《2022年高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析 .pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型 1)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用 累加法 求解。例: 已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1( ,3 ,2, 1nn，代入上式得) 1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211
2、 (nn所以naan111211a，nnan1231121类型 2 nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用 累乘法 求解。例: 已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令) 1(,3 ,2, 1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312?nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32类型 3qpaann 1其中 p，q 均为常数，)0)1(ppq 。例: 已知数列na中，11a，321nnaa，求na. 解法一 ( 归纳法 ): 2123232 2332232 33nnnnaaaa精
3、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页12311223232 3323nnnna解 法 二 待 定 系 数 法 ： 设 递 推 公 式321nnaa可 以 转 化 为)(21tatann即321ttaann. 故递推公式为)3(231nnaa, 令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb. 所以nb是以41b为首项，2 为公比的等比数列， 则11224nnnb,所以321nna. 11111211111:23232,222323nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa解法三作差法
4、两式相减 , 得:是以=4为首项为公比的等比数列解法四 ( 作商法 ): 1111323222nnnnnnnaaaa令11322nnnnnnabbb则累加得 : 132232nnnnb则a类型 4nnnqpaa1其中 p， q均为常数，)0)1)(1(qppq 。或1nnnaparq,其中 p， q, r均为常数。解法：一般地， 要先在原递推公式两边同除 以1nq， 得：qqaqpqannnn111?引入辅助数列nb其中nnnqab ，得：qbqpbnn11再同类型3 求解。例: 已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1
5、)2(32211?nnnnaa令nnnab?2，则1321nnbb, 解之得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32类型 5 banpaann 1)001(，a、p解法：这种类型一般利用待定系数法 构造等比数列，即令)()1(1yxnapynxann，与已知递推式比较，解出yx, 从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页例: 设数列na：)2( , 123,411nnaaann，求na. 解：设BAnbaB，Anabnnnn则，将1,nnaa代入递推式，得12)
6、1(31nBnAbBAnbnn)133()23(31ABnAbn13323ABBAA11BA1nabnn取则13nnbb, 又61b，故nnnb32361代入得132nann说 明 ： 1 假 设)(nf为n的 二 次 式 ， 则 可 设CBnAnabnn2;(2)此 题 也 可 由1231naann ,1)1(2321naann3n两式相减得2)(3211nnnnaaaa转化为nnnqbpbb12求之 . 类型 6 递推公式为nS与na的关系式。 ( 或()nnSf a)解法： 这种类型一般利用)2() 1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(
7、1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。例： 已知数列na前 n 项和2214nnnaS. 1求1na与na的关系；2求通项公式na. 解：1由2214nnnaS得：111214nnnaS于是)2121()(1211nnnnnnaaSS所以11121nnnnaaannnaa21211. 2应用类型4nnnqpaa1其中 p，q 均为常数，)0)1)(1(qppq 的方法，上式两边同乘以12n得：22211nnnnaa由1214121111aaSa. 于是数列nna2是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，所以nnann2)1(22212nnna类型 7 递推公式为nnnqapaa12其中
8、p，q 均为常数。解法一 ( 待定系数法) ：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s， t满足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页qstpts解法二 ( 特征根法 ) ：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。假设21, xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中 A，B 由21,aa决定即把2121,xxaa和2, 1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B 的方程组；当21xx时，数
9、列na的通项为11)(nnxBnAa，其中A， B 由21,aa决定即把2121,xxaa和2, 1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B的方程组。例:已知数列na中，),0(025312Nnnaaannn，baaa21,，求数列na的通项公式。解法一待定系数迭加法: 由025312nnnaaa，得)(32112nnnnaaaa，且abaa12。 则 数 列nnaa1是 以ab为 首 项 ，32为 公 比 的 等 比 数 列 ， 于 是11)32)(nnnabaa。把nn,3 ,2, 1代入，得abaa12，)32()(23abaa，234)32()(abaa，?21)32)(nnna
10、baa。把以上各式相加，得)32()32(321)(21nnabaa)(321)32(11abn。abbaaabannn23)32)(3)()32(3311。解法二特征根法 ：数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,的特征方程是：02532xx。32, 121xx,1211nnnBxAxa1)32(nBA。又由baaa21,，于是)(32332baBabABAbBAa故1)32)(323nnbaaba类型 8 rnnpaa1)0,0(nap精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页解法 ：这种类型一般
11、是等式两边取对数 后转化为qpaann 1，再利用 待定系数法 求解。例：已知数列na中，2111, 1nnaaaa)0(a，求数列.的通项公式na解：由211nnaaa两边取对数得aaann1lglg2lg1，令nnablg，则abbnn1lg21，再利用待定系数法解得：12)1(nnaaa。类型 9 )()()(1nhanganfannn解法：这种类型一般是等式两边取倒数 后换元 转化为qpaann 1。例：已知数列an满足：1,13111aaaannn，求数列 an的通项公式。解：取倒数：11113131nnnnaaaana1是等差数列，3)1(111naan3)1(1n231nan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页