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1、精品文档精品文档北京市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编立体几何一、填空、选择题1. 【北京市昌平区2013 届高三上学期期末理】已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 A. 104 34 2 B 102 34 2 C. 142 34 2D.144 34 2【答案】 B 【解析】根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其 中ABCD 是 直 角 梯 形 ， AB AD，AB=AD=2 ， BC=4， 即PA 平 面ABCD ， PA=2。 且2 2CD, ，2 2PD,2 2PB,2 6PC,底面梯形的面
2、积为(24)262，12222PABS,12222PADS,12 244 22PBCS, 侧 面 三 角 形DPC中 的 高22(2 2)( 6)2DO，所以12622 32PDCS，所以该几何体的总面积为6222 34 2102 34 2，选 B. 2. 【北京市朝阳区2013 届高三上学期期末理】已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A34 B32 C34 D【答案】 C 【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为32，高为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
3、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档3，所以侧视图的面积为1333224。选 C. 3. 【 北 京 市 东 城 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 理 】 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积为【答案】754 10【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，底面梯形的上底为4，下底为5，腰23110CD, 所以梯形的面积为(45)32722S，梯形的周长为345101012，所以四个侧面积为( 1012
4、)44 1048，所以该几何体的表面积为274 10482754 102。4. 【北京市房山区2013 届高三上学期期末理】若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是A. 3 B. 9 32C. 63 D. 62 3【答案】 D 5. 【北京市丰台区2013 届高三上学期期末理】如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) 3 (B) 2 3 (C) 1 (D) 2 【答案】 A 【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形， , 所以四个面中面积最大的为BCD，且BCD是边长为为2 的正三角形，所以132
5、2322BCDS，选 A. 6. 【北京市海淀区2013 届高三上学期期末理】三棱锥DABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD的长为 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档【答案】4 2【 解 析 】 取AC的 中 点 ， 连 结BE,DE由 主 视 图 可 知,BEAC BEDE.DCABC且4,2 3,2DCBEAEEC.所以2222(23)2164BCBEEC，即2222443
6、24 2BDBCDC。7.【北京市石景山区2013 届高三上学期期末理】设,m n是不同的直线，,是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若/ / ,mnmn，则 B若/ / ,mnmn，则/ /C若/ / ,/ /mnmn，则 D若/ /,/ /mnmn，则/ /【答案】 C 【解析】 C中，当/ / ,/ /mmn，所以，/ / ,n或,n当n，所以，所以正确。8. 【北京市通州区2013 届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（A）164 2（B）124 2（C）84 2（D）44 2【答案】 B 【解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为
7、等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为122242，侧面积为(2222)2842，所以表面积为84 24124 2，选 B. 9. 【北京市西城区2013 届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）（A）2 5（B）2 6（C）2 7（D）4 2【答案】 C 【 解 析 】 由 三 视 图 可 知 该 四 面 体 为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品文档精
8、品文档VABC, 其中2ECCB,2 3AE,2VC,AEBE VCABE. 所以六条棱中，最大的为VA或者AB.22222(23)216ACAEEC,所以222216220VAACVC， 此时202 5VA。22222(23)428ABAEEB, 所以282 72 5AB，所以棱长最大的为2 7，选 C. 10. 【北京市朝阳区2013 届高三上学期期末理】在棱长为1 的正方体1111ABCDABC D中，点1P，2P分别是线段AB，1BD（不包括端点）上的动点，且线段12P P平行于平面11A ADD，则四面体121PP AB的体积的最大值是 A124 B112 C16 D12【答案】 A
9、 【解析】过2P做2PO底面于 O,连结1OP, 则1OPAB， 即1OP为 三 棱 锥211PPAB的高，设101APxx，则由题意知1/ /OPAD, 所以有11OPBPADAB，即11OPx。三角形1112AP BSx，所以四面体121PP AB的体积为11211111111(1)(1)()33266224APBxxSOPxxxx， 当且仅当1xx，即12x时，取等号，所以四面体121PP AB的体积的最大值为124，选 A. 11、【北京市石景山区2013 届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A38B4C2D34【答案】 B 【解析】由三视图可知该几何体为
10、三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为14362，所以该几何体的体积为16243，选 B. 二、解答题1.【北京市昌平区2013 届高三上学期期末理】在四棱锥EABCD-中，底面ABCD是正方形，,ACBDO与交于点ECABCDF底面，为BE的中点 . （）求证：DE平面ACF；（）求证：BDAE；（）若2,ABCE=在线段EO上是否存在点G，使CGBDE平面？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由正（主）视图侧（左）视图俯视图2 2 3 2 3 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
11、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档zyxOFEDCBAGGABCDEFOOFEDCBA【答案】解：（I ）连接OF. 由ABCD是正方形可知 , 点O为BD中点 . 又F为BE的中点，所以OFDE.2 分又,OFACF DEACF平面平面趟所以DE平面ACF .4 分(II) 证明：由ECABCDBDABCD底面，底面，?所以,ECBD由ABCD是正方形可知 , ,ACBD又=,ACEC C AC ECACE平面，翘所以,BDACE平面.8分又AEACE平面，所以BDAE.9分(III)解法一：在线
12、段EO上存在点G，使CGBDE平面. 理由如下：如图，取EO中点G，连接CG. 在四棱锥EABCD-中，22,2ABCE COABCE=，所以CGEO. .11分由（ II ）可知，,BDACE平面而,BDBDE平面所以，,ACEBDEACEBDEEO平面平面且平面平面，?因为,CGEO CGACE平面，?所以CGBDE平面. 13分故在线段EO上存在点G，使CGBDE平面. 由G为EO中点，得1.2EGEO=14 分解法二：由ECABCD底面，且底面ABCD是正方形，如图，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精
13、心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档建立空间直角坐标系,CDBE-由已知2,ABCE=设(0)CEa a=，则(0,0,0),( 2 ,0,0),(0,2 ,0),(0,0, ),CDaBaEa2222(,0),( 2 ,2 ,0),(0,2 , ),(,).2222OaaBDaaBEa a EOaaauu u ruuruu u r=-=-=-设G为线段EO上一点，且(01)EGEO=nCACACA13 分由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以二面角A-MB1-C的大小为414 分MPC1B1A1NCBA名师资料总
14、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档9. 【北京市西城区2013 届高三上学期期末理】 如图，四棱锥ABCDP中， 底面ABCD为正方形，PDPA，PA平面PDC，E为棱PD的中点（）求证：PB/ 平面EAC；（）求证：平面PAD平面ABCD；（）求二面角BACE的余弦值【答案】（）证明：连接BD与AC相交于点O，连结EO因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点因为E为棱PD中点所以EOPB/ 3 分因
15、为PB平面EAC，EO平面EAC，所以直线PB/ 平面EAC 4 分（）证明：因为PA平面PDC，所以CDPA5 分因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD，所以CD平面PAD 7 分所以平面PAD平面ABCD8 分（）解法一：在平面PAD内过D作直线DzAD因为平面PAD平面ABCD，所以Dz平面ABCD由,Dz DA DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzD 9 分设4AB，则(0,0,0),(4,0,0),(4, 4,0),(0, 4,0),(2,0, 2),(1,0,1)DABCPE所以) 1,0 ,3(EA，)0, 4,4(AC设平面EAC的法向量为= ()x,y,zn，则
16、有0,0.EAACnn所以044,03yxzx取1x，得(1,1,3)n 11 分易知平面ABCD的法向量为(0,0,1)v 12 分所以|3 11|cos,|11n vn vnv 13 分由图可知二面角BACE的平面角是钝角，yzOEPCBADx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档所以二面角BACE的余弦值为11113 14 分解法二：取AD中点M，BC中点N，连结PM，MN因为ABCD为正方形
17、，所以CDMN /由（）可得MN平面PAD因为PDPA，所以PMAD由,MP MA MN两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzM 9 分设4AB，则(2,0,0),(2,4,0),( 2,4,0),( 2,0,0),(0,0, 2),( 1,0,1)ABCDPE所以) 1,0 ,3(EA，)0, 4,4(AC设平面EAC的法向量为= ()x,y,zn，则有0,0.EAACnn所以044,03yxzx取1x，得n)3, 1 , 1( 11 分易知平面ABCD的法向量为v)1 , 0,0( 12 分所以|3 11|cos,| |11n vn vnv 13 分由图可知二面角BACE的平面角是钝角，所以二面角BACE的余弦值为11113 14 分yzNMOEPCBADx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -