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1、安庆师范学院数学与计算科学学院2013 届毕业论文第 1 页矩阵迹的若干个性质与应用姓名：某某指导老师：某某摘要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质, 然后依据方阵的F范数定义 Cauchy Schwarz 不等式 , 给出了零矩阵 , 不相似矩阵 , 数幂矩阵 , 列矩阵 , 幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。关键词：迹矩阵范数特征值1 引言矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上， 首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实
2、例。2 预备知识定义 1 设nnijCaA)(,则niiiatrA1称为A的迹。定义 2 设nnijCaA)(,记与向量范数2XA相容的A的F一范数为: 21121)(ninjijFaA)1(00FAA(2) CKAKKAFF,(3) nFFFCBABABA,(4) nnFFFCBABAAB,(5) 22XAAXF引理： 矩阵迹的性质: 1 trBtrABAtr)(证明：设(a ),()ijn nijn nABb则111(),(),()()inini niiiiiiiiiiitr Aatr Bb tr ABab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
3、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 安庆师范学院数学与计算科学学院2013 届毕业论文第 2 页又111( )()()inininiiiiiiiiiiitr Atr Babab所以()()( )tr ABtr Atr B得证2 ()tr kAk trA(k为任意常数 ) 证明：设()ijn nAa则( )()()()()()iiiiiiiitr Aak tr Akatr kAkakatr kAk tr A由（ 1）与（ 2）知()( )(),tr mAnBm tr An tr Bm nC3 )()
4、(BAtrABtr证明：设(a ),()ijn nijn nABb则()i jn nABc，其中1knijikkjkcab所以有()ijjitr ABab()ijn nBAd其中1k nijikkjkdba，所以有()ijjitr ABab()()tr ABtr BA得证4 AtrtrA证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。5 jininjijaaAtr112)(证明：令（ 3）中BA即可得证。6 ninjijaAAtr112)(证明：令（ 3）中BA即可得证。7 niitrA1（i是A的特征值）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
5、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 安庆师范学院数学与计算科学学院2013 届毕业论文第 3 页证明：由若当定理知100nAJ因为相似矩阵迹相等，所以niitrA18 niiAtr122)(证明：设矩阵A的特征值为1,.,n则矩阵2A的特征值为221,.,n则由（ 7）即可得证9 若AB, 则trBtrA; 特别，trAATTtr)(1（下面定理有证明）10 若0A，| |0A，则0trA有了上面关于矩阵的迹定义及性质的介绍，下面我们通过举例来看其在解题中的应用。3 解题中的应用例1 设
6、BA,为同阶实对称矩阵，若BA正定，则A和B不相似。证：假设,A B相似,则由性质 9 知,trBtrA再由性质 1 得0)(trBtrABAtr故由性质 10 知BA不是正定阵,与已知矛盾!从而, A和B不相似。例2 设n阶矩阵A的对角线上元素全是1，且其特征值为复数，求证| 1A证：设(1,2,. )iin为A的全部特征值，且0,1,2,. ,iin则有1212|.,().nnAtr A又A的主对角线上的元素全是1，知()tr An则1212.().1nnntr Ann所以12|.1nA。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
7、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 安庆师范学院数学与计算科学学院2013 届毕业论文第 4 页例3 已知n阶方阵A，若对所有的n阶方阵X有0)(AXtr, 则0A。证： 设0A， 则有某0kma。 作矩阵)(ijxX， 使1mkx,),(),(kmji时，0ijx。则矩阵AX主对角线上的元素klklaxaCkmnssllsll,0,10)(1kmnlllaCAXtr。与已知矛盾!故0A例4 设nnijaA)(，A的特征多项式为0111bbbAEnnn，则trAbn 1。证因为nnnnnnaaaaaaaaaAE21
8、2222111211Aaaannnnndet)1()(12211所以trAaaabnnn)(22111。例5 设A , B , C都是nn矩阵,且CAAC , CBBC ,BAABC,则存在不大于n的自然数m ,使得0mC。证：先证0ktrC. (k为任意自然数) 1kkCCABCBCABAABkk)()()(11 (1) 由(1) 和性质 1、3 得：011ABCtrBCAtrtrCkkk再证C的特证值都等于0。设C的特征值为.,21n则存在可逆矩阵T ,使名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
9、- - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 安庆师范学院数学与计算科学学院2013 届毕业论文第 5 页TTCn011所以), 2, 1 ,0( ,011kTTCknkk从而),2 ,1(021ktrCknkkk（2）不失一般性,设C的互异的非零特征值为s,21,且重数分别为srrr,21。则(2) 式变为:), 2, 1(02211krrrksskk取前S个等式,因为范德蒙行列式012211sssss，因此021srrr。即非零特征值都是 0 重,故C的特征全为 0 。再证0mC。 由于C的每个若当块都形如.,2, 101010tiJiinni因此TJJ
10、TCk11令: tnnnm,21,max，则011TJJTCmtmm例6 满足PP2的矩阵P叫做幂等阵,试证：幂等矩阵的迹与秩相等。证: 设n阶阵P为幂阵 ,且P的秩rPR, 则P的特征值是 0 或1 , 且P具有n个线性无关的特证向量, 因而 , P与对角阵相似。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 安庆师范学院数学与计算科学学院2013 届毕业论文第 6 页故必有满秩阵T存在，使10011TTP上式右端的对角阵的
11、秩等于p的秩r ,即该矩阵中的对角元素( P特征值 ) 有r个为 1 ，rn个为0 。故由性质 7 知rtrP0011例7 设有n阶实对称矩阵A ,若0A，则有0trA。证：因为0A,所以A半正定,故存在n阶矩阵u 其中),(1iniiqqa是第i个行向量ni, 2, 1，使得QQA于是02FQQQtrtrA。又因为n维列向量,),(1nnRxxX有22QXQXQXQXQXAXX于是XaXaxqxqxqxqQXnnnnnnn,1111111由Cauchy - Schwarz不等式知，22,XaXaii所以22222122122,XQXaXaQXFniinii即XXtrAXtrAXQQXF222
12、2222从而EXtrAXXXtrAAXX故有AEtrA例7 设A为一个n阶矩阵，A的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记作trA. 证明：如果对任意的n阶方阵X，都有()0tr AX，则0A证：设()ijAa，取XA, 则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 安庆师范学院数学与计算科学学院2013 届毕业论文第 7 页21111()|0nnnnikikikikiktrA Aaaa所以0, ,1,2,ikai kn.
13、即0A例8 证明：不可能有n阶方阵,A B满足ABBAE证：设1111nnnnaaAaa，1111nnnnbbBbb为任二n阶方阵，则AB主对角线上的元素为1122111,nnniiiiniiniiia ba ba b它们的和为11nnjiijija b同样，BA的主对角线上元素的和为11221111111nnnjjjjnjjnjjjnnnnijjijiijijijb ab ab ab aa b亦即AB与BA的主对角线上元素的和相等，从而ABBA的主对角线上元素的和为零. 但是，单位方阵E的主对角线上元素的和为0,n因此ABBAE4 下面介绍一些有关矩阵迹的定理定理 1 Cauchy-Schw
14、arz公式：设,A B都是 n阶矩阵，则有证明：设12,.,Tnaa aa,12,.,Tnbb bb则由向量的内积定义式,cosa ba b，其中为a与b的夹角名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 安庆师范学院数学与计算科学学院2013 届毕业论文第 8 页即2 1/22 1/21niiiiia bab。推广到矩阵的迹的形式，即为1/21/2()()()TTTtr A Btr A Atr B B定理 2 schur不
15、等式设设A是 n阶矩阵，则有2()()Ttr Atr A A证明：因为222()()()()TTTTTTAAAAAAAA AAAA又因为TAA是反对称矩阵，故有22()0()()TTtr AAtr Atr A A定理 3 设,A B为n阶对称矩阵，则有221()()2tr ABtr AB证明：由 Cauchy-Schwarz 公式可知21/221/2()()()tr ABtr Atr B又21/221/2221()()()2tr Atr Btr AB即得221()()2tr ABtr AB定理 4 设,A B C都是n阶实对称矩阵，则有()()()()()()tr ABCtr ACBtr BA
16、Ctr BCAtr CABtr CBA证明：,A B C都是n阶实对称矩阵，又由引理2可得()()()()TTTTtr ABCtr ABCtr C B Atr CBA又由引理 3可得()()()tr ABCtr BACtr CAB同时有()()()tr CBAtr BACtr ACB即可得结论。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 安庆师范学院数学与计算科学学院2013 届毕业论文第 9 页定理 5 设n阶矩阵A的所
17、有特征值都是实数，且20trA，若A恰有k个特征值，则22()trAktrA证明：设A的n个特征值为12,n。因为20trA，由引理 1 知0k2A的特征值为22212,n不为零，而其余的特征值222120kkn考察以下平方和21()kiiMa其中1atrAk，显然0,M且120kM由于2221()0kiitrAMktrAkk于是，有22()trAktrA定理 6 设,A B都是n阶实对称矩阵，则有222()()tr ABtr A B证明：由于,A B都是n阶实对称矩阵，且由Schur不等式和引理3，可得2222()() ()()()()TTTtr ABtrABABtr B A ABtr BA
18、 Btr A B定理 7 设,A B都是n阶实对称矩阵，且正定或半正定，则有()|()( ) |tr ABtr A tr B证明：由 cauchy-schwarz 公式，且,A B都是 n阶实对称矩阵，使得21/221/2()()()tr ABtr Atr B设A的特征值为.,21nB的特征值为12,.,n显然,A B的特征值均大于0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 安庆师范学院数学与计算科学学院2013 届毕
19、业论文第 10 页又由定理 4知，对A存在 n阶正交矩阵p使得1100nPAP所以22112122211()()()()()()nniiiitr Atr PPPPtr PPtrtr由此得122()|( ) |tr Atr A，122|() |( ) |tr Btr B故有112222()()()|( )| |( ) |tr ABtr Atr Btr Atr B即()|()() |trABtr Atr B参考文献 1丁学仁 . 工程中的矩阵理论M. 天津：天津大学出版社,1988 2 党诵诗 . 矩阵论及其在测绘中的应用M. 北京：测绘出版社,1980 3 陈公宁 . 矩阵理论与应用 M. 北京
20、：高等教育出版社，1990 4 牛华伟，张厚超 . 关于矩阵迹的性质与应用J.宁波职业技术学院学报，2009年4月5 宋占奎 . 矩阵的迹在解题中的应用J.陕西工学院学报，2001年3月Matrix trace of several properties and application Author ：Cao min Supervisor:Dai linsongAbstract : On the basis of the definition of matrix traces ,this paper discusses their characteristics at first and th
21、en according to the norm of the F of square matrix and Cauchy - Schwarz Inequality gives how to prove the zero matrix, unsimilar matrix ，number cloth matrix , column matrix idempotent matrix and non - equality matrix. The application examples of the matrixt races in solving problems was given. Key words : traces；matrix ；norm；characteristic value 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -