2022年《抽象代数基础》习题解答 .pdf-淘文阁

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1、抽象代数基础答解题习于延栋编盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 43 页 - - - - - - - - - 第一章群论1 代数运算1. 设,cbaeA, A上的乘法”“的乘法表如下 :eabceeabcaaecbbbceaccbae证明:”“适合结合律 . 证明设zyx,为 A中任意三个元素 . 为了证明”“适合结合律 , 只需证明)()(zyxzyx. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.zyx,中至少有一个等于e.

2、当ex时,)()(zyxzyzyx; 当ey时,)()(zyxzxzyx; 当ez时,)()(zyxyxzyx.II.zyx,都不等于e. (I)zyx. 这时,)()(zyxexxzzezyx. (II)zyx,两两不等 . 这时,)()(zyxxxezzzyx. (III)zyx,中有且仅有两个相等 . 当yx时,x和z是,cba中的两个不同元素, 令u表示,cba中其余的那个元素 . 于是 ,zzezyx)(,zuxzyx)(, 从而,)()(zyxzyx.同理可知 , 当zy或xz时, 都有)()(zyxzyx. 2. 设”“是集合 A 上一个适合结合律的代数运算. 对于 A中元素

3、, 归纳定义niia1为: 111aaii,1111rriiriiaaa. 证明: mnkkmjjnniiaaa111. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 43 页 - - - - - - - - - 进而证明 : 在不改变元素顺序的前提下, A中元素的乘积与所加括号无关. 证明当1m时, 根据定义 , 对于任意的正整数n, 等式成立 . 假设当rm(1r)时, 对于任意的正整数n, 等式成立 . 当1rm时, 由于”“适合结合律 , 我们有mjjnniia

4、a11111rjjnniiaa111rnrjjnniiaaa111rnrjjnniiaaamnkkrnkkrnrniiaaaa11111. 所以, 对于任意的正整数n和m, 等式成立 . 考察 A 中任意n(1n) 个元素naaa,21: 当3n时 , 要使记号naaa21变成有意义的记号 , 必需在其中添加一些括号规定运算次序. 现在我们来阐明 : 在不改变元素顺序的前提下, 无论怎样在其中添加括号, 运算结果总是等于niia1. 事实上 , 当1n或2n时, 无需加括号 , 我们的结论自然成立 . 当3n时, 由于”“适合结合律 , 我们的结论成立 . 假设当rn(1r)

5、时我们的结论成立 . 考察1rn的情形 : 不妨设最后一次运算是ba, 其中a为naaa,21中前s(ns1)个元素的运算结果 , b 为naaa,21中后sn个元素的运算结果 . 于是, 根据归纳假设 , sjjaa1, snkksab1. 所以最终的运算结果为niisnkkssjjaaaba111. 3. 设Q是有理数集 . 对于任意的Q, ba, 令2baba, 证明 : ”“是Q上的一个代数运算 , 它既不适合结合律也不适合交换律. 证明众所周知 , 对于任意的Q,ba,Q2baba. 所以”“是Q上的一个代数运算 . 令0a,1b,2c. 由于521212)

6、10()(2cba, 255050)21(0)(2cba, 从而,)()(cbacba, 所以”“不适合结合律 . 由于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 43 页 - - - - - - - - - 521212cb, 312122bc,. 从而,bccb. 所以”“不适合交换律 . 2 群的概念1. 证明:ZdcbadcbaG,关于矩阵的加法构成一个群. 证明首先 , 众所周知 , G,GBA,GBA,. 由于矩阵的加法适合结合律 , G 上的加

7、法适合结合律 . 其次 , 令0000O, 则GO, 并且AOAAO,GA. 最后 , 对于任意的GdcbaA, 令dcbaA,则GA且OAAAA)()(. 所以 G 关于矩阵的加法构成一个群. 2. 令1001,1001,1001,1001G, 证明: G 关于矩阵的乘法构成一个群.证明将1001记作 E , 并将 G 中其余三个矩阵分别记作CBA,. 于是, G 上的乘法表如下 : E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E 由于矩阵的乘法适合结合律, G 上的乘法适合结合律 . 从乘法表可知 , XXEEX,EXX,GYX

8、,. 所以 G 关于矩阵的乘法构成一个群. 3. 在整数集 Z 中, 令2baba,Zba,. 证明 : Z 关于这样的乘法构成一个群 . 证明对于任意的Zcba, 我们有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 43 页 - - - - - - - - - 42)2()2()(cbacbacbacba, 42)2()2()(cbacbacbacba, 从而)()(cbacba. 这就是说 , 该乘法适合结合律. 其次,Z2, 并且对于任意的Za, 我们有22222

9、2aaaaa, aaaaaaaa)4(2)4(2)4()4(. 所以 Z 关于该乘法构成一个群 . 4. 写出3S的乘法表 . 解)231 (),321(),32(),31 (),21(),1(3S,3S的乘法表如下 : )1()21()31()32()321 ()231()1()1()21()31()32()321 ()231()21 ()21() 1()231()321 ()32()31 ()31 ()31()321() 1()231 ()21()32()32()32()231()321()1()31 ()21 ()321()321()31()32()21()231 ()1()231()2

10、31()32()21()31()1 ()321(5. 设),(G是一个群 , 证明: ”“适合消去律 . 证明设Gcba,. 若caba, 则ccecaacaabaabaabeb)()()()(1111. 同理, 若acab, 则cb. 这就表明 ,”“适合消去律 . 6. 在5S中, 令4513254321f,2543154321g. 求gffg,和1f. 解我们有3451254321fg,5214354321gf,45213543211f. 7. 设)(21kiiia, 求1a. 解我们有)(11iiiakk. 8. 设f是任意一个置换 , 证明:)()()()(21121kkififif

11、fiiif. 证明事实上 , 易见,)(,),(),(21kififif是,2, 1n中的k个不同的数字 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 43 页 - - - - - - - - - 由直接计算可知 , 11),()()()(1121kjififfiiifjjk; )()()()(1121ififfiiifkk. 其次 , 对于任意的)(,),(),(,2, 121kifififni,i在121)(fiiifk之下的像是i本身. 所以)()()()(21

12、121kkifififfiiif. 9. 设 S是一个非空集合 ,”“是 S上的一个代数运算, 若”“适合结合律 , 则称),(S是一个半群 ( 或者称 S关于”“构成一个半群 ). 证明: 整数集 Z 关于乘法构成一个半群 , 但不构成一个群 . 证明众所周知 , Z 是非空集合 , 对于任意的Z, ba, 总有Zba, 并且整数乘法适合结合律 , 所以 Z 关于乘法构成一个半群 . 其次, 令1e. 于是, 对于任意的Za, 总有aeaae. 但是,Z0, 并且不存在Zb, 使得eb0. 所以 Z关于乘法不构成一个群 . 10. 设 A 是一个非空集合, S 是由 A 的所有子集构成的集合

13、. 则集合的并”“是 S上的一个代数运算 . 证明:),(S是一个半群 . 证明众所周知 , 对于任意的SZYX, 总有)()(ZYXZYX. 这就是说 , S上的代数运算”“适合结合律 , 所以),(S是一个半群 . 注请同学们考虑如下问题: 设A是一个非空集合 , S 是由A的所有子集构成的集合 . 定义 S上的代数运算”“ ( 称为对称差 ) 如下: )()(XYYXYX,SYX ,. 求证:),(S是一个交换群 . 11. 令Z,dcbadcbaS. 证明 S关于矩阵的乘法构成一个半群. 证明众所周知 , 对于任意的SCBA, 总有SAB,)()(BCACAB. 这就是说 , 矩阵的乘

14、法是 S上的一个代数运算 ,并且适合结合律 , 所以 S关于矩阵的乘法构成一个半群 . 12. 设),(S是一个半群 ,Se称为 S的一个左( 右) 单位元 , 如果对于任意的Sa都有aae(aea). 对于Sa, 如果存在Sb使eab(eba), 则称a左( 右) 可逆的 , b是a的一个左( 右) 逆元 . 假设 S有左 (右)单位元e且 S中每个元素都有关于e的左( 右) 逆元. 证明:),(S是一个群 . 证明设a是 S中任意一个元素 . 任取Sb, 使得eba. 再任取Sc, 使得ecb. 于是, 我们有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

15、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 43 页 - - - - - - - - - cecbacbaeaa)()(且ecbcebcebab)()(. 因此abeba. 所以eaabaabaae)()(. 由以上两式可知 ,e是单位元 , S中每个元素a都有逆元 b . 所以),(S是一个群 . 对于 S 有左单位元e且 S中每个元素都有关于e的左逆元的情形 , 请同学们自己证明 . 13设 G 是一个群 , 证明: 111)(abab,Gba,. 证明对于任意的Gba, 我们有eaaaeaabbaabab111111)()(, ebbe

16、bbbaababab111111)()(. 所以111)(abab,Gba,. 16. 设G 是一个群 , 证明: G 是交换群的充要条件是222)(baab,Gba,. 证明必要性是显然的 . 现在假设 G 满足该条件 . 于是, 对于任意的Gba,我们有222)(baab, 即aabbabab. 运用消去律 ( 第 5 题) 立即可得baab. 所以G 是交换群 . 17设 G 是一个群 . 假设对于任意的Ga都有ea2, 证明: G 是交换群 . 证明我们有222)(baeeeab,Gba,. 由上题知 , G 是交换群 . 18. 设G 是非空集合 ,”“是 G 上的一个代数运算且适合

17、结合律. (1) 证明:),(G是一个群当且仅当对于任意的Gba, 方程bxa和bay在G 中都有解 . (2) 假设 G 是有限集 , 证明:),(G是一个群当且仅当”“适合消去律 . 证明 (1)当),(G是一个群时 , 显然 , 对于任意的Gba,bax1是方程bxa的解,1aby是方程bay的解. 现在假设对于任意的Gba,方程bxa,bay在 G 中都有解 .任取Ga,考察方程axa.根据假设 ,方程axa有解Gex.设b 是 G 中任意一个元素 ,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

18、 - - - - - 第 7 页，共 43 页 - - - - - - - - - 考察方程bay.根据假设 ,方程bay有解Gcy. 于是, 我们有baceaceaceb)()(. 由于Gb的任意性 , 上式表明e是半群),(G的一个右单位元. 再考察方程exa. 根据假设 , 方程exa有解Gd. 由于Ga的任意性 , 这表明 G 中每个元素关于右单位元e都有右逆元 . 所以),(G是一个群 . (2) 当),(G是一个群时 , 根据第 5 题 ,”“适合消去律 . 现在假设,21naaaG, 并且”“适合消去律 . 任取,2, 1,nki, 考察

19、方程kiaxa. 由于”“适合左消去律 , 因此ka必出现于乘法表的第i 行中 . 这就意味着存在,2, 1nj, 使得kjiaaa, 从而方程kiaxa在 G 中有解 . 同理, 由于”“适合右消去律 , 方程kiaay在 G 中有解 . 这样一来 , 根据 (1),),(G是一个群. 19. 证明命题 2.8 中的表示法在不计循环置换的顺序的意义下是唯一的.注注宜将这道题表述成“证明: 在不计循环置换的顺序的意义下, 在用命题2.8 中的证明中所说的方法将一个置换nSf表示成两两不相交的循环置换的乘积时, 表达式是唯一的” . 证明显然 , 当f是单位置换时 , 表达式就是ff. 不妨设

