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1、学习必备欢迎下载正比例和反比例的意义一、成正比例的量1在现实生活中， 我们常常遇到两种相关联的量的变化情况，其中一种量变化， 另一 种量也随着变化，例如： （1）班级人数多了，课桌椅的数量也变多了；人数少了，课桌椅也少了。（2）送来的牛奶包数多，牛奶的总质量也多；包数少，总质量也少。（3）上学时，去的速度快了，时间用少了；速度慢了，时间用多了。（4）排队时，每行人数少了，行数就多了；每行人数多了。行数就少了。生活中还有哪些成正比例的量？如： A. 长方形的宽一定，面积和长成正比例。B.每袋牛奶质量一定，牛奶袋数和总质量成正比例。C.衣服的单价一不定期，购买衣服的数量和应付钱数成正比例。D.地砖
2、的面积一定，教室地板面积和地砖块数成正比例。2. 例：1 出示: 一列火车 1 小时行驶 90 千米， 2 小时行驶 180千米，3 小时行驶 270 千米， 4 小时行驶 360 千米，5 小时行驶 450 千米， 6 小时行驶 540 千米，7 小时行驶 630 千米， 8 小时行驶 720 千米填表一列火车行驶的时间和路程时间路程时间变化 , 路程也随着变化，我们就说时间和路程是两个相关联的量。根据计算，你发现了什么? 相对应的两个数的比的比值一样或固定不变, 在数学上叫做一定。用式子表示他们的关系是: 路程/ 时间=速度(一定) （2）小结：同学们通过填表，交流 , 知道时间和路程是
3、. 两种相关联的量 , 路程随着时间的变化而变化.时间扩大 , 路程随着扩大 ; 时间缩小，路程也随着缩小。即：路程/ 时间=速度（一定）2、例 2：（1）花布的米数和总价表数量1 2 3 4 5 6 7 总价8.2 16.4 24.6 32.8 41.0 49.2 57.4 （2）观察图表 , 发现规律用式子表示它们的关系：总价/ 米数=单价( 一定) 3、正比例的意义（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两个量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。（2）如果用 x 和 y 表示两种相关联的量，用k 表示它们的比值
4、（一定） ，正比例关系怎样用字母表示出来？ x/y=k （一定）PS:三个要素：第一、两种相关联的量；第二、其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少。第三、两个量的比值一定。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载相对应的点一定在这条直线上。 （作图）练习一、观下图表，回答问题：时间（时）1 2 3 4 5 6 7 米数22 44 66 88 11 132 154 （）和（）是两种相关联的量，（）随着（）的变化而变化的，（）一定，时间和米数是（）的量。作图：二、判断下面各题中的两种量是不是
5、成正比例关系，并说理。1、白糖单价一定，白糖数量和总价；2、稻谷的出米率一定，碾成大米重量和稻谷重量；3、一个人的身长和体重；4、长方形的长一定，宽和面积；5、长方形的面积一定，长和宽。三、练习：1、请举出成正比例关系的量。、圆周长与圆半径；、圆面积与圆半径；、正方形的周长与边长。2、说一说成正比例关系的量的变化特征。正比例和反比例的意义二、成反比例的量成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。用字母表示。如果用字母X 和 Y 表示两种相关联的量，用K 表示它们的乘积（一定） ，反比
6、例关系的式子可以表示为X?Y=K（一定）2生活中还有哪些成反比例的量？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载举例（1）大米的质量一定，每袋质量和袋数成反比例。（2）教室地板面积一定，每块地砖的面积和块数成反比例。（3）长方形的面积一定，长和宽成反比例。反比例关系也可以用图像来表示。表示两个量的点不在同一条直线上，点所连接起来是一条曲线。图像特征不要求掌握。4小结。说一说成反比例关系的量的变化特征。例 1、 （反比例的意义） 下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有什么关系
7、？每小时加工零件的个数 / 个20 30 40 60 80 加工的时间 / 时12 8 6 4 3 作图：分析与解：（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联的量。（3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如20 12 = 240 ，30 8 = 240 ，40 6 = 240 而这个积就是这批零件的总个数。通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加
8、工的时间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系：每小时加工零件的个数 加工的时间 = 零件的总个数（一定）。所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。点评： 判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。不要省去任何一步。如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： = K （一定） 。例 2、 （判断是否成反比例） 总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反
9、比例？为什么？分析与解： 根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：每公顷的产量 公顷数 = 总产量（一定）所以每公顷的产量和公顷数成反比例。例 3、 （辨析） 和一定，一个加数和另一个加数成反比例。分析与解： 判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显，和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。点评： 有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一
