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1、学习必备欢迎下载平面解析几何初步 7.1 直线和圆的方程经典例题导讲例 1 直线 l 经过 P（2,3 ）, 且在 x,y 轴上的截距相等, 试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程: 当直线过 (0,0) 时 ,此时斜率为 :230203k, 直线方程为y=23x 综上可得 : 所求直线方程为x+y-5=0 或 y=23x . 例 2 已知动点P到 y 轴的距离的3 倍等于它到点A(1,3) 的距离的平方, 求动点 P的轨迹方程 . 解：接前面的过程 , 方程化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 , 方程化为 (x+12 )2+(y-3)2 = - 34 ,由于两个平
2、方数之和不可能为负数, 故所求动点P的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x 0) 例 3m是什么数时，关于x,y 的方程（ 2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？解： 欲使方程 Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C 0，得 2m2+m-1=m2-m+2，即 m2+2m-3=0，解得 m1=1，m2=-3，(1) 当 m=1时，方程为2x2+2y2=-3 不合题意，舍去. (2) 当 m=-3 时，方程为14x2+14y2=1,即 x2+y2=114 , 原方程的图形表示圆. 例 4自点 A(-3 ，3) 发出的光线L 射到 x
3、 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7 0 相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L, 由于 L 和 L关于 x 轴对称， L 过点 A(-3 ，3) ，点 A关于 x 轴的对称点 A(-3 ，-3) ，于是 L过 A(-3 ，-3). 设 L的斜率为k，则 L的方程为y-(-3)kx-(-3) ，即 kx-y+3k-3 0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 1，圆心 O的坐标为 (2 ， 2)，半径 r 1 因 L和已知圆相切，则O到 L的距离等于半径r 1 即11k5k51k3k32k222整理得 12k2-25k+12 0 解得 k34或
4、 k43L的方程为y+334(x+3);或 y+343(x+3) 。即 4x-3y+3 0 或 3x-4y-3 0 因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为4x+3y+30 或 3x+4y-3 0. 例 5求过直线042yx和圆014222yxyx的交点， 且满足下列条件之一的圆的方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载（1） 过原点；（2）有最小面积 . 解： 设所求圆的方程是：04214222yxyxyx即：04122222yxyx（1）因为圆过原点，所以041，即41故所求圆的方程为：02
5、74722yxyx. （2）将圆系方程化为标准式，有：545245222222yx当其半径最小时，圆的面积最小，此时52为所求 . 故满足条件的圆的方程是54585422yx. 例 6（ 06 年辽宁理科） 已知点 A(11,yx) ， B(22, yx) （21xx0） 是抛物线)0(22ppxy上的两个动点，O是坐标原点，向量OBOA,满足OBOAOBOA . 设圆 C的方程为0)()(212122yyyxxxyx（1）证明线段AB是圆 C的直径；（2）当圆 C的圆心到直线02yx的距离的最小值为552时，求p的值 . 解： （1）证明OBOAOBOA，（OBOA）2（OBOA）2，整理得
6、：OBOA0 21xx21yy0 设 M （yx,）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MBMA0 即)(21xxxx)(21yyyy0 整理得：0)()(212122yyyxxxyx故线段 AB是圆 C的直径 . （2）设圆 C的圆心为 C（yx,） ，则222121yyyxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载1212pxy，)0(2222ppxy22221214pyyxx又21xx21yy0 ，21xx21yy21yy222214pyy21xx0，21yy0 21yy 42p212122212
7、2212141)2(41)(412yypyyyypyypxxx)2(122pyp所以圆心的轨迹方程为222ppxy设圆心 C到直线02yx的距离为，则pppyypypyx5|)( |5|2)2(1|5|2|2222当yp时，有最小值5p，由题设得5p552p2. 圆锥曲线经典例题导讲 例 1 设双曲线的渐近线为：xy23，求其离心率 . 解： 由双曲线的渐近线为xy23是不能确定焦点的位置在x 轴上的，当焦点的位置在y轴上时，32ab，故本题应有两解，即：213122abace或313. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共
8、9 页学习必备欢迎下载例 2 设点 P(x,y)在椭圆4422yx上，求yx的最大、最小值. 剖析： 本题中x、y 除了分别满足以上条件外，还受制约条件4422yx的约束 . 当 x=1时,y 此时取不到最大值2, 故 x+y 的最大值不为3. 其实本题只需令sin2,cosyx，则)sin(5sin2cosyx，故其最大值为5，最小值为5. 例 3 已知双曲线的右准线为4x，右焦点)0,10(F, 离心率2e, 求双曲线方程 . 解法一：设),(yxP为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为4x， 右焦点)0,10(F，离心率2e，由双曲线的定义知.2|4|)10(22xyx整理得.1481
9、6)2(22yx解法二：依题意，设双曲线的中心为)0 ,(m, 则.21042acmcmca解得.284mca, 所以,481664222acb故所求双曲线方程为.14816)2(22yx例 4设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率23e，已知点)23,0(P到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程. 解： 若21b，则当by时，2d（从而d）有最大值 . 于是,)23()7(22b从而解得矛盾与21,21237bb. 所以必有21b，此时当21y时，2d（从而d）有最大值，所以22)7(34b，解得.4, 122ab于是所求椭圆的方程为.1422yx例 5 从椭圆12222byax
10、,(ab0) 上一点 M向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB OM 设 Q是椭圆上任意一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P ，若 F1PQ的面积为203，求此时椭圆的方程解： 本题可用待定系数法求解b=c, a=2c，可设椭圆方程为122222cycxPQ AB, kPQ=-21bakAB，则 PQ的方程为y=2(x-c)，代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得cPQ526, 又点 F1
11、到 PQ的距离 d=362c dPQSPQF2112534c , 由,2532053422cc，得故所求椭圆方程为1255022yx例 6已知椭圆：1922yx，过左焦点F 作倾斜角为6的直线交椭圆于A、B两点，求弦 AB的长解： a=3,b=1,c=22; 则 F（-22，0）由题意知：)22(31:xyl与1922yx联立消去y 得：01521242xx设 A（),11yx、B（),22yx，则21,xx是上面方程的二实根，由违达定理，2321xx41521xx，223221xxxM又因为 A、B、F 都是直线l上的点，所以 |AB|=21518324)(32|3112122121xxxx
12、xx点评： 也可利用“焦半径”公式计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载例 7 （06 年全国理科）设P是椭圆)1(1222ayax短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求 PQ 的最大值 . 解：依题意可设P（0,1 ） ， Q （yx,） ，则 PQ 22) 1(yx，又因为Q 在椭圆上，所以，)1 (222yax， PQ 212)1(222yyya22212)1(ayya22222111)11)(1 (aaaya. 因为| y1，a 1，若a2，则|11|2a1，当211ay时， PQ取最大值1
13、1222aaa；若 1a2，则当1y时， PQ 取最大值2. 例 8已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为53的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN=4，求双曲线方程解： 设所求双曲线方程为)0,0(12222babyax，由右焦点为（2，0） 知 C=2，b2=4-a2则双曲线方程为142222ayax，设直线 MN 的方程为：)2(53xy，代入双曲线方程整理得： (20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0 设 M （x1,y1） ,N(x2,y2),则222182012aaxx，22421820325aaaxx212124531xxxxMN4820325482
14、01258224222aaaaa解得12a，3142b故所求双曲线方程为：1322yx点、直线和圆锥曲线经典例题导讲 例 1 求过点)1 ,0(的直线，使它与抛物线xy22仅有一个交点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载解：当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点)1 ,0(，所以,0 x即y轴，它正好与抛物线xy22相切 . 当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与 抛 物 线xy22只 有 一 个 交 点 . 一 般 地 ， 设 所 求 的 过 点)1 ,0(的 直 线
15、为1kxy)0(k, 则xykxy212，.01)22(22xkxk令,0解得 k = 12 , 所求直线为.121xy综上，满足条件的直线为：.121, 0, 1xyxy 例 2 已知曲线C：2202xy与直线 L：mxy仅有一个公共点，求m的范围 . 解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为52525mm或. 注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错. 例 3 已知 A、B是圆122yx与 x 轴的两个交点， CD是垂直于 AB的动弦，直线AC和 DB相交于点P，问是否存在两个定点 E、 F, 使 | | PE | | PF | | 为定值
16、？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由. 解： 由已知得 A ( 1, 0 )、B ( 1, 0 ), 设 P ( x, y ), C ( 00, yx) , 则 D (00,yx), 由 A、C、P三点共线得1100 xyxy由 D、B、P三点共线得1100 xyxy得11202022xyxy又12020yx, 20201xy，代入得122yx，即点 P在双曲线122yx上，故由双曲线定义知，存在两个定点E ( 2, 0 )、F (2, 0 )（即此双曲线的焦点） ，使 | | PE | PF | | = 2 (即此双曲线的实轴yxoy x O A C D B P 精选学习资料 -
17、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载长为定值 ). 例 4 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上， 直线 y=x+1 与该椭圆相交于P和 Q ，且 OP OQ ， PQ =210，求椭圆的方程. 解： 设所求椭圆的方程为2222byax=1. 依题意知，点P 、Q的坐标满足方程组：1xy1byax2222将代入，整理得0)1 (2)(222222baxaxba，设方程的两个根分别为1x、2x，则直线y=x+1 和椭圆的交点为P(1x,1x+1) ，Q(2x,2x+1) 由题设 OP OQ ， OP =210，可
18、得22122122211)210()1()1()(111xxxxxxxx整理得0516)(4012)(212212121xxxxxxxx解这个方程组，得23412121xxxx或21412121xxxx根据根与系数的关系，由式得 (1)41)1(2322222222bababaa或 (2) 41)1(2122222222bababaa解方程组 (1) 、(2) 得32222ba或23222ba故所求椭圆方程为32222yx=1 ，或23222yx =1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载 例5 （
19、06年 高 考 湖 南 ） 已 知 椭 圆C1：3422yx 1 ， 抛 物 线C2：)0(2)(2ppxmy，且 C1、C2的公共弦AB过椭圆 C1的右焦点。（1）当 AB x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； （2）若p34，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程 . 解： （1）当 AB x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m0，直线 AB的方程为x 1，从而点 A的坐标为（ 1，23）或（ 1，23） ，因为点 A在抛物线上，所以p249，p89. 此时，抛物线C2的焦点坐标为（169， 0） ，该焦点不在直线AB上. (2) 当抛物线C2的焦
20、点在直线AB上时，由（ 1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为)1(xky. 由134) 1(22yxxky消去y得01248)43(2222kxkxk设 A、B的坐标分别为（11,yx） 、 （22, yx）. 则1x，2x是方程的两根，1x2x22438kk. 因为 AB既是过 C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的弦，所以 AB （2121x）（2221x） 4)(2121xx，且AB（21px）（22px）pxx213421xx. 从而3421xx4)(2121xx所以91621xx，即22438kk916解得6k. 因为 C2的焦点 F、（m,32）在直线)1(xky上，所以km31，即36m当36m时直线 AB的方程为)1(6 xy；当36m时直线 AB的方程为)1(6 xy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页