20、f不是单位置换,uffff21和vgggf21都是在用命题 2.8 中的证明中所说的方法将置换nSf表示成两两不相交的循环置换的乘积的表达式. 于是,ufff,21两两不相交 ,vggg,21两两不相交 , 而且它们的阶都大于或等于2 . 考察任意的lf(ul1): 设)(21sliiif. 由uffff21和vgggf21可知 , 存在 l (vl1),使得)(21tljjjg,211tjjji. 不妨设11ji. 由uffff21和vgggf21可知,ts并且kkji,2, 1sk, 从而 , llgf. 由于ufff,21两两不相交 ,vggg,21两两不相交 , 并且不计循环置换的顺序

21、 , 不妨设llgf,2, 1ul. 假设vu, 则ugggf21, 由此可见 , 当vlu时,lg必与uggg,21中某一个相交 . 这与我们的假设矛盾 .所以vu. 这就表明 ,vgggf21和vgggf21是同一个表达式 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 43 页 - - - - - - - - - 3 子群1. 设)(PnGLG是数域 P 上的n级一般线性群 , H 是 G 的由全体n阶可逆的对角矩阵组成的子集 , 证明: H 是 G 的子群 .

22、证明众所周知 , H 非空, 并且有HAAB1,HBA, 其中 AB 表示矩阵 A与矩阵 B的乘积 ,1A表示矩阵 A的逆矩阵 . 所以 H 是 G 的子群. 2. 设 G 是一个群 , H 是G 的非空子集 , 证明: H 是G 的子群的充分必要条件是Hab1,Hba,. 证明由定理 3.3 可知, 当 H 是 G 的子群时 , H 满足条件 . 假设 H 满足条件 . 对于任意的Hba, 我们有Haae1. 因为 H 满足条件 , 由Hbae,可知 ,Heaa11,Hebb11. 因为 H满足条件 , 由Hba1,可知11)(baab. 总而言之对于任意的Hba, 我们有Haab1,.

23、根据定理 3.3, H 是 G 的子群 . 3. 设 H 是群 G 的子群 ,Ga, 证明:|11HhahaaHa也是 G 的子群 (称为 H 的一个共轭子群 ). 证明显然 ,1aHa是G 的非空子集 . 设121,aHabb. 于是 , 存在Hhh21,使得111aahb,121aahb. 因此11211121)(aahaahbb1112111211)(aHaahhaaahaah. 所以1aHa是 G 的子群 . 4. 设 G 是交换群 ,0n为整数 , 令|eaGaHn, 证明: H 是G 的子群 . 证明显然He. 若Hba, 则eeebaabnnn11)()(, 从而,Hab1.由

24、此可见 , H 是 G 的子群 . 5. 设 G 是交换群 , 证明: G 的所有阶为有限的元素构成的集合是G 的子群 . 证明令 H 表示 G 的所有阶为有限的元素构成的集合. 显然He. 设Hba, 其中ma |,nb |. 于是, eeebaabmnnmmn)()()(1, 从而,Hab1. 由此可见 , H 是G 的子群 . 6. 设 G 是群,Gba, 证明:a与1bab具有相同的阶 . 证明显然, 对于任意的正整数n,11)(bbababnn, 从而, ebabebbaeannn)(11. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

25、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 43 页 - - - - - - - - - 由此可见 ,a与1bab具有相同的阶 . 7. 设)(21kiiia是循环置换 , 求a的阶. 解当1k时, 显然,)1 (a,ka |. 当1k时, 我们有11(jiiia)1 ()1ji, 1,2,1kj, )1 (ka, 从而,ka |. 8. 设群 G 的除单位元外的每个元素的阶都为2, 证明: G 是交换群 . 证明参看 2 习题第 17 题. 9. 设 G 是群,Gba, 证明: ab与 ba 具有相同的阶 . 证明注意到111)(aababa, 根据第6

27、 , 证明 : 存在Hn使nH. 证明众所周知 ,H0. 当0H时, 显然0H. 现在假设0H. 于是,存在Hm使0m. 这时Hm, 并且, 在m和m中, 一个是正数 , 另一个是负数. 令n表示 H 中的最小正数 . 显然, 我们有Hqn,Zq. 现在考察任意的Hm: 众所周知 , 存在整数 q和r, 使得rqnm,nr0. 于是,Hqnmr. 由于令n是 H 中的最小正数 , 必有0r, 从而,qnm. 上述表明|ZqqnH. 所以nH. 12. 设G 是一个群 ,1H,2H都是 G 的子群 . 假设1H不包含于2H且2H不包含于1H, 证明:21HH不是 G 的子群 . 证明由于1H不包

28、含于2H且2H不包含于1H, 是 G 的子群 , 因此存在21HHa且存在12HHb. 于是 ,21,HHba. 假设1Hab, 则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 43 页 - - - - - - - - - 11)(Habab, 矛盾. 因此1Hab. 同理,2Hab. 这样一来 ,21HHab. 所以21HH不是 G 的子群 . 13. 设 G 是一个群 ,nGGG21是 G 的一个子群链 , 证明 :nnG1是 G 的子群 . 证明设nnG

29、ba1,. 于是 , 存在正整数 i 和 j 使得iGa,jGb. 令,maxjik.kGba,. 由于kG是 G 的子群 , 因此kGab1, 从而 ,nnGab11.所以nnG1是 G 的子群 . 14. 证明:)1()31 (),12(n(2n) 是nS的一个生成集 . 证明考察任意的对换nSji)(: 若1i或1j, 则)1()31 (),12()(nji. 若1i且1j, 则)1 ()1()1()(ijiji. 这就是说 , 对于每一个对换nSji)(, 要么它本身属于)1 ()31 (),12(n, 要么它可以表示成)1()31(),12(n中的一些对换的乘积 . 这样一来

30、 , 根据推论 2.10 可以断言 , 每一个nSf可以表示成)1 ()31 (),12(n中的一些对换的乘积. 由此可见,)1 ()31(),12(nSn, 从而, )1()31 (),12(nSn. 4 循环群1. 证明: 循环群是交换群. 证明设aG是一个循环群 . 于是 ,|ZnaGn( 参看课本第12 页倒数第 4 行). 众所周知 ,mnnmnmaaaaa,Znm,. 所以 G 是交换群 . 2. 设 G 是一个群 ,Ga. 假设a的阶为n, 证明: 对任意整数r, 有),(|nrnar. 证明令aH. 由于na |, 根据命题3.10, H 是有限循环群 . 根据命题4.2, )

31、,(|nrnar. 3. 设aG是一个n阶循环群 ,r是任意整数 , 证明:ra与),(nra具有相同的阶且),(nrraa. 证明根据命题 4.2, 我们有|),(),(|),(rnranrnnnrna. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 43 页 - - - - - - - - - 根据命题3.10,ra和),(nra都是 G 的),(nrn阶子群 . 显然 ,),(nrraa, 从而 , ),(nrraa. 由此可见 ,),(nrraa. 4. 设a

32、G是一个n阶循环群 , 证明:Gar当且仅当1),(nr. 证明根据命题 4.2, 我们有Garnar|nnrn),(1),(nr. 5. 设aG是循环群 ,saH和taK是 G 的两个子群 , 证明:,tsaKH. 证明显然KHats, 从而,KHats,. 为了证明,tsaKH,现在只需证明,tsaKH. 考察任意的KHx: 当x为 G 的单位元e时, 显然,tsax. 不妨假定ex. 于是 , 由Hx知, 存在Zi, 使得isax; 由Kx知, 存在Zj, 使得jtax. 因为ex, 所以0st. 众所周知 , 1),(,),(tsttss, 从而, 存在Z, vu, 使得

33、1),(),(tsvttsus. 于是, 我们有),(),(),(),(),(),()()(tsvtistsusjttsvttsustsvttsusaaxxxx,)(,tstsivjuntsnivtsnjuaaaa, 其中, 当0st时1n, 当0st时1n. 综上所述 , 对于任意的KHx, 总有,tsax. 所以,tsaKH. 6. 设aG是n阶循环群 ,saH和taK是 G 的两个子群 , 证明:KH的充要条件是),(),(ntns. 证明假设KH. 根据命题 4.2, 我们有),(|),(ntnaansnts, 从而,),(),(ntns. 假设),(),(ntns. 于

34、是,),(),(ntnsaa, 从而,),(),(ntnsaa. 这样根据第 3题的结论可以断言 ,tsaa, 即KH. 7. 设 G 是无限循环群 , 证明: G 有且仅有两个生成元 . 证明由于 G 是无限循环群 , 不妨设a是G 的一个生成元 . 于是 ,1a也是 G名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 43 页 - - - - - - - - - 的一个生成元 , 并且aa1. 这就是说 , G 有两个不同的生成元 . 其次, 假设 b 是G的任意一个

35、生成元. 由于aG, 因此存在Zn, 使得nab. 由于bG且Ga, 因此存在Zk, 使得nkkaba. 由此可见 ,1n, 即ab或1ab. 所以 G 有且仅有两个生成元 . 8. 设aG是无限循环群 ,saH和taK是 G 的两个子群 , 证明:KH的充要条件是ts. 证明当ts时, 显然KH. 假设KH. 显然, 当eH时,0ts, 从而,ts. 不妨假定eH. 于是0s. 由Kas可知 , 存在Zi, 使得its; 由Hat可知 , 存在Zj, 使得jst. 因此ijss. 由于0s, 由ijss可知1ij, 从而,1i. 所以ts. 5 正规子群与商群1. 证明:

36、循环群的商群也是循环群 . 证明设aG是循环群 , H 是 G 的子群 . 于是, 我们有aHnaHnHaHGnnZ|)(Z|/. 这就表明 ,HG /是循环群 . 2. 设 G 是群,iN,Ii, 是 G 的一族正规子群 , 证明:iIiN也是 G 的正规子群. 证明众所周知 ,iIiN是G 的正规子群 . 显然, 我们有aNaNaNNaiIiiIiiIiiIi)()()()(,Ga. 所以iIiN也是 G 的正规子群 . 3. 设1N,2N是群 G 的正规子群且21eNN, 证明 : 对于任意的1Na,2Nb, 都有baab. 证明对于任意的1Na,2Nb, 由于1N

37、是群 G 的正规子群 , 根据命题 5.11我们有111Nbba, 从而 ,111Nbaba; 由于2N是群 G 的正规子群 , 根据命题5.11我们有21Naba, 从而 ,211Nbaba. 因此2111NNbaba, 从而,ebaba11. 由此可见baab. 4. 设 H 是群 G 的子群且2:HG, 证明: H 是G 的正规子群 . 证明我们已经知道 , HHaHaHaH,Ga. 任意给定Ga. 当Ha时,HaHaH. 当Ha时,HaHaHH,并且, 由2:HG可知,aHHGaHH. 由此可见HaaH. 所以 H 是G的正规子群 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

38、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 43 页 - - - - - - - - - 5. 设 H 是群 G 的有限子群,nH |. 假设 G 只有一个阶为n的子群 , 证明: H 是 G 的正规子群 . 证明任取Ga, 考察1aHa: 由 3 习题第 3 题知,1aHa是G 的子群 . 定义H 到1aHa的映射如下: 1)(axax,Hx. 显然是双射 . 因此naHa|1. 由于 G 只有一个阶为n的子群 , 因此HaHa1.这样一来 , 由于a的任意性 , 根据命题 5.11 可以断言 , H 是

39、 G 的正规子群 . 6. 设 G 是群, H 和 K 是 G 的子群 , (1) 证明: HK 是 G 的子群KHHK. (2) 假设 H 是 G 的正规子群 , 证明: HK 是G 的子群 . (3) 假设 H 和 K 都是 G 的正规子群 , 证明: HK 是G 的正规子群 . 证明 (1)假设 HK 是G 的子群. 于是, 对于任意的Ga, 我们有HKaHKa1存在Hh和Kk, 使得hka1存在Hh和Kk,11hkaKHa. 所以KHHK. 假设KHHK. 为了证明 HK 是 G 的子群 , 任意给定HKba,. 于是, 存在Hhh21,和Kkk21, 使得11kha,22khb. 因

40、此121211122111)()(hkkhkhkhab. 由于KHHKkkh)(1211, 因此存在Hh3和Kk3, 使得331211)(hkkkh, 从而, HKKHhhkhhkhkkhab)()()(123312331212111. 这样一来 , 由于HKba,的任意性 , 我们断言 : HK 是 G 的子群 . (2) 由于 H 是 G 的正规子群 , 我们有KHkHHkHKKkKk. 这样, 根据(1),HK 是 G 的子群 . (3) 根据(2), HK 是G 的子群 . 此外, 还有aHKKaHaKHKHaKaHHKa)()()()()()(,Ga. 所以 HK 是 G 的正规子群

41、 . 7. 设 G 是群, H 和 K 是 G 的子群且HK, 证明:KHHGKG. 注证明这道题时还要用到如下约定: nn,Nn. 此外, 这道题与 7中的 Lagrange定理类似 , 而且其证明难度不亚于Lagrange定理的证明难度 , 因此安排在这里不太合适 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 43 页 - - - - - - - - - 证明首先 , 由于 K 是 H 的子群 , 因此GaaHaK,. 由此可见 , 当:HG时,:KG, 从而

42、, :KHHGKG. 其次 , 由于|GaaKHhhK, 因此当:KH时,:KG, 从而:KHHGKG. 现在假设:HG且:KH. 令mHG:,nKH:. 由mHG:知, 存在Gaaam,21, 使得HaGrmr1, 其中诸Har两两不相交 .由nKH:知, 存在Hbbbn,21, 使得KbHsns 1, 其中诸Kbs两两不相交 .这样一来 , 我们有KbaKbaGsrnsmrsnsrmr)()(1111. )(现在我们来阐明上式中的诸Kbasr)(两两不相交 . 为此, 设,2,1,mrr,2, 1,nss, 我们来比较Kbasr)(与Kbasr)(. 当 rr时, 由于HKbs

43、,HKbs, 因此HaHaKbaKbarrsrsr)()(, 从而 ,KbaKbasrsr)()(, 即Kbasr)(与Kbasr)(不相交 . 当 rr且 ss时,KbKbss, 从而, KbaKbaKbaKbasrsrsrsr)()()()()(rssraKbKba, 即Kbasr)(与Kbasr)(不相交 . 所以)(式中的诸Kbasr)(两两不相交 . 这样一来 ,根据)(式可以断言 ,mnKG:, 即:KHHGKG. 8. 设 H 是群 G 的子群 , 假设 H 的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集, 证明: H 是 G 的正规子群 . 证明任取Ga. 由于 H 是 H 的左陪集 ,

44、因此存在 H 的左陪集 bH , 使得bHaHHHHa)()(, 由此可见 ,bHHa,bHa, 从而bHaH. 所以aHHa. 由于a的任意性 , 根据上式我们又可以断言 , HaHa11. 将上式两边左乘a, 右乘a, 得HaaH. 所以HaaH. 由于a的任意性 , 这就意味着 H 是 G 的正规子群 . 6 群的同构与同态名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 43 页 - - - - - - - - - 1. 设f是群1G到群2G的同构 , g 是群

