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1、数学建模数学建模（Mathematical Modeling)黑龙江科技学院理学院黑龙江科技学院理学院工程数学教研室工程数学教研室第三章第三章 微分方程模型微分方程模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院微分方程数值解微分方程数值解微分方程模型微分方程模型第三章水池中含盐量模型、学习模型水池中含盐量模型、学习模型人口模型、战争模型人口模型、战争模型重点重点:各种简单的微分方程模型各种简单的微分方程模型难点难点:微分方程建立数学模型的思想方法微分方程建立数学模型的思想方法加热与冷却模型、目标跟踪模型加热与冷却模型、目标跟踪模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学
2、院建模举例建模举例 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题， 本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。用的数学工具之一。 动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(
3、空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例例1 物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比，物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比，如果物体在如果物体在20min内由内
4、由100 冷却到冷却到60，那么经过多长时，那么经过多长时间此物体的温度将达到间此物体的温度将达到30？解解：由题意知：由题意知： 6031,100020TTtkdtdT， 微分方程的解为：微分方程的解为：20ktCeT得得T=80(1/2)3t+20,即经过即经过1h温度可降到温度可降到30 。 牛顿冷却定律：将温度为牛顿冷却定律：将温度为T T的的物体放入处于常温物体放入处于常温T T0 0的介质中时，的介质中时，T T的变化速率正比于的变化速率正比于T T与周围介质与周围介质的温度差的温度差。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模3.1 加热与冷却模型加热与冷却模型 理学院理学院 黑龙
5、江科技学院 数数 学学 建建 模模例例2 尸体冷却问题尸体冷却问题 受害者的尸体于晚上受害者的尸体于晚上7:307:30被发现，法医于晚上被发现，法医于晚上8:208:20赶到凶案现场，测得尸体温度为赶到凶案现场，测得尸体温度为32.632.6；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为度为31.431.4，室温在几个小时内始终保持，室温在几个小时内始终保持21.121.1。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室下午张某一直在办公室上班，上班，5:005:00时打完电
6、话后就离开了办公室时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步行需从张某到受害者家（凶案现场）步行需5 5分钟，分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外被采信，使他排除在嫌疑犯之外。 理学院理学院 首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午在下午5 5点点5 5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。则不能将张某排除。 设设T(t)T(t)表示表示t t时刻尸体的温度，并记晚上时刻尸体的温度，并记晚上8:208:20为为t=0t=0
7、，则，则T(0)=32.6T(0)=32.6，T(1)=31.4T(1)=31.4。 假设受害者死亡时体温是正常的，即假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37T=37是要确定受害者死亡的时间，也就是求是要确定受害者死亡的时间，也就是求T(t)=37T(t)=37的时刻，进而确定张某是否是嫌疑的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。犯。问题分析与符号说明问题分析与符号说明 人体体温受大脑神经中人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。外界环境温度的影响。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院
8、假设尸体温度的变化率服从假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即即)1 .21( TkdtdTk k是常数是常数分离变量分离变量kdtTdT1 .21两边同时积分两边同时积分kdtTdT1 .21ktaetT 1 .21)( 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院T(0)=21.1+a=32.6a=11.5T(1)=21.1+ae-k=31.4e-k115/103k=0.11T(t)=21.1+11.5e-0.11t 当当T=37时，有时，有t=-2.95 小时小时-2小时小时57
9、分分 8小时小时20分分2小时小时57分分5小时小时23分分即死亡时间大约在下午即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。排除在嫌疑犯之外。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院3.2 目标跟踪模型目标跟踪模型0,0100100 xxyy 1002120 xdxxfhxyhxf 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度巢穴跑，而狼在
10、追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴倍。兔子能否安全回到巢穴?解：解：设狼的行走轨迹为设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：则有：hB60A(100,0)Oy=f(x)c(x,y)假设在某一时刻，兔子跑到假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在处，而狼在(x,y)处，则有：处，则有： 整理得到下述模型：整理得到下述模型： 解得狼的行走轨迹为：解得狼的行走轨迹为： 3 320020010 x10 xx x30301 1x xf f2 21 12 23 3 0 0100100ff0,0,100100f fx xff1 1x x 2xf2xf2 2因因f
11、(0)=200/360，所以狼追不上兔子。，所以狼追不上兔子。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 设河边点O处有条小鱼， O的正对岸点为A，河宽OAh，鸭子从A出发游向点O，设鸭子在静水中的速度为 a，水流速度为b（ab），且鸭子游动方向始终朝着点O。 求鸭子游过的轨迹方程。aOA（h,o）xy顺水方向P(x, y)bv 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院首先建立如图所示的坐标系，设鸭子游动的轨迹为y(t)且时刻t时鸭子所在的位置为P(x,y)。由于鸭子在任意时刻游动的的实际方向是曲线的切线方向，而切线的斜率为 ，因此应建立一个微分方程。由可得这是一个齐次
12、方程，解得 dxdy,2222yxaybyxaxvvvyx0)(22hyaxyxbxydxdy)()(211ababhxhxhy 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院某些类型的导弹对目标追击的数学模型于此模型类似。某些类型的导弹对目标追击的数学模型于此模型类似。 例例1 设有一水池，内盛盐水设有一水池，内盛盐水100L，现在以浓度为，现在以浓度为2g/L的盐水流入池中，其流速为的盐水流入池中，其流速为3L/min，假设流入池内的新盐水，假设流入池内的新盐水和原有盐水因搅拌而能在顷刻间成为均匀的溶液，此溶液又和原有盐水因搅拌而能在顷刻间成为均匀的溶液，此溶液又以以2L/min的流
13、速流出，求的流速流出，求30min是池内所存盐水的含盐量。是池内所存盐水的含盐量。3.3 水池中含盐量模型水池中含盐量模型解：解：设在设在t秒时池内的存盐量为秒时池内的存盐量为y=y(t)g,因为每分钟流入因为每分钟流入3L溶溶液，且每升溶液含盐液，且每升溶液含盐2g,在任一时刻流入盐的速率为在任一时刻流入盐的速率为:同时，又以同时，又以2L/min的速率流出溶液，故的速率流出溶液，故t min后溶液总量后溶液总量为为:100+(3-2)t L,每升溶液的含盐量为每升溶液的含盐量为(y/100+t) g,因此排因此排除盐的速率为：除盐的速率为：V1(t)=32=6 (g/min)V2(t)=2
14、(y/100+t)=2y/100+t (g/min) 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院从而池内盐的变化率为：从而池内盐的变化率为： g/ming/mint t1001002y2y6 6t tV Vt tV Vdtdtdydy2 21 161002ytdtdy500ty即即且有初始条件为且有初始条件为解一阶线性微分方程得到特解为：解一阶线性微分方程得到特解为：2 2t t1 10 00 01 15 50 00 00 00 00 0t t1 10 00 02 2y y当当t=30时，池内含盐量为时，池内含盐量为171(g)171(g)1301301500000150000026
15、0260y y2 23030t t 类似可以得到湖类似可以得到湖水污染模型。水污染模型。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 例例2 2 设有一个设有一个30m30m30m30m12m12m的车间，其中空气中含有的车间，其中空气中含有0.12%0.12%的的COCO2 2, ,如需要在如需要在10min10min后后,CO,CO2 2的含量不超过的含量不超过0.06%0.06%（设新（设新鲜空气中鲜空气中COCO2 2的含量为的含量为0.04%0.04%），问每分钟应通入多少立方米），问每分钟应通入多少立方米的新鲜空气？的新鲜空气？ 通风问题通风问题解：解：设设y为时间为时间
16、t时，时，CO2的浓度；的浓度； a为通入的空气量为通入的空气量(m3/min); v为车间的体积为车间的体积(m3); y0为为CO2的初浓度；的初浓度； g为新鲜空气为新鲜空气CO2的浓度的浓度 。 解决这个问题根据下列两个解决这个问题根据下列两个物质平衡式物质平衡式： 增量增量=加入量加入量-排出量排出量流进流进（或排出）（或排出）量量=流进（流进（或排出）或排出）速度速度浓度浓度时间时间 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院下面考虑时间间隔下面考虑时间间隔(t,t+dt)内内CO2进入量进入量与与排出量排出量。CO2的的进入量进入量=agdtCO2的的排出量排出量=ay
17、dt在在dt 时间内时间内,CO2的增量为的增量为 agdt-aydt=a(g-y)dt在在t时刻时刻,CO2的总量为的总量为vy在在t+dt时刻时刻,CO2的总量为的总量为v(y+dy)在在dt 时间内时间内,CO2的增量为的增量为 v(y+dy)-vy=vdyvdy=a(g-y)dtdtvagydy为一阶变量可分离为一阶变量可分离方程，初始条件为方程，初始条件为y t=0=y0求解得：求解得：gegyytva0车间空气中车间空气中CO2浓度浓度y与时间与时间t的数学模型的数学模型代入数据得代入数据得a=1500(m3/min),即每分钟应通入即每分钟应通入1500m3的新鲜的新鲜空气，就能
18、在空气，就能在10min后使车间内的后使车间内的CO2含量不超过含量不超过0.06%. 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。 设设y%y%表示已经掌握了这项工作的百分数，表示已经掌握了这项工作的百分数， 表示学表示学 员学习的速度，则随员学习的速度，则随y y的增长而下降。的增长而下降。d dt td dy yy y1 10 00 0d dt td dy y 假设一个学员的学
19、习速度假设一个学员的学习速度=尚未学会的工作占总工作的百分数，尚未学会的工作占总工作的百分数，于是于是积分得积分得 t t100e100e100100y y3.4 学习模型学习模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 例例1 在电冰箱、电视机、汽车制造等行业中，装配工人的在电冰箱、电视机、汽车制造等行业中，装配工人的工作是一种重复性的熟练劳动，在这些行业中，新工人的工作是一种重复性的熟练劳动，在这些行业中，新工人的学习过程如下：刚开始时，由于技术不熟练，生产单位产学习过程如下：刚开始时，由于技术不熟练，生产单位产品需要较多的劳动时间；随着不断地工作，新工人的熟练品需要较多的劳
20、动时间；随着不断地工作，新工人的熟练程度逐渐提高，生产单位产品需要的劳动时间越来越短；程度逐渐提高，生产单位产品需要的劳动时间越来越短；当工人达到完全熟练程度后，生产单位产品需要的劳动时当工人达到完全熟练程度后，生产单位产品需要的劳动时间就会稳定在一个定值，间就会稳定在一个定值，试建立新工人学习的数学模型试建立新工人学习的数学模型解：解：设设x为新工人累计完成的生产量，为新工人累计完成的生产量，y表示他生产第表示他生产第x个单位个单位产品时所需要的劳动时间，根据产品时所需要的劳动时间，根据统计分析统计分析，y 一般可表示为一般可表示为如下形式：如下形式：0 0k k1 10,0,A A0,0,
21、c cA Ax xcAcAA Ax xcxcxy yk kk k学习曲线学习曲线 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 例例2 某纺织厂招收一批新工人学习某纺织厂招收一批新工人学习1511型织布机的操作。型织布机的操作。观察工人的学习过程发现，当累计织完观察工人的学习过程发现，当累计织完25匹布后，工人织匹布后，工人织每匹布需要用每匹布需要用16小时，累计织完小时，累计织完64匹布后，工人织每匹布匹布后，工人织每匹布需要用需要用10小时。已知熟练工人织每匹布用时小时。已知熟练工人织每匹布用时8小时。小时。1、试确定出新工人的学习曲线模型、试确定出新工人的学习曲线模型2、计算新工
22、人需要多少时间才能达到熟练工人的程度。、计算新工人需要多少时间才能达到熟练工人的程度。解：解：（1）建立数学模型建立数学模型 设工人累计织布匹数为设工人累计织布匹数为x，则工人的学习曲线为：，则工人的学习曲线为：A Ax xcAcAA Ax xcxcxy yk kk k 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院代入数据：代入数据：16162525c c2525y yk k10106464c c6464y yk k5 58 864642525k k2 21 15 58 82lg2lg5 58 8lglg64642525lglg5 58 8lglgk k808064641010c c2
23、 21 1100100 x x8 8100100 x x80 x80 xy y2 21 1得得将将c=80，k=1/2,代入学习曲线得代入学习曲线得A=100，所以学习曲线为：，所以学习曲线为：(2)(2)达到熟练程度所需的时间为达到熟练程度所需的时间为时1001000 01001008080T =dx = 160 x= 1600T =dx = 160 x= 16000 0 x x(小) 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立控制生
24、态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。 种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量, ,由此引由此引起的误差将是十分微小的。起的误差将是十分微小的。 3.5 人口模型与战争模型人口模型与战争模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院模型模型1 1 马尔萨斯（马尔萨斯（MalthusMalthus）模型）模型 马尔萨斯在分析人
25、口出生与死亡情况的资料后发现，马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率人口净增长率r r基本上是一常数，（基本上是一常数，（r r= =b b- -d d, ,b b为出生率，为出生率，d d为死亡率），为死亡率）， 既：既： 1 dNrN dtdNrNdt或或 （3.5） 0()0( )r t tN tN e（3.6） （3.5）的解为：的解为：其中其中N0=N(t0)为初始时刻为初始时刻t0时的种群数。时的种群数。 马尔萨斯模型的一个显著特点马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需种群数量翻一番所需的时间是固定的的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为令种群数量
26、翻一番所需的时间为T，则有：，则有： 002rTNN eln2Tr故故 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院模型检验模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人年世界人口数为口数为30.6 （即（即3.06109），人口增长率约为），人口增长率约为2%，人口数，人口数大约每大约每35年增加一倍。检查年增加一倍。检查1700年至年至1961的的260年人口实际年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数数量
27、，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。年增加一倍，两者也几乎相同。 19502000205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年N/人马 尔 萨 斯 模 型 人 口 预 测模型预测模型预测 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达年，人口达21014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围，而到而
28、到2670年，人口达年，人口达361015个，只好一个人站在另一人的个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。肩上排成二层了。 故故马尔萨斯模型是不完善的。马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长几何级数的增长MalthusMalthus模型实际上只有在群体总数模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现等原因，就可能发生生存竞争等现象。象。所以所以MalthusMalthus模型假设的人口净模型假设的人口净
29、增长率不可能始终保持常数，增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。它应当与人口数量有关。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有：从而有：()dNr N Ndt（3.7）r( (N N) )是未知函数，但根是未知函数，但根据实际背景，它无法用据实际背景，它无法用拟合方法来求拟合方法来求 。为了得出一个有实际意义为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们下工程师原则。工程师们在
30、建立实际问题的数学模在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简型时，总是采用尽可能简单的方法。单的方法。 r(N)最简单的形式是常数，此最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）进就是引进一次项（竞争项） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程：此时得到微分方程： ()dNraN Ndt(1)dNNrNdtK或或（3.8） （3.8）被称为被称为LogisticLogistic模型或生物总数增长的统计筹算律，
31、是由荷兰数学模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（生物学家弗赫斯特（VerhulstVerhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。（3.83.8）可改写成：可改写成： ()dNk KN Ndt（3.9） (3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境增长的种群个
32、体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为的种群数量的上界为K（近似地将（近似地将K看成常数），看成常数），N表示当前的种群数量，表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。也被称为统计筹算
33、律的原因。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院图图3-5对对（3.93.9）分离变量：分离变量：11dNkKdtNKN两边积分并整理得：两边积分并整理得： 1kKtKNCe令令N(0)=N0，求得：，求得： 00KNCN故故（3.93.9）的满足初始条件的满足初始条件N(0)=N0的解为：的解为： 000( )()kKtN KN tNKN e（3.10）易见：易见： N(0)=N0 ，lim( )tN tKN(t)的图形请看图的图形请看图3-5 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院模型检验模型检验 用用LogisticLogistic模型来描述种群增长的规律效
34、果如何呢？模型来描述种群增长的规律效果如何呢？19451945年克朗皮克（年克朗皮克（CrombicCrombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（学生物学家高斯（E EF FGaussGauss）也做了一个原生物草履虫实验，）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和实验结果都和LogisticLogistic曲线十分吻合。曲线十分吻合。 大量实验资料表明用大量实验资料表明用LogisticLogistic模型来描述种群的增长，效模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯果还是相当不错的。例如，高斯把把5只草履虫放进一个盛有只草履虫放
35、进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的的LogisticLogistic曲线：曲线： 几乎完全吻合，几乎完全吻合，见图见图3-6。 2.309375( )174tN te图图3-6 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的总结模型的总结 M
36、althusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均为对微分方程（均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常为一常数，（数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。求得的解进行检验，看其是否与实际情况
37、相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。因，对模型进行修改。 Malthus Malthus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究种群数量模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院战争分类：正规战争，游击战争，混合战争战争分类：正规战争，
38、游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型提出预测战役结局的模型战争模型战争模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型一般模型 每
39、方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为甲乙双方的增援率为u(t), v(t)f, g 取决于战争类型取决于战争类型x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t) 乙方兵力乙方兵力模型模型假设假设模型模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院)()(tvybxytuxayx正规战争模型正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战xxprbbxg, 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假
40、设没有增援假设没有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x, y)= ay, a 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率a=ry py, ry 射击率，射击率， py 命中率命中率 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正规战争模型正规战争模型为判断战争的结局，不求为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论而在相平面上讨论 x 与与 y 的关系的关系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk时平方律平方律 模型模型甲方胜 0k平局0kyyxxprprabxy20
41、0乙方胜乙方胜 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院游击战争模型游击战争模型双方都用游击部队作战双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxxdxyycxyxf(x, y)= cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率c = ry pyry射击率射击率py 命中率命中率py=sry /sxsx 甲方活动面积甲方活动面积sry 乙方射击有效面积乙方射击有效面积 黑龙江科技学院 数数 学学
42、 建建 模模 理学院理学院)(tycm0dm)(tx0m0m0m游击战争模型游击战争模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方胜时000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00线性律线性律 模型模型甲方胜 0m平局 0mcddxdy 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院)(ty)(tx0乙方胜, 0n平局, 0n甲方胜, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合战争模型混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队甲方为游击部队，乙方为正规部队020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方胜0n100)/(200 xy0200
43、2xsrsprxyryyxxx乙方必须乙方必须10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力设设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2) 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院设待求解的微分方程问题为：设待求解的微分方程问题为： （1）其中其中f适当光滑，对适当光滑，对y满足满足Lipschitz（利普希茨）条（利普希茨）条件，即存在件，即存在L使使 ，则方程的，则方程的解存在且唯一。解存在且唯一。00)(),(yxyyxfdxdy2121),(),(yyLyxfyxf常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法是近似计算中很
44、重是近似计算中很重要的部分。重点讨论一阶常微分方程数值解。要的部分。重点讨论一阶常微分方程数值解。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院3.6 微分方程数值解微分方程数值解), 2 , 1(0nnhxxn一般情况下，求解微分方程的解析解非常困难甚至有一般情况下，求解微分方程的解析解非常困难甚至有时根本无法求出。对于微分方程而言，更重要的是求时根本无法求出。对于微分方程而言，更重要的是求数值解数值解，也就是在一系列离散点，也就是在一系列离散点 上求解析上求解析解解y=y(x)在点在点 处的值处的值 的近似值的近似值 。通常情况下，。通常情况下，为计算方便取等步长为计算方便取等步长
45、h，即，即nnnhxx1nx)(nxyny 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院)(,()()(1nnnnxyxhfxyxy欧拉方法欧拉方法（折线法）（折线法）它的基本思想是在小区间它的基本思想是在小区间 上用差商上用差商 代替导数代替导数 ，而方程右端函数，而方程右端函数 中的中的x x在小区间在小区间 的端点上取值，得到方程的近似表达式，称的端点上取值，得到方程的近似表达式，称为为欧拉公式欧拉公式。,1nnxxhxyxynn)()(1y),(yxf,1nnxx向前欧拉公式向前欧拉公式),(1nnnnyxhfyy 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院)(,()
46、()(111nnnnxyxhfxyxy向后欧拉公式向后欧拉公式),(111nnnnyxhfyy),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy),(),(2),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy),(),()(21121211hkyxfkyxfkkkhyynnnnnn梯形公式梯形公式方法：把迭代过程分为两步方法：把迭代过程分为两步: (1): (1)由向前欧拉公式算由向前欧拉公式算出出 的预测值的预测值 ；再把它代入梯形公式右端，作为；再把它代入梯形公式右端，作为校正，即校正，即1ny1ny梯形公式的预报校正格式梯形公式的预报校正格式或者或者 黑龙江科技学院 数数
47、学学 建建 模模 理学院理学院Rungekutta（龙格（龙格库塔）法库塔）法1,0, ),(),()(12122111hkyhxfkyxfkkkhyynnnnnn二阶二阶Rungekutta公式公式基本思想基本思想:在在 内多预报几个点的斜率值，然内多预报几个点的斜率值，然后把他们取加权平均作为平均斜率，则可构造出具后把他们取加权平均作为平均斜率，则可构造出具有高精度的计算格式。有高精度的计算格式。1 1n nn nx x, ,x x1,21,1221其中其中 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院其中待定系数其中待定系数i i，i i，i i共共1313个，由于计算过个，由于
48、计算过于复杂所以我们直接给于复杂所以我们直接给出一组出一组i i，i i，i i的的值得到值得到),(),(),(),()(3625143423122311121443322111hkhkhkyhxfkhkhkyhxfkhkyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnn),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnn四阶经典四阶经典Rungekutta公式公式 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 3.7 建模举例建模举例（减肥模型）（减肥模型）试建立一个减肥的数学模型，
49、探讨如下几个问题：试建立一个减肥的数学模型，探讨如下几个问题： 1、建立体重随时间的变化规律，进而提出减肥的一些措施；建立体重随时间的变化规律，进而提出减肥的一些措施；2、给出衡量减肥效果的指标；给出衡量减肥效果的指标；3、计算出减肥的临界状态计算出减肥的临界状态（即体重不能再减小的状态，若低于（即体重不能再减小的状态，若低于该指标，就影响身体健康，甚至危及生命）。该指标，就影响身体健康，甚至危及生命）。想一想影响体重变化的因素有哪些？想一想影响体重变化的因素有哪些？因此我们因此我们假设假设 (1) 忽略个体差异对减肥效果的影响；忽略个体差异对减肥效果的影响；(2)用人体脂肪的重量作为体重的标
50、准；用人体脂肪的重量作为体重的标准； (3)假定人体脂肪的能量转化率为假定人体脂肪的能量转化率为100%，脂肪的能量转化系数脂肪的能量转化系数 D=4.2107J/kg 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 建立模型建立模型 以一天（以一天（24小时）为时间的计量单位，根据假设，以下所小时）为时间的计量单位，根据假设，以下所说的脂肪和体重是一样的。说的脂肪和体重是一样的。 设设t时刻人的体重（脂肪）为时刻人的体重（脂肪）为w=w(t),w(0)=w0。 设每天活动设每天活动h小时，用小时，用r表示每千克体重每小时所消耗的能量，表示每千克体重每小时所消耗的能量，则人每天活动所消耗