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1、牛人数学助力高考数学2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合8 ,2, 1 ,0A，8,6, 1 , 1B，那么BA2若复数z满足izi21，其中 i 是虚数单位，则z的实部为3 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为5函数1log2xxf的定义域为6某兴趣小组有2 名男生和 3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为7已知函数222sinxx
2、y的图象关于直线3x对称，则的值是8在平面直角坐标系xOy中，若双曲线0,012222babyax的右焦点0, cF到一条渐近线的距离为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学c23，则其离心率的值是9函数xf满足Rxxfxf4，且在区间2,2(上，02,2120 ,2cosxxxxxf， 则15ff的值为10如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为11若函数Raaxxxf
3、1223在,0内有且只有一个零点，则xf在1 , 1上的最大值与最小值的和为12在平面直角坐标系xOy中，A为直线xyl2:上在第一象限内的点，0, 5B，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若0CDAB，则点A的横坐标为13 在ABC中，角CBA、所对的边分别为cba、，120ABC，ABC的平分线交AC于点D，且1BD，则ca4的最小值为14已知集合NnnxxA, 12|，NnxxBn,2|将BA的所有元素从小到大依次排列 构 成 一 个 数 列na， 记nS为 数 列na的 前n项 和 ， 则 使 得112nnaS成 立 的n的 最 小 值为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
4、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分14 分）在平行六面体1111ABCDAB C D 中，1111,AAAB ABBC 求证： （ 1）11ABAB C平面；（2）111ABB AABC平面平面16 （本小题满分14 分）已知,为锐角，4tan3，5cos()5（1）求cos2的值；（2）求 tan() 的值17
5、（本小题满分14 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学MPN（P 为此圆弧的中点） 和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为40 米，点 P 到 MN 的距离为50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD ，大棚内的地块形状为CDP，要求,A B 均在线段MN上，,C D 均在圆弧上设OC 与 MN 所成的角为（
6、1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18 （本小题满分16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 过点1( 3,)2，焦点12(3,0),( 3,0)FF，圆 O 的直径为12F F （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线l 与圆 O 相切于第一象限内的点P若直线l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于,A B 两点若OAB的面积为2 67，求直线 l 的方程19 （本小
7、题满分16 分）记( ),( )fxg x 分别为函数( ),( )f xg x 的导函数若存在0 xR ，满足00()()f xg x且00()()fxgx，则称0 x 为函数( )f x 与( )g x 的一个“ S点”名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学（1）证明：函数( )f xx 与2( )22g xxx不存在“ S点”；（2）若函数2( )1f xax与( )lng xx 存在“ S
8、点”，求实数a 的值；（3）已知函数2( )f xxa ，e( )xbg xx对任意0a，判断是否存在0b，使函数( )f x 与( )g x 在区间 (0,) 内存在“ S点”，并说明理由20 （本小题满分16 分）设 na是首项为1a ，公差为 d 的等差数列，nb是首项为1b ，公比为q 的等比数列（1）设110,1,2abq，若1|nnabb 对1,2,3,4n均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,(1, 2mabmqN，证明：存在dR，使得1|nnabb 对2,3,1nmL均成立，并求d的取值范围（用1,b m q 表示） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
9、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学数学 ( 附加题 ) 21 【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲(本小题满分10 分) 如图，圆 O 的半径为2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为C若2 3PC，求 BC 的长B选修 42：矩阵与变换 (本小题满分10
10、分) 已知矩阵2312A（1）求A的逆矩阵1A；（2）若点 P 在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)P，求点 P 的坐标C选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分10 分) 在极坐标系中，直线l 的方程为sin()26，曲线 C 的方程为4cos，求直线l 被曲线 C 截得的弦长D选修 45：不等式选讲 (本小题满分10 分) 若 x，y，z 为实数，且x+2y+2z=6，求222xyz 的最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - -
11、 - - - - - 牛人数学助力高考数学【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤学科#网22（本小题满分10 分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点（1）求异面直线BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面 AQC1所成角的正弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - -
12、 - - - - - 牛人数学助力高考数学23(本小题满分10 分) 设*nN ，对 1，2， ，n 的一个排列1 2ni iiL，如果当 s0） ，则年总产值为4k 800（4sin cos +cos ）+3k 1600（cos sin cos ）=8000k（sin cos +cos ） ， 0，2） 设 f（ ）= sin cos +cos ， 0，2） ，则222( )cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f令( )=0f，得 =6，当 （ 0，6）时，( )0f，所以 f（ ）为增函数；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
13、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学当 （6，2）时，( )0，设32( )3h xxxaxa 因为(0)0(1)1320hahaa，且 h（x）的图象是不间断的，所以存在0 x （ 0，1） ，使得0()0h x，令03002e (1)xxbx，则 b0函数2e( )( )xbf xxag xx，则2e (1)( )2( )xbxfxxg xx， 由 f（ x）与 g（x）且 f（x）与 g （x） ，得22ee (1)2xxbxaxbxxx，即00320030
14、202ee (1)2e (1)2e (1)xxxxxxaxxxxxxx（* ）此时，0 x 满足方程组（ * ） ，即0 x 是函数 f（x）与 g（x）在区间（ 0，1）内的一个“ S点”因此，对任意a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（ 0，+）内存在“ S点”20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16 分解： （1）由条件知：112(,)nnnand b因为1|nnabb 对 n=1，2，3，4 均成立，即1 12|()1|nnd对 n=1，2，3，4 均成立，即 11，1d3，
15、32d5，73d9，得7532d因此， d 的取值范围为7 5,3 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学（2）由条件知：111(1) ,nnnabnd bbq若存在 d，使得1|nnabb （n=2，3， ，m+1）成立，即1111|1|2,3,(1()nbndb qb nmL，即当2,3,1nmL时，d 满足1111211nnqqbdbnn因为(1, 2mq，则112nmqq，从而1120
16、1nqbn，1101nqbn，对2,3,1nmL均成立因此，取d=0 时，1|nnabb 对2,3,1nmL均成立下面讨论数列121nqn的最大值和数列11nqn的最小值（2,3,1nmL） 当2nm时，1112222111()()()nnnnnnnnqqnqqnqn qqqnnn nn n，当112mq时，有2nmqq，从而1() 20nnnn qqq因此，当21nm时，数列121nqn单调递增，故数列121nqn的最大值为2mqm设( )()21xf xx ，当 x0 时，ln 21(0(n)l 2 2)xfxx，所以( )f x 单调递减，从而( )f x f（0）=1当2nm时，111
17、112111()()()nnnqq nnfqnnnn，因此，当21nm时，数列11nqn单调递减，故数列11nqn的最小值为mqm因此， d 的取值范围为11(2),mmb qbqmm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学数学 ( 附加题 )参考答案21 【选做题】A选修 41：几何证明选讲 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分10 分证明： 连结 OC因为 PC 与圆 O
18、相切，所以OCPC又因为 PC= 2 3 ，OC=2，所以 OP=22PCOC=4又因为 OB=2，从而 B 为 RtOCP 斜边的中点，所以BC=2B选修 42：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分10 分解： （1）因为2312A， det()221 310A，所以 A 可逆，从而1A2312（2）设 P(x，y)，则233121xy，所以13311xyA，因此，点P的坐标为 (3， 1)C选修 44：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10 分解： 因为曲线 C 的极坐标方程为=4cos，所以曲线C 的
19、圆心为（ 2，0） ，直径为 4 的圆因为直线l 的极坐标方程为sin()26，则直线 l 过 A（4，0） ，倾斜角为6，所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点设另一个交点为B，则 OAB=6连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA=2，所以4cos2 36AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学因此，直线l 被曲线 C 截得的弦长为2 3 D选修 45：不等式选讲 本小题主要考查柯西
20、不等式等基础知识，考查推理论证能力满分10 分证明： 由柯西不等式，得2222222()(122 )(22 )xyzxyz因为22 =6xyz，所以2224xyz，当且仅当122xyz时，不等式取等号，此时244333xyz，所以222xyz 的最小值为422 【必做题】 本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力满分10 分学科 % 网解： 如图，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，设 AC，A1C1的中点分别为O，O1，则 OBOC，OO1OC，OO1OB，以1,OB OC OOuu u r uuu r uu uu r为基底，建立空间直角坐标系
21、O- xyz因为 AB=AA1=2，所以1110, 1,0 ,3,0,0 ,0,1,0 ,0, 1,()()()()(2 ,3,0,2 ,0,1,2)()ABCABC（1）因为 P 为 A1B1的中点，所以31(,2)22P，从而131(,2)(0,2,222),BPACuuu ruu uu r，故111|14|3 10|cos,|20| |522BP ACBP ACBPACu uu ruuu u ruuu r uu uu ruu u ruu uu r因此，异面直线BP 与 AC1所成角的余弦值为3 1020名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
22、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学（2）因为 Q 为 BC 的中点，所以3 1(,0)22Q，因此3 3(,0)22AQuuu r，11(0,2,2),(0,0,2)ACCCuuuu ru uu u r设 n=（x，y，z）为平面 AQC1的一个法向量，则10,0,AQACuu u ruu uu rnn即330,22220.xyyz不妨取(3, 1,1)n，设直线 CC1与平面 AQC1所成角为，则111|25sin|cos|,| |552CCCCCC|uu uu ru uu
23、u ruuu u rnnn，所以直线CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为5523 【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分10分解： （1）记()abc 为排列 abc 的逆序数，对1，2，3 的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3，所以333(0)1(1)(2)2fff，对 1，2，3，4 的排列，利用已有的1，2，3 的排列，将数字4 添加进去， 4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，4333(2)(2)(1)(0)5ffff（2）对一般的n（n4 ）的情形，逆序数为0 的排列只
24、有一个：12n，所以(0)1nf逆序数为1 的排列只能是将排列12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1nfn为计算1(2)nf，当 1，2，n 的排列及其逆序数确定后，将n+1 添加进原排列， n+1 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，1(2)(2)(1)(0)(2)nnnnnfffffn当 n5 时，112544(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)nnnnnffffffff名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 牛人数学助力高考数学242(1)(2)4(2)2nnnnf，因此， n5 时，(2)nf222nn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -