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1、名师整理优秀资源高中物理竞赛导学材料牛顿运动定律【全国联赛考点】1. 力学中常见的几种力。摩擦力、弹性力，惯性力的概念，惯性系的概念，胡克定律2. 牛顿第一、二、三运动定律3. 万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式4. 开普勒定律行星和人造卫星运动牛顿运动定律导学一力和力的分类：1自然界的几种常见力1）重力2）弹力：物体发生弹性形变时，由于要恢复原状，会对跟它接触的物体产生力的作用，这种力叫做弹力。胡克定律：对于有拉伸压缩形变的弹性体，当形变较小时，形变与弹力成正比。即：xkF弹簧的弹力：大小：xkF方向：与形变方向相反k 为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或压缩量。弹簧的串联：将劲
2、度系数分别为k1，k2， kn的几个弹簧串联，其等效的劲度系数k串：nkkkk111121?串弹簧的并联：将劲度系数分别为k1，k2， kn的几个弹簧串联，其等效的劲度系数k并：nkkkk?21并3）摩擦力a)滑动摩擦力：大小：N动动f方向与相对运动方向相反b)静摩擦力：Mff0方向与相对运动趋势相反精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页名师整理优秀资源Mf为最大静摩擦力，NsMf，s为静摩擦系数，它由相互接触物体的质料和表面情况决定，并且有动s，计算中有时也可近似的取动sc)摩擦角全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力
3、的合力称全反力，一般用R 表示，亦称接触反力。摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用m表示。此时，要么物体已经滑动，必有：m= arctg 动（动为动摩擦因素） ，称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：ms= arctgs（ s为静摩擦因素） ，称静摩擦角。通常处理为 m= ms。引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷。4）流体中常见的几种力a) 液体压力：液体压力是指静止的液体有重量而产生的内部压力。在液体里深度为h 的处的压强为：ghpp0P0为液面压强，为液体密度。b) 浮力：在重力场中浸在液体里的物体所受的向上托起的力流体压力的合力叫做浮力。浮力
4、的大小为：排排浮dVgVFd 为流体比重， V 排为浸入物体所排开的流体体积，浮力的方向竖直向上。c) 流体的粘滞阻力：这实际上是一种摩擦力，应为流体中一层一层的相对运动时，每两层之间出现阻碍这种相对运动的切向粘滞力。当半径为r 的小球在粘滞性很大的液体中以不很大的速度v 运动，受到流体的粘滞阻力f 由斯托克斯公式给出：vf6 为流体的粘滞系数。2 力的基本性质: 1) 力是物体（或与场）之间的相互机械作用。它使作用的物体的运动状态发生改变或发生形变。力的大小、方向、作用点决定力的作用效果，称为力的三要素。力是矢量。 作Z rF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
5、 - - - - - -第 2 页，共 19 页名师整理优秀资源用在质点或刚体上的一群力叫力系。根据各力的作用线在空间的分布的不同情况，我们把力系分为空间、平面、汇交力系等。2）力矩 力使物体绕某点（轴）转动的量度。力矩是矢量。a) 力对点的矩：设 o 点到力 F 的作用线的距离为r，则 F 对 o 点的力矩为：大小： M=rF 方向垂直于o 点和力 F 的作用线所确定的的平面。而其指向由右手规则(如图 )决定。b) 力对轴的矩：力对轴的距是物体绕轴转动效应的量度。设物体的转轴OZ 垂直纸面且与它相交于o 点，作用在物体上的力F垂直于转轴OZ 且在纸面内， 轴 OZ 到力F的作用线的距离为h，
6、则力F对 OZ 轴的矩：M=Fh 通常规定逆时针转向为正。如果力F不与轴OZ 垂直，则可将它分为两部分，其中与轴平行的分力不产生力矩，而与轴垂直的分力对于轴的力矩即为上面结果。C)力偶和力偶矩力偶：大小相等方向相反的一对平行力。力偶臂：力偶中两力作用线之间的距离。力偶矩 :力矩大小等于力偶中一力与力偶臂乘积而方向与力偶中二力成右手螺旋者称作该力偶的力偶矩。3） 力是矢量，其合成和分解遵守平形四边形法则。力的正交分解：kFjFiFFzyx或coscoscosFFFFFFzyx 、 、 为力F与 x、y、z 轴的夹角4）两物体间的作用力与反作用力总是等值反向共线，且作用在两个不同的物体上。5）力的
7、独立性原理：如果一质点上同时作用几个力，则这些力各自产生自己的效果而不互相影响，6）加减平衡力系原理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页名师整理优秀资源平衡力系：作用于质点或刚体而能使它保持平衡的力系。在作用于刚体上的已知力系，加上或取去任何平衡力系，并不改变利息对物体的作用。推论：力的可传递性原理：作用与刚体上的力，其作用点可沿作用线移至刚体内的任一点，而不改变力对刚体的作用。7） 力的平移作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一力偶，这力的方向和大小与原力相同，而力偶的力偶矩等于原力对质心轴的力矩。二 牛顿运
8、动定律1惯性系与牛顿运动定律1）惯性系：牛顿运动定律成立的参考系称为惯性参考系地球参考系可以很好地近似视为惯性参考系一切相对地面静止或匀速直线运动的参考系均可视为惯性参考系2）牛顿运动定律牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止牛顿第一定律也称为惯性定律牛顿第二定律：物体的加速度与其所受外力的合力成正比，与物体的质量成反比，其方向与合外力的方向相同即Fmau rr常作正交分解成：Fx=maxFy=mayFz=maz 对于曲线运动，还可以将合外力分解为切向分力F和法向分力Fn：maFnnmaF牛顿第三定律：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等
9、，方向相反，作用在同一直线上牛顿三定律只适用于宏观、低速的机械运动。例 1.在 2008 年北京残奥会开幕式上，运动员手拉绳索向上攀登，最终点燃了主火炬，体现了残疾运动员坚忍不拔的意志和自强不息的精神。为了探究上升过程中运动员与绳索和吊椅间的作用，可将过程简化。一根不可伸缩的轻绳跨过轻质的定滑轮，一端挂一吊椅，另一端被坐在吊椅上的运动员拉住，如图所示。设运动员的质量为65kg，吊椅的质量为15kg，不计定滑轮与绳子间的摩擦。重力加速度取210m/sg。当运动员与吊椅一起正以加速度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页名
10、师整理优秀资源21m/sa上升时，试求（1）运动员竖直向下拉绳的力；（2）运动员对吊椅的压力。答案： 440N，275N 解析 ：解法一 :(1）设运动员受到绳向上的拉力为F，由于跨过定滑轮的两段绳子拉力相等，吊椅受到绳的拉力也是F。对运动员和吊椅整体进行受力分析如图所示，则有：ammgmm-2F椅人椅人NF440由牛顿第三定律，运动员竖直向下拉绳的力NF440（2）设吊椅对运动员的支持力为FN，对运动员进行受力分析，则有：amgm-FFN人人275NFN由牛顿第三定律，运动员对吊椅的压力也为275N 解法二 :设运动员和吊椅的质量分别为M 和 m；运动员竖直向下的拉力为F，对吊椅的压力大小为
11、 FN。根据牛顿第三定律，绳对运动员的拉力大小为F，吊椅对运动员的支持力为FN。分别以运动员和吊椅为研究对象，根据牛顿第二定律MagM-FFNmamgFFN由得NF440NFN2752联结体所谓 “ 联结体 ” 就是一个系统内有若干个物体，它们的运动情况和受力情况都一种关系联系起来 若联结体内 （即系统内） 各物体只有相同的加速度时应先把这联结体当成一个整体（看成一个质点） 分析这类问题的一般方法是：F F (m人+m椅)g a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页名师整理优秀资源（ l）将系统中的每个物体隔离开来分
12、别进行受力分析；（ 2）对每个物体用牛顿第二、三定律列方程；（ 3）根据具体情况确定各物体的运动特征量般（如速度、加速度）之间的关系例 2如图所示， 装有滑轮的桌子，质量 m1=15kg。桌子可以无摩擦地沿水平面上滑动，桌子上放质量m2=10 kg 的重物 A，重物 A 与桌面间的摩擦因数=0.6 ，当绕过滑轮的绳受到 F=78.4 N 的水平拉力时，求： （1）桌的加速度； （2）当拉力沿竖直方向时，桌的加速度解析： 本题为联结体问题，但本题的关键是重物与桌面间是否发生相对运动，解题时要先通过计算作出判断，才能最后确定列式解题的依据。（ 1）当拉力为水平方向时，桌子在水平方向受到三个力作用：
13、上滑轮的绳子拉力F，水平向左；下滑轮绳子的拉力F，水平向右；重物对桌的摩擦力f，水平向右由牛顿第二定律，得11FfFm a式中1a为桌子加速度重物 A 水平方向受到的力有：绳的拉力F，摩擦力f。当max2ffm g时，重物开始沿桌面运动， 这时，对重物 A， 有max21Ffm a； 由桌子受力情况， 可求出max11fam，于是得maxmax21fFfmm进一步求出221(1)mFm gm。代人有关数字，得F98N 而实际作用绳上的力仅为78.4 N。因此， 重物并未沿桌面滑动，重物随桌子一起以同一加速度运动21278.43.14/1510Fam smm精选学习资料 - - - - - -
14、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页名师整理优秀资源(2)当拉力沿竖直向上方向时，只有在重物沿桌面滑动情况下，桌子才可能沿水平地面运动（当重物静止时，在水平方向它所受的上滑轮绳子拉力与静摩擦力大小相等、方向相反这样一来，也使桌子所受绳子拉力与静摩擦力恰好平衡）为此，作用于绳的拉力不得小于重物与桌面间的最大静摩擦力在所讨论的情况下满足这一条件桌子水平方向受两个力作用：上滑轮绳子拉力，方向向左；重物对桌面的摩擦力，方向向右因为maxFf，所以桌子将向左作加速运动2max2111.31/FfFm gam smm3非惯性系牛顿第一、二定律只适用于某一类参考系，这
15、类参考系叫惯性系比如地面就是一个相当好的惯性系， 太阳是一个非常好的惯性系，一般我们认为， 相对地面没有加速度的参考系，都可视为惯性系，相对地而有加速度的参考系，都可视为非惯性系在非惯性系中，为了使牛顿第一、二定律在形式上仍然成立，我们可以给每个物体加上一个惯性力F0 F0的大小为ma0（m 为研究的物体， a0为所选参考系相对地而的加速度）， F0的方向和a0的方向相反如果取一个转动的参考系，则要加上惯性离心力F0=m 2 R。惯性力是一个假想的力，完全是为了使牛顿第一、二定律在非惯性系中也能成立而人为地想象出来的，实际上并不存在惯性力不存在施力物体，也没有反作用力惯性力从其性质上来说，也是
16、一个保守力，所以在有些场合也会讨论惯性力的势能例 3如图所示，质点A 沿半圆弧槽B 由静止开始下滑，已知B 的质量为M，质点的质量为 m，槽的半径为R 且光滑，而槽与地面的接触面也是光滑的，试求质点A 下滑到任意位置 角时 B 对 A 的作用力解析：由于槽与地面的接触面是光滑的，质点A 沿半圆弧槽B下滑时槽 B 必然后退，如果要求的是状态量，可以考虑动量和能量的观点来解题，但如果要求的是瞬时量，则常规的解题方法会有很大的困难，利用了参考系的变换，在以B 为参考系时注意引入惯性力是解决这类问题的基本方法。设 M 的加速度向左，大小为a，有cosFMa对m以B为 参 考 系 ， 其 相 对B的 速
17、 度 为u ， 且 必 定 与 圆 弧 相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页名师整理优秀资源切2cossinuFmamgmR根据动量与能量守恒，并设M 的速度为，同时注意m 的速度u 应转换为对地速度( sin)Mm u(水平方向动量守恒）22211sin(2sin)22mgRMm uu由以上式可解得222sin(32cos)(cos)MmgMmmFMm例 4半径为r=9.81 cm 的空心球形器皿，内部有一个不大的物体，围绕穿过对称中心的竖直轴旋转在角速度1=5 rad/s 时，物体在平衡状态对器壁的压力为N1=
18、10-2N.在平衡状态，物体在什么角速度2下对器壁的压力N24 10-2N?物体和器壁内表面的摩擦可忽略不计重力加速度为g=981 m/s2解析：此处的平衡状态是对旋转参考系（非惯性系）而言的图37 上示出了钵和位于 A 点的物体 0 点表示球面的中心，所研讨的钵就是这个球的一部分转动轴是用过 0 点的竖直断续直线表示的，研究平衡状态，较为方便的是利用半径OA 和竖直方向的夹角显然，02。在旋转的非惯性系中，这个不大的物体处于平衡状态，作用在该物体上的重力（mg）和惯性离心力（2sinmr）的合力，必须和钵的表面垂直，或者说必须沿半径OA的方向作用假若我们用 表示钵与物体的共同角速度，则在平衡
19、状态，从图3 一 7可知22sinsintanrrrmrrmgg由上式得21sin()0cosrrrg式中r为平衡状态角的值从此式可知有两种情况：1）sin0r，即0r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页名师整理优秀资源这个解是始终存在的物体那时停止钵底上它对钵壁的压力N=mg2）2cosrgr，即2arccosrgr这个解只有在21gr，或者说grgr时才可能存在gr的数值可以算出，为10 rad/s.题中给出的1gr这意味着物体开始停在钵底因此它的重量（力）为N1，质量为1Nmg。现在来计算2在 2时，对器壁的压
20、力为N2很明显， 2必须大于gr，否则 N2就必须等于 N1了而根据题意，存在不等式N2N1假若物体在A 点（ sin A0 ）处于平衡状态，则222sinsinAAmN式中1Nmg，由此得2221120/grNNgradsNrN4质心运动问题质心是物体质量中心，由几个质点组成的质点系，若这几个质点所在的位置分别是(x1，y1，z1） 、(x2， y2， z2) 则系统的质心位置为iiiimxxmiiiim yymiiiimzzm质心运动定理：质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点所受一切外力的矢量和。例 5如图所示，车厢B 底面放一个物体A，已知它们的质量mA =20 kg ，mB =30
21、 kg，在水平力 F120 N 作用下， B 由静止开始运动，2s 内移动 5 m，不计地面摩擦，求A 在 B 内移动的距离解析：本题中由于不计地面摩擦，系统的合外力就为 F，而在合外力作用下，系统内A、B 都要产生加速度，故须应用质点系的牛顿第二定律求解。对整体（质点系）利用牛顿第二定律有F=mAaA+mBaB，即120=20aA+30aB 又212BSa t，5/2Bam s，9/4Aam s精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页名师整理优秀资源214.52AASa tm即54.50.5ABSmmm三 万有引力定律
22、1开普勒定律第一定律（轨道定律） ：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。第二定律（面积定律） ：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。“ 面积速度 ” ：1sin2Srt（为矢径 r 与速度的夹角）第三定律（周期定律） ：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。即：23Ta常量2万有引力定律万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比2MmFGr，11226.6710/GN mkg，称为引力常量重力加速度的基本
23、计算方法设 M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度在地球表面附近（hR）处：2MmGmgR，22GMgR=9.8m/s在地球上空距地心r=R+h 处：2rMgGr，222()rgRRgrRh在地球内部跟离地心r 处：3224433rrrMgGGGrrr，rgrgR，rrggR3行星运动的能量行星的动能当一颗质量为m 的行星以速度绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动：2122KMmEmGr，式中GMr。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页名师整理优秀资源行星的势能对质量分别为M 和 m 的两孤立星系，取无
24、穷远处为万有引力势能零点，当m 与 M 相距 r 时，其体系的引力势能：PMmEGr行星的机械能：2122KPMmMmEEEmGGrr4宇宙速度和引力场宇宙速度（相对地球）第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）引力场、引力半径与宇宙半径对于任何一个质量为M， 半径为 r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度如果第二宇宙速度超过光速，即2GMcr，则有关系22GMrc在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论
25、的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的 r 值被称为引力半径，记为22gGMrc用地球质量代入，得到rg 0.9 cm ，设想地球全部质量缩小到1 cm 以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息如果物质均匀分布于一个半径为r 的球体内，密度为 ，则总质量为343Mr又假设半径r 正好是引力半径，那么32423ggGrrc，得1223()8gcrG此式表示所设环境中光不可能发射到超出rg的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为 10-29g/cm3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm 以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径例 6一物体 A 由离地
26、面很远处向地球下落，落至地面上时， 其速度恰好等于第一宇宙速度已知地球半径R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页名师整理优秀资源解析： 物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值，即：Rg上式中 R 为地球半径，g 为地球表面处的重力加速度。设A最 初 离 地 心 的 距 离 为r ， 则 由 其 下 落 过 程 中 机 械 能 守 恒 ， 应 有 ：212MmMmmGGRr且 GM=gR2 联立上三式可解得：r=2R 物体在中心天体引力作用下
27、做直线运动时，其速度、加速度是变化的，可以将它看绕中心天体的椭圆轨道运动，将其短轴取无限小。物体 A 下落可以看成是沿着很狭长的椭圆轨道运行，其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的两端，如图所示，则由开普勒第一定律，得知地心为椭圆的一个焦点则椭圆长半轴为a=R 又由开普勒第三定律，物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心（轨道不计为R）的圆轨道运行的周期相等其周期为：22RRTg再由开普勒第二定律得：0StST1142Sabab，0Sab011422(1)2ababSRRtTSabgg333.146400 10(1)2.06 1029.8s例 7经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，
28、通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成， 其中每个星体的线度都远小于两星之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该星系统中每个星体的质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页名师整理优秀资源量 M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点作圆周运动（1）试计算该双星系统的运动周期T计算；（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，,且 T观测T计算=1N（Nl） ，为了解释T观测与 T计算的不同， 目前有一种
29、流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度解析 ： （1）双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度为，向心加速度满淀下面的方程222/2GMMLL2GML周期2/22LLTLGM计算（）(2）根据观测结果，星体的运动周期1TTTN观测计算计算这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力，按题意， 这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗
30、物质的总质量M 、位于中点处的质点相同，考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度观，现有2222/ 2(/ 2)GMMMMGLLL观(4)2G MML观因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由式得111N观把式代入式得14NMM设所求暗物质的密度为 ，则有341()324LNM故33(1)2NML精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页名师整理优秀资源自我检测：（共计 100 分。 90 分钟完成）1 （ 20 分）如图中，是一带有竖直立柱的木块，总质量为 M，位于水平地面上，B 是一质量为m 的小球，通过一不可伸长的
31、轻绳挂于立柱的顶端，现拉动小球使绳伸直并处于水平位置，然后让小球从静止状态下摆，如在小球与立柱发生碰撞前，木块A 始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A 不会发生转动）2 （ 20 分）在 20 cm 长的细棒正中间固定着一个质点棒贴着光滑的墙站着，棒的下端可以沿地面滑动， 没有摩擦棒处于不稳定的平衡状态，将棒稍微歪一点，让它的下端从墙滑开，棒在整个时间内都处于一个平面内棒的中心接触地面时，就马上站住不动求棒的中心离墙的最后距离 （棒的质量可以忽略不计）3 （ 20 分）地球m 绕太阳 M（固定）作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，如图所示，试求地球在椭圆各顶点
32、1、2、3 的运动速度的大小及其曲率半径4 （ 20 分）要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r2的预定轨道上绕地球作匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r1的近地暂行轨道上绕地球作匀速圆周运动。如图65 所示，在A 点，实际使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B 时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求卫星从A 点到达B 点所需的时间，设万有引力恒量为 G，地球质量为M5 （ 20 分）宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的倍，因量很小，所以飞船新
33、轨道不会与火星表面交会如图6 一 6，飞船喷气质量可忽略不计（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度h近和远火星点高度h远。（2）设飞船原来的运动速度0，试计算新轨道的运行周期 T。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页名师整理优秀资源答案解析1解析：设当小球摆至与水平方向的夹角为 时小球的速度为，则21sin2mglm此时小球受到绳的拉力为T，由于小球做圆周运动，有2sinmTmgll对于木块，设地面对木块的支持力为N，摩擦力为f，故有sin0TMgNcos0Tf设地面的静摩擦因数为 ，则有：fN联立以上各式解得：22
34、3sincos2sincos3sin2sinmmMa式中已令23Mam，又令22sincos( )2sinFa于是( )F，即关于 的函数，现要求不论取何值，不块均不发生移动，这就要求静摩擦因数的最小值min等于 F（ ）的最大值max( )F，而max( )F可通过下述方法求得：222222sincos2sincos2( )(cossin)2sincos(2)sin(2)tantanFaaaaa22(2) tan2(2)tanaaa a当(2) tantanaa时，即tan2aa时， F（ ）有最大值，其值为max213( )(2)23mFa aMmM因此min2323mMmM2解析：首先我
35、们证明只要棒的端点整个时间都是沿着互相垂直的轨迹运动，则它的中心就会沿着一个圆周运动，这个圆的半径等于棒长的一半（r=10 cm） ，圆心位于竖直墙和水平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页名师整理优秀资源地板交界的地方棒心沿着凸面作向上的圆弧运动在右图上表示了棒和作用在它上面的力。1Fu r表示作用在棒上的地板的约束反力，而2Fu r是墙的约束反力力12RFFu ru ru r。因为棒的质量可以忽略不计，它对中心的转动惯量也就等于零由此知，对棒中心的总力矩也为零。否则， 棒就必须以无限大的角加速度围绕点 S 运动
36、由于其端点沿地板和墙壁滑动的棒的转动，随之而来的是它的沿圆弧移动，棒的无限大的角加速度就必然引起在棒中心的质点的无限大的线加速度，但这是不可能的， 因为这个点有一定的质量（设其质量为m)那么，对棒的中心（质点）列出力矩方程，得12sincos0F rF r，由此得：12tanFF这意味着，12RFFu ru ru r的方向是沿着圆半径的因为墙壁和地板是推棒，故Ru r总是指向圆的外面，且Ru r的作用点沿圆周运动现在找0Ru r的点的位置该点是这样的一个点，过它之后，棒心的运动就变成自由运动，也就是棒的端点不再对墙壁和地板有压力，约束反力也就消失了假定棒心（质点）离地板的高度为h 时，0Ru
37、r，与一个小球从光滑半球顶上滑下脱离类似，可以列出下面两个方程（R=N=0) 201()2mg rhm20cosmgmgmhrr从上面二式可以得知，当棒心离地板的高度32hr时，棒就离开墙壁。 以后棒心进行的运动，就和向下斜抛一样 在棒心 “ 离开 ” 圆周的瞬间，它的速度为03cos2grgr这个速度是和圆周相切的它的水平和竖直分量分别为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页名师整理优秀资源323cos232grgrP，353sin232grgr棒末端离开墙壁瞬间的距离5sin3drr。在0Ru r瞬间的情况，也就
38、是棒心开始向下斜抛一样运动的瞬间的情况，表示在下图上令D 代表所求的、在落地时棒心距离， t 代表斜抛的持续时间，则有212htgt（在竖直方向） ，DdtP（在水平方向）把前面有关h、d、P和的表达式代入上述二式，就能得到 D 和 t 含 r和 g 参量的两个方程需注意的是所得方程组有两个解对于其中一个Dd 的解，因不合题意，必须舍去（因棒心不可能向墙靠近）对剩下的第二个解，Dd，它是4235 512.527Drcm。即棒心将在离墙12.5 cm 触地3解析：对顶点1、2，由机械能守恒定律有22121122MmMmmGmGACAC根据开普勒第二定律有12V ACVAC（）（）式中22CAB由
39、式解得221ACGMAABGMVBABA=222ACGMAABGMVBABA=由万有引力提供向心力得2121mMmGAC（）2222mMmGAC（）解得212BA对顶点 3，由机械能守恒得22311122MmMmmGmGBAC将1代入得3GMA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页名师整理优秀资源同样可得23AB4解析：以V 表示卫星的速度，当卫星在暂行轨道上经过近地点A 和远地点 B 时V 与 r垂直，根据并普勒第二定律，有12BArVVr卫星在暂行轨道上总机械能守恒ABEE2112AAMmEmVGr，2212BB
40、MmEmVGr，2212111122ABmVmVGMmrr（）解得221122AGMrVr rr（），212122BGMrVrrr（）卫星的面积速度为112ABASSSrV椭圆的面积为ab，其中122rra，1 2br r因此周期为3122rrabTSGM（）从 A 到 B 点所需时间t 为1212222rrrrTtGM（）5解析：设火星和飞船的质量分别为M 和 m，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点与火星中心的距离为r，飞船速度为因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为0012r。 等于喷气后飞船绕椭圆轨道在P 点的面积速度01sin2Pr（P 点为圆和椭圆的交点） ，由开普勒第二定律，后者
41、又应等于飞船在近、远火星点的面积速度12r，故000111sin222Prrr，即00rr由机械能守恒定律有222200011()22MmMmmGmGrr飞船沿原圆轨道运动时，有20200MmGmrr式中0rRH，r=Rh 上述三个方程消去G、M、0后可解得关于r 的方程为22200(1)20rr rr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页名师整理优秀资源上式有两个解，大者为r远，小者为r近011rRHr近，011rRHr远故近、远火星点距火星表面的高度为1HRhrR远远，1HRhrR近近(2)设椭圆轨道的半长轴为a2rra远近，即021ra飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为0002 rT，设飞船喷气后， 绕椭圆轨道运行的周期为 T，由开普勒第三定律有3200TaTr（）故330220200211raTTr（）（），即3220211RHT（）（）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页