 4 分当 01a时，将( )f x变形为2( )2 cos(1)cos1f xaxax令2( )2(1)1g tatat，则A是|( ) |g t在1,1上的最大值，( 1)ga，(1)32ga，且当14ata时，( )g t取得极小值，极小值为221(1)61()1488aaaagaaa令1114aa，解得13a（舍去） ，15a精选学习资料 - - - - - - - - -
33、名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 37 页20 / 37（）由（）得|( )| | 2 sin 2(1)sin|2|1|fxaxaxaa. 当105a时，|( ) | 1242(23 )2fxaaaA. 当115a时，131884aAa，所以|( ) | 12fxaA . 当1a时，|( ) | 31642fxaaA，所以|( ) | 2fxA. 考点： 1、三角恒等变换； 2、导数的计算； 3、三角函数的有界性【归纳总结】 求三角函数的最值通常分为两步： （1）利用两角和与差的三角公式、 二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如sin()yAxB的形式； （2）结合自变量
34、 x的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解6. 【2016 高考浙江理数】（本小题 15 分）已知3a，函数 F（x）=min2| x- 1|，x2- 2ax+4a- 2，其中 min p，q=,ppqq pq.，（I）求使得等式 F（x）=x2- 2ax+4a- 2 成立的 x 的取值范围；（II） （i）求 F（x）的最小值 m（a） ；（ii）求 F（x）在区间 0,6上的最大值 M（a）. 【答案】 （I） 2,2a ； （II） （i）20,32242,22am aaaa； （ii）348 ,342,4aaaa【解析】试 题 分 析 ：（ I ） 分 别 对1x和1x两 种 情
35、况 讨 论 F x， 进 而 可 得 使 得 等 式2F242xxaxa成 立 的 x 的 取 值 范 围 ；（ II ）（ i ） 先 求 函 数21fxx，2242g xxaxa的最小值，再根据F x 的定义可得 F x 的最小值 m a ； （ii ）分别对02x和 26x两种情况讨论F x 的最大值，进而可得F x 在区间0,6 上的最大值a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 37 页21 / 37（ii）当 02x时，Fmax0 ,22F 2xfxff，当 26x时，Fmax2 ,6max 2,348max F
36、 2 ,F 6xg xgga所以，348 ,342,4aaaa考点： 1、函数的单调性与最值； 2、分段函数； 3、不等式【思路点睛】（I）根据 x的取值范围化简 F x ，即可得使得等式2F242xxaxa成立的x的取值范围；（II） （i）先求函数 fx 和 g x 的最小值，再根据 F x 的定义可得 m a ； （ii）根据 x的取值范围求出 F x 的最大值，进而可得a 7. 【2016高考新课标 2 理数】 ()讨论函数xx2f (x)x2e 的单调性，并证明当0 x时，(2)20 xxex；()证明：当0,1)a时，函数2x =(0)xeaxagxx（ ）有最小值 .设( )g
37、x的最小值为( )h a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 37 页22 / 37求函数( )h a的值域【答案】 （）详见解析；（）21(,.24e. 【解析】试题分析： （）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当(0,)x时，( )(0)f xf证明结论； （）用导数法求函数( )g x的最值，在构造新函数00h( )2xeax，又用导数法求解 . （II）22(2)(2)2( )( ( ),xxea xxg xf xaxx由（ I）知，( )f xa单调递增，对任意0,1),(0)10,(2)0,afaafaa因此
38、，存在唯一0(0,2,x使得0()0,f xa即0()0gx，当00 xx 时，( )0,( )0,( )f xag xg x单调递减；当0 xx 时，( )0,( )0,( )f xagxg x单调递增 . 因此( )g x在0 xx 处取得最小值，最小值为000000022000(1)+ ()(1)().2xxxea xef xxeg xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 37 页23 / 37考点： 函数的单调性、极值与最值. 【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f
39、(x)；(3)由 f(x)0(f(x)0)解出相应的 x 的范围当 f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个 “ 整体” 概念，而极值是个 “ 局部” 概念8.【2016年高考四川理数】（本小题满分 14分）设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a R. （）讨论 f(x)的单调性；（）确定 a 的所有可能取值，使得11( )xf xex在区间（ 1，+）内恒成立 (e=2.718为自然对数的底数 ). 【
40、答案】 （）当 x10,)2a（时，( )fx0，( )f x单调递增；（）1,)2a ?. 【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 37 页24 / 37试题解析：（I）2121( )20).axfxaxxxx(0a当时，( )fx0，( )f x在 0 +（ ， ） 内单调递减 . 0a当时，由( )fx=0，有12xa. 此时，当 x10,)2a（时，( )fx0，( )f x单调递增 . （II）令( )g x=111exx，( )s x=1exx. 则( )s x=1e1x. 而当1x时，( )s x0，所以
41、( )s x在区间1 +)（ ，内单调递增 . 又由(1)s=0，有( )s x0，从而当1x时，( )f x0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 37 页25 / 37当0a，1x时，( )f x=2(1)ln0a xx. 故当( )f x( )g x在区间1 +)（ ，内恒成立时，必有0a. 考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题. 【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求( )fx，
