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1、定义新运算1. 规定 :a b=(b+a) b, 那么 (2 3) 5= 。2. 如 果a b 表 示ba)2(, 例 如3 444)23(, 那 么 , 当a 5=30时 , a= 。3. 定义运算“”如下: 对于两个自然数a 和 b, 它们的最大公约数与最小公倍数的和记为ab. 例如 :4 6=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,18 12= 。4. 已知 a,b 是任意有理数, 我们规定 : a b= a+b-1,2abba,那么)53()86(4。5.x 为正数 , 表示不超过x 的质数的个数 , 如=3, 即不超过5.1 的质数有2,3,5共 3个. 那么 + 的
2、值是。6. 如果a b 表示ba23, 例如45=34-2 5=2, 那么 , 当x 5 比5 x 大5 时 , x= 。7. 如果 14=1234,2 3=234,7 2=78, 那么 45= 。8. 规定一种新运算“”: a b=) 1()1(baaa. 如果 (x 3) 4=421200, 那么x= 。9. 对于任意有理数x, y, 定义一种运算“” ，规定 :x y=cxybyax, 其中的cba,表示已知数 , 等式右边是通常的加、减、乘运算. 又知道 12=3,2 3=4,x m=x(m 0), 则 m的数值是。10. 设 a,b 为自然数 , 定义 ababba22。(1) 计算
3、 (4 3)+(8 5) 的值；(2) 计算 (2 3) 4；(3) 计算 (2 5) (34) 。11. 设 a，b 为自然数，定义ab 如下 : 如果 ab，定义 ab=a-b ，如果 ab，则定义 a b= b-a 。(1) 计算 :(3 4) 9；(2) 这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说，下面两式是否成立?ab= b a;(a b) c= a (bc) 。12. 设 a,b 是两个非零的数, 定义 ababba。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页(1) 计算 (2 3) 4 与 2(3 4) 。
4、(2) 如果已知a 是一个自然数，且a3=2, 试求出 a 的值。13. 定义运算 “”如下 : 对于两个自然数a 和 b, 它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab。比如 :10 和 14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则 1014=70-2=68 。(1) 求 1221,5 15；(2) 说明，如果c 整除 a 和 b, 则 c 也整除 ab；如果 c 整除 a 和 ab，则 c 也整除 b；(3) 已知 6x=27, 求 x 的值。答案一、填空题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）1 （ 3 分）规定： ab=（b+a） b，那么（ 2 3） 5=100考点 ： 定 义新运算
5、。分析：根 据 ab=（b+a） b，得出新的运算方法，再根据新的运算方法解答（23） 5 的值解答：解 ：因为， 23=（3+2） 3=15，所以，（23） 5=15 5=（5+15） 5=100，故答案为： 100点评：解 答此题的关键是，根据所给的等式，找出新的运算方法，再运用新的运算方法，解答出要求式子的值2 （ 3 分）如果ab 表示（ a2） b，例如 34=（32） 4=4，那么，当a5=30 时，a=8考点 ： 定 义新运算。分析：根 据“ab 表示（ a2） b，34=（32） 4=4，” 得出新的运算方法，再用新的运算方法计算a5=30，即可写成方程的形式，解此方程得出a
6、的值解答：解 ：因为， a5=30，所以，（a2） 5=30，5a10=30，5a=40，a=8，故答案为： 8点评：解 答此题的关键是根据题意找出新运算方法，再根据新运算方法解答即可3 （ 3 分）定义运算“ ” 如下：对于两个自然数a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 ab例如：46=（4，6）+4，6=2+12=14根据上面定义的运算，1812=42考点 ： 定 义新运算。分析：根 据新运算知道， 求 1812，就是求 18 和 12 的最大公约数与最小公倍数的和，由此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8
7、 页即可解答解答：解 ：因为， 18 和 12 的最大公约数是6，最小公倍数是36，所以， 1812=（18，12）+18，12=6+36=42；故答案为： 42点评：解 答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可4 （3 分）已知 a，b 是任意有理数， 我们规定： ab=a+b1，a? b=ab2，那么 4? （6 8）（ 3? 5）=98考点 ： 定 义新运算。分析：根 据 ab=a+b1，a? b=ab2，得出新的运算方法，再运用新的运算方法计算4? （68）（ 3? 5）的值解答：解 ：4? （68）（ 3? 5），=4? （6+81）（ 3 52），=4? 131
8、3，=4? 13+131，=4? 25，=4 25 2，=98，故答案为： 98点评：解 答此题的关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，用新运算方法解答即可5 （ 3 分） x 为正数， x表示不超过x 的质数的个数，如5.1=3，即不超过5.1 的质数有 2， 3，5 共 3 个那么 19+93+ 4 1 8的值是11考点 ： 定 义新运算。分析：根 据题意，先求出不超过19 的质数的个数，再求出不超过93 的质数的个数，而不超过 1 的质数的个数是0， 所以 4 1 8的值是0， 因此即可求出要求的答案解答：解 ：因为， 19为不超过19 的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19
9、 共 8 个， 93为不超过的质数，共24 个，并且， 1=0，所以， 19+93 +4 1 8，= 19+ 93，=8+24，=32，=11，故答案为： 11点评：解 答此题的关键是，根据题意，找出新的符号表示的意义，再根据定义的新运算，找出对应量，解答即可6 （3 分）如果 ab 表示 3a2b，例如 45=3 42 5=2，那么，当x5 比 5x 大 5 时，x=6考点 ： 定 义新运算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页分析：根 据所给的运算方法，将x5 比 5x 大 5 写成方程的形式，解答方程即可解答：解
10、 ：由 x55x=5，可得：（ 3x2 5）（ 3 52x）=5，5x25=5，x=6，故答案为： 6点评：解 答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可7 （ 3 分）如果14=1234，23=234，72=78，那么 45=45678考点 ： 定 义新运算。分析：根 据“1 4=1234，23=234，72=78” ，得出新的运算方法：的前一个数字是等号后面数的第一个数字，后面的数字表示连续数的个数，是从前面的数开始连续，然后运用新的运算方法计算45 的值即可解答：解 ：由于 14=1234，23=234， 72=78，所以 45=45678；故答案为： 4
11、5678点评：解 答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可8 （ 3 分）我们规定：符号 表示选择两数中较大数的运算，例如：5 3=3 5=5，符号 表示选择两数中较小数的运算，例如：53=35=3请计算：=考点 ： 定 义新运算。分析：根 据符号 表示选择两数中较大数的运算，符号表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案解答：解：=，0.625=，=， 2.25= =，所以：=；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页故答案为：点评：
12、解 答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可9 （3 分）规定一种新运算“ ” ：ab=a （ a+1） （a+b 1） 如果（x3）4=421200，那么 x=2考点 ： 定 义新运算。分析：先 根据 “ab=a （a+1） （a+b+1）” ，知道新运算 “ ” 的运算方法，由于（x 3） 4=421200，这个式子里有两步新运算，所以令其中的一步运算式子为y，再根据新的运算方法，由此即可求出要求的答案解答：解 ：令 x3=y，则 y4=421200，又因为， 421200=24 34 52 13=24 25 26 27，所以， y=24，即 x 3=24，又
13、因为， 24=23 3=2 3 4，所以， x=2；故答案为： 2点评：解 答此题的关键是， 根据新运算方法的特点，只要将整数写成几个自然数连乘的形式，即可得出答案10 （3 分）对于任意有理数x，y，定义一种运算“ ” ，规定： xy=ax+bycxy，其中的 a，b，c 表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算又知道1 2=3，23=4，xm=x（m 0） ，则 m 的数值是4考点 ： 定 义新运算。分析：根 据 xy=ax+by cxy，找出新的运算方法，根据新的运算方法，将 12=3，23=4，xm=x 写成方程的形式，即可解答解答：解 ：由题设的等式xy=ax+by cxy 及 x
14、m=x（m 0 ） ，得 a?0+bmc?0?m=0 ，所以 bm=0，又 m 0 ，故 b=0，因此 xy=axcxy，由 12=3， 23=4，得，解得 a=5，c=1，所以 xy=5xxy，令 x=1，y=m，得 5 m=1，故 m=4；故答案为： 4点评：解 答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可二、解答题（共4 小题，满分0 分）11设 a， b 为自然数，定义ab=a2+b2ab（1）计算（ 43）+（8 5）的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页（2）计算（ 23）
15、4；（3）计算（ 25）（34） 考点 ： 定 义新运算。分析：根 据“ab=a2+b2ab” 得出新的运算方法，然后运用新的运算方法进行计算即可解答：解 ： （1） （ 43）+（8 5） ，=（42+324 3）+（82+52 8 5） ，=1+49，=62；（ 2） （2 3）4，=（22+322 3）4，=74，=72+427 4，=37；（ 3） （2 5）（ 34） ，=（22+522 5）（32+423 4） ，=1913，=192+13219 13，=283；答： （1）62， （2） 37， （ 3）283点评：解 答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新
16、的运算方法解答即可12 设 a， b 为自然数， 定义 ab 如下：如果 ab， 定义 ab=a b， 如果 ab， 则定义 ab=ba（1）计算：（34） 9；（2）这个运算满足交换律吗？满足结合律吗？也是就是说，下面两式是否成立？ab=ba；（ ab） c=a（ bc） 考点 ： 定 义新运算。分析：（1）根据 “ 如果 ab，定义 ab=ab，如果 ab，则定义ab=ba，” 得出新的运算方法，再利用新的运算方法计算（3 4） 9 的值即可；（ 2）要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律，也就是证明和这两个等式是否成立解答：解 ： （1） （ 34） 9=（ 43） 9=19=91=8
17、；（ 2）因为表示ab 表示较大数与较小数的差，显然a b=ba成立，即这个运算满是交换律，但一般来说并不满足结合律，例如： （ 34） 9=8， 而 3 （49） =3 （94） =35=5 3=2，所以，这个运算满足交换律，不满足结合律；答：这个运算满足交换律，不满足结合律点评：解 答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解答即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页13设 a，b 是两个非零的数，定义ab=（1）计算（ 23） 4 与 2（ 34） （2）如果已知a 是一个自然数，且a
18、3=2，试求出a的值考点 ： 定 义新运算。分析：（ 1）根据 ab=，找出新的运算方法，再根据新的运算方法，计算（23） 4与 2（ 3 4）即可；（2）根据新运算方法将a3=2，转化成方程的形式，再根据a是自然数，即可求出a 的值解答：（ 1）按照定义有23=，34=，于是（ 2 3） 4=4=，2（ 34）=2；（ 2）由已知得若 a6 ，则2 ，从而与矛盾，因此 a5 ，对 a=1，2，3，4，5 这 5 个可能的值，一一代入式中检查知，只有 a=3 符合要求点评：解 答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要求的式子即可14定义运算 “ ” 如下：对于两
19、个自然数a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab比如： 10 和 14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则 1014=702=68（1）求 1221，515；（2）说明，如果c 整除 a和 b，则 c 也整除 ab；如果 c 整除 a和 ab，则 c 也整除 b；（3）已知 6x=27 ，求 x 的值考点 ： 定 义新运算。分析：（1）根据新的定义运算，先求出12 与 21 的最小公倍数和最大公约数，5 与 15 的最小公倍数和最大公约数，问题即可解决；（ 2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明；（ 3）由于运算 “ ” 没有直接的表达式，解这个方程
20、有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围，即根据6 与 x 的最小公倍数不小于27+1，不大于27+6，由此即可得出答案解答：解 ： （1）因为， 12 与 21 的最小公倍数和最大公约数分别为84， 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页所以， 1221=843=81，同样道理515=155=10；（ 2）如果 c 整除 a 和 b，那么 c 是 a 和 b 的公约数，则c 整除 a，b 的最大公约数，显然 c 也整除 a，b 最小公倍数，所以 c 整除最小公倍数与最大公约的差，即c 整除 a b，如果 c 整除 a
21、和 ab，由 c 整除 a 推知 c 整除 a，b 的最小公倍数，再由 c 整除 ab 推知， c 整除 a，b 的最大公约数，而这个最大公约数整除b，所以 c 整除 b；（ 3）因为 6 与 x 的最小公倍数不小于：27+1=28，不大于： 27+6=33，而 28 到 33 之间，只有30 是 6 的倍数，可见 6 和 x 的最小公倍数是30，因此，它们的最大公约数是3027=3，由 “ 两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积 ” ，得到： 30 3=6 x，6x=90，x=15 ，所以 x 的值是 15点评：解 答此题的关键是，根据定义新运算，得出新的运算意义，再利用新的运算意义和运算方法，解答即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页