45、2G到群3G的同构 , 证明:1f是群2G到群1G的同构 ;gf是群1G到群3G的同构 . 证明众所周知 ,1f是2G到1G的双射 . 其次, 又因f保持乘法运算 , 故对于任意的2, Gba总有)()()() (11babffaffbfaff, 从而, ) () () (111bfafbaf. 所以1f是群2G到群1G的同构 . 众所周知 ,gf是1G到3G的双射 . 又因f和 g 都保持乘法运算 , 故对于任意的1,Gba总有)()()()()()()()()(bgfagfbfgafgbfafgabfgabgf. 所以gf是群1G到群3G的同构 . 2. 设 H 是群 G 的子群 ,1aH

46、a是 H 的共轭子群 , 证明:1aHa与 H 同构. 证明定义 H 到1aHa的映射f如下: 1)(axaxf,Hx. 直接从f的定义可以明白 ,f是满射 . 利用消去律容易推知,f是单射 . 因此f是双射. 其次, 对于任意的Hyx,总有)()()()()(111yfxfayaaxaaxyaxyf. 所以f是群 H 到群1aHa的同构 , 从而,HaHa1. 3. 设f是群 G 到群G 的同构 , 证明 : 对于任意的Ga,| )(|afa. 举例说明, 若f是群 G 到群G 的同态 , 则a的阶与)(af的阶不一定相同 . 证明将群 G 和群G 的单位元分别记做e和 e . 注意到根据命

47、题 6.5, 我们可以断言 : 对于任意的正整数n, 我们有)()(eafeafeannn. 由此可见 ,|)(|afa. 假设2|G,eG, 其中e为 G 的单位元 ,f为 G 到G 的映射 . 则f是 G到G 的同态 . 任取Ga, 使得ea, 则0| a,1|)(|eaf, 从而,| )(|afa. 4. 分别建立HN 到)/(NHH和 G 到)/()/(NHNG的同态来证明定理6.11. 注定理 6.11 的内容如下 : 设G 是一个群 ,N 是 G 的正规子群 . (1)若 H 是 G 的子群 ,则NHNNHH/)()/(; (2)若 H 是 G 的正规子群且NH,则HGNH

48、NG/)/()/(. 证明 (1)设 H 是G 的子群 . 显然,NH是 H 的正规子群 ; N 是 HN 的正规名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 43 页 - - - - - - - - - 子群. 考察任意的HNa: 假设332211hnnhnha, 其中,Hhh21,Nnn21,. 则11221nnhh, 从而,NHnnhh121211. 因此)()(21NGhNHh. 这样一来 , 我们可以定义 HN 到)/(NHH的映射f如下: 对于任意的HNa

49、, )()(NHhaf, 若hna, 其中Hh,Nn. 由HNH可知,f是满射 . 任意给定HNba,. 不妨设11nha,22nhb. 由于 HN 是 G 的子群 , 因此HNab, 从而, 存在Hh3和Nn3, 使得332211nhnhnhab. 因此)()(3NHhabf. 另一方面 , 我们有)()()()()(2121NHhhNHhNHhbfaf. 注意到 N 是 G 的正规子群和命题5.11, 易知NHhnhnnhhhhh111112123211321)()(, 从而,)()(321NHhNHhh, 即)()()(bfafabf. 所以f是 HN 到)/(NHH的满同态 . 最后,

50、对于任意hna(Hh,Nn), 我们有NaNhNHhNHNHhfa)()(Ker. 因此Nf )(Ker. 这样一来 , 根据群的同态基本定理 ,NHNNHH/)()/(.(2) 设 H 是G 的正规子群且NH. 显然,NH /是NG /的正规子群 . 定义 G到)/()/(NHNG的映射f如下: )/)()(NHaNaf,Ga. 显而易见 ,f是满射. 由于NH /是NG/的正规子群 , 因此对于任意的Gba, 总有)/)(/)()()/)()(NHNHbNaNNHabNabf)()()/)()(/)(bfafNHbNNHaN. 因此f是 G 到)/()/(NHNG的满同态 . 其次, 对

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