42、解方程( )0fx，再通过( )fx的正负确定( )f x的单调性；要证明函数不等式( )( )f xg x，一般证明( )( )f xg x的最小值大于0，为此要研究函数( )( )( )h xf xg x的单调性本题中注意由于函数( )h x有极小值没法确定， 因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖， 学生不易想到有一定的难度【反馈练习】1. 【2017届新疆生产建设兵团二中高三上月考二数学试卷，文 9】 若322( )7f xxaxbxaa在1x处取得极大值 10，则ba的值为（）A 32或12B32或12C 32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
43、- - - - - - -第 25 页，共 37 页26 / 37D12【答案】 C 【解析】试题分析：322( )7f xxaxbxaa，baxxxf232，又322( )7f xxaxbxaa 在1x处 取 得 极 大 值 10 ， 023baxf，107112aabaf，01282aa，2a，1b或6a，9b当2a，1b时，1131432xxxxxf，当131x时，0 xf，当1x时，0 xf，xf在1x处 取 得 极 小 值 ， 与 题 意 不 符 ； 当6a，9b时 ，31391232xxxxxf，当1x时，0 xf，当31x时，0 xf，xf在1x处取得极大值，符合题意；23ab，
44、故选 C考点：利用导数研究函数的极值2. 【2017 届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知21( )ln(0)2f xaxxa，若对任意两个不等的正实数12,x x ， 都有1212()()2f xf xxx恒成立，则实数 a的取值范围是 （）A (0,1B (1,)C (0,1)D1,)【答案】 D 【解析】考点：函数导数与不等式，恒成立问题3 【 2016 届江西新余市高三第二次模拟数学试卷，文8】等差数列na中的40251aa，是函数16431)(23xxxxf的极值点，则20132log a等于（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
45、- - - - -第 26 页，共 37 页27 / 37A 2B3C4D5【答案】 A 【解析】试题分析：2( )86fxxx,14025,a a是方程2860 xx的两根 ,由韦达定理有140258aa,所以2013201328,4aa,故220132loglog 42a,选 A. 考点： 1.函数的极点； 2.等差数列的性质； 3.导数的计算 . 4. 【 2017 届 河 南 濮 阳 第一高 级中 学高 三 上 学 期 检测 二数 学 试 卷 ， 文 12】 已知 函 数321( )3f xxxax.若1( )xg xe,对任意11,22x，存在21,22x，使12()()fxg x成
46、立，则实数 a的取值范围是（）A(,8eeB8,)eeC2, )eD3(,32e【答案】 A 【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用. 5. 【2017 届河南新乡一中高三9 月月考数学试卷，文15】已知数列 na中，11a，函数3212( )3432nnaf xxxax在1x处取得极值，则na_【答案】12 31n【解析】试 题 分 析 ： 因 为3212( )3432nnafxxxax， 所 以2123nnfxxa xa，1 1230nnfaa，1132,131nnnnaaaa,1na是以112a为首项 , 以 3精选学习资料 - -
47、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 37 页28 / 37为公比的等比数列11123,2 31nnnnaa，故答案为12 31ng考点： 1、利用导数求函数极值； 2、根据数列的递推公式求通项公式6. 【2017 届甘肃武威二中高三上学期月考二数学试卷，文 16】 若正数 t满足2ln1aett（ e为自然对数的底数），则实数 a的取值范围为 _ 【答案】1ae【解析】试 题 分 析 ： 设( )(2)lnf tett，2( )lnetfttt2ln1ett， 显 然( )0fe， 又221( )efttt，当0t时，( )0ft，故( )f
48、t是减函数，所以当 0te时，( )0ft，( )f t递 增 ， 当 te 时 ，( )0ft，( )f t递 减 ， 所 以 xe 时 ，( )f t取 极 大 值 也 是 最 大 值( )(2)lnf eeeee，当 t（或0t）时，( )f t，因此( )f te，所以10a或10ea，所以0a中1ae考点： 导数与函数的单调性、极值、最值7. 【2017届河北正定中学高三上学期第一次月考数学试卷，文 22】 已知函数2xfxxax e的两个极值点为12,x x ，且1212,25xxxx（1）求12,x x 的值；（2）若 fx 在1,cc （其中1c）上是单调函数，求 c的取值范围
49、；（3）当me时，求证：32214xxxfxexemeg【答案】 （1）125515,22xx； （2）5535, 122U； （3）证明见解析【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 37 页29 / 37试题解析：（1）22xfxxa xa e，由0fx得220 xa xa，12225xxa，5a由22550 xx得2532x，12xx ，125515,22xx，（2） 由 （1） 知，fx 在12,x x上递减， 在1,x上递增， 其中1255151,122xx，当fx在1,cc上递减时，121cxcx，又1c，3
50、512c，当 fx 在1,cc 上递增时，1cx ，综上， c的取值范围为5535, 122U考点： 1.导数在函数研究中的应用；2.单调性； 3.极值. 8. 【2017 届河北武邑中学高三周考8.28 数学试卷，理 22】 已知函数21ln0fxaxx ax（1）若 fx 是定义域上不单调的函数，求a的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 37 页30 / 37（2）若 fx 在定义域上有两个极值点12xx、，证明：1232ln 2fxfx【答案】 （1）108a； （2）详见解析【解析】试 题 分 析 ： （