10、定，也不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载例 4、 （综合题 1） （1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？分析与解： 判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。（1）因为长方形的长 宽 = 长方形的面积（一定），所以长和宽成反比例。（2）长方形的周长 = （长+宽） 2 ，长方形的周长一定，长+宽的和一定，但不是积一定，所以长和宽不成反比
11、例。例 5、 （综合题 2）分别说明大米的总千克数、 每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。分析与解： 在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。可以根据数量关系式来判断。（1）因为每天吃的千克数 天数 = 大米的总千克数（一定） ，所以大米的总千克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。（2）因为天数大米的总千克数 = 每天吃的千克数（一定） ，所以每天吃的千克数
12、一定时，大米的总千克数和天数成正比例。（3）因为每天吃的千克数大米的总千克数 = 天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。练习：1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？表格 1 数量/ 本1 3 6 8 10 20 总价/ 元4 12 24 32 40 80 表格 2 单价/ 元1.5 2 3 4 5 6 总价/ 元6 8 12 16 20 24 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载表格 3 用 60 元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的
13、数量如下表：单价/ 元1.5 2 3 4 5 6 数量/ 本40 30 20 15 12 10 2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订 400 本。如果要装订 500本，每本有 X页。题中（）量一定，关系式：（）（）（） （一定） ， （）和（）成（）比例。3、一间会客室地面用边长0.3 米的正方形地砖铺，需要640 块。如果改用边长0.4 米的正方形地砖，需要 Y块。题中（）量一定，关系式：（）（）（） （一定） ， （）和（）成（）比例。4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当底面周长一定时，（）与（）成（）比例；当高一定时，（）与（）成（）比例；当侧面积一定时，（）与（）成（）
14、比例。5、在被除数、除数、商这三种量中，当（）一定时，（）与（）成正比例；当（）一定时，（）与（）成反比例；6、当 a b c（ a、b、c 为三种量，且均不为0） 。( )一定， （）与（）成（）比例；（）一定， （）与（）成（）比例；（）一定， （）与（）成（）比例；7、判断。（1） 、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（）（2） 、图上距离和实际距离成正比例。 （）（3） 、X和 Y表示两种变化的相关联的量，同时5X7Y0，X和 Y不成比例。（）（4） 、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。（）（5） 、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。（）（6） 、两种相关联
15、的量，不成正比例，就成反比例。（）（7）订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。( ) （8）在 400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。( ) （9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。( ) （10）正方体的棱长和体积成正比例。( ) （11）被除数一定，除数和商成反比例。( ) （12）圆的周长和它的直径成正比例。( ) 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。（1） 、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（） 。（2） 、正方形的边长和周长（） 。（3） 、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（） 。（4） 、房间面积一定，每块砖
16、的面积和铺砖的块数（） 。（5） 、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（） 。（6） 、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载9、思考：明明三岁时体重12 千克，十一岁时体重44 千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。 ”你认为小张的说法对吗？为什么？10、某造纸厂每小时造纸1.5 吨，2 小时、 3 小时各造纸多少吨？（1）把下表填写完整。造纸时间 / 时1 2 3 4 造纸吨数 / 吨1.5 （ 2） 根据 表中 的
17、数 据， 在下 图中 描出 造 纸 时 间 和 造 纸 吨 数 对 应 的 点 ， 再 把它 们连 起来 。吨数/ 吨6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/ 时（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？（4）根据图像判断， 5 小时造纸多少吨？【试题答案】1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？表格 1 数量/ 本1 3 6 8 10 20 总价/ 元4 12 24 32 40 80 14 = 4，312= 4，624= 4 因为数量总价= 单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。表格 2 单价/ 元1.5 2 3 4 5 6
18、 总价/ 元6 8 12 16 20 24 5. 16 = 4，28 = 4，312= 4 因为单价总价= 数量（一定），所以数量一定时，总价和单价成正比例。表格 3 用 60 元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：单价/ 元1.5 2 3 4 5 6 数量/ 本40 30 20 15 12 10 1.5 40 = 60 ，2 30 = 60 ，4 15 = 60 因为单价 数量 = 总价（一定），所以总价一定时，单价和数量成反比例。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载2、用一批纸装订练习
19、本，每本25页，可以装订 400 本。如果要装订 500本，每本有 X页。题中（纸的总页数）量一定，关系式： （每本页数 ） （装订本数 ）（ 纸的总页数 ） （一定） ，（每本页数）和（装订本数 ）成（ 反）比例。3、一间会客室地面用边长0.3 米的正方形地砖铺，需要640 块。如果改用边长0.4 米的正方形地砖，需要 Y块。题中（会客室地面面积 ）量一定，关系式： （每块砖的面积 ）（砖的块数 ）（ 会客室地面面积 ） （一定） ，（每块砖的面积 ）和（砖的块数 ）成（反）比例。4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当底面周长一定时，（ 侧面积）与（ 高）成（ 正）比例；当高一定时，（
20、侧面积 ）与（底面周长）成（ 正）比例；当侧面积一定时，（ 底面周长）与（ 高）成（ 反）比例。5、在被除数、除数、商这三种量中，当（除数）一定时，（被除数 ）与（商 ）成正比例；当（ 被除数）一定时，（除数）与（商）成反比例；6、当 a b c（ a、b、c 为三种量，且均不为0） 。( c)一定， （a ）与（b ）成（反）比例；（a ）一定， （c ）与（b ）成（正 ）比例；（b ）一定， （c ）与（a ）成（正 ）比例；7、判断。（1） 、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（ ）（2） 、图上距离和实际距离成正比例。（ ）（3） 、X和 Y表示两种变化的相关联的量，同时5X
21、7Y0，X和 Y不成比例。（）（4） 、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。（ ）（5） 、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。（ ）（6） 、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。（ ）（7）订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。（ ）（8）在 400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。（ ）（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。() （10）正方体的棱长和体积成正比例。( ) （11）被除数一定，除数和商成反比例。（ ）（12）圆的周长和它的直径成正比例。（ ）8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。（1） 、装配一批电视
22、机，每天装配台数和所需的天数（反比例） 。（2） 、正方形的边长和周长（正比例） 。（3） 、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（反比例） 。（4） 、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（反比例） 。（5） 、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（反比例） 。（6） 、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（正比例） 。9、思考：明明三岁时体重12 千克，十一岁时体重44 千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。 ”你认为小张的说法对吗？为什么？答：小张的说法是错误的，体重和身高不是两种相关联的量，体重和身高不成比例。10、某造纸厂每小时造纸1.
23、5 吨，2 小时、 3 小时各造纸多少吨？（1）把下表填写完整。造纸时间 / 时1 2 3 4 造纸吨数 / 吨1.5 3 4.56精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？因为造纸时间造纸吨数 = 每小时造纸吨数（一定） ，所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与造纸时间成正比例。吨数 / 吨6 5 4 3 2 1 01 2 3 4 5 6 7时间 / 时（4）根据图像判断， 5 小时造纸多少吨？根据图像判断， 5 小时造纸 7.5 吨精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页