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1、数学建模作业（三）第三章习题2013/04/09 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 速度为 v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气的密度是，用量纲分析法确定风车获得的功率p 与 v，s，的关系。对于风车获得的功率p 与 v，s，的关系我们假设：1. 忽略其它因素对功率的影响2. 将其视为理想化模型在这些假设下，风车获得的功率与以下物理量有关：风车获得的功率p，风速 v，迎风面积s，空气密度 。它们的量纲分别是23
2、pML T,1 vLT,23,.LLsM设1234=p vs，有12341412341223123+2+2-3-3-() () () ()MLTLTLMLMLT由1得到以下线性方程组141234120223030不难验证，这个方程组的秩为3. 因此方程组的解空间是4 维。由1= 1可得方程组的基本解：1(1,3,1,1),e于是，与这四个参数有关的量纲乘积为3111=,pv s四个物理量之间的关系为10.f即3110.fpv s根据隐函数运算法则，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
3、 - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3ps v，其中为无单位的常比例系数。俗话说“大饺子能装馅”，试自建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这一说法是否正确。“大饺子能装馅”考虑到实际是相同面积的饺子皮可以用掉更多体积的饺子馅。为了简化模型，我们做出以下假设1.饺子都是标准球形2.3.饺子大小全部一致4.5.饺子皮的厚度相同6.饺子皮的厚度忽略不计涉及到的物理量：饺子皮总面积S ，一个饺子皮的面积s，饺子数 n，饺子半径r，所包馅的总体积V，一个饺子包含馅的体积v 这些物理量有以下关系：23s=443/rvrnSsVnv可得3 4S sV因此，大饺子能装馅
4、，这一说法正确。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 考察一个模拟水下爆炸的实验，爆炸物的质量m 在距爆炸点的距离为r 处接受冲击波，产生压强为p。记大气初始压强为p0，水的密度为 ，水的体积弹性模量为k。由量纲分析法已经得到300(/,/)pppkrm。设模拟现场与现场的p。 ，k 相同，而爆炸物模型的质量为原型的1/10000. 为使实验中接受到与现场相同的压强，试计算接受冲击波仪器的相对位置（是现场仪器与爆炸点之
5、间距离的多少倍）。设模拟实验时现场仪器与爆炸点之间距离为r1，爆炸物质量为m1. 现场爆炸时现场仪器与爆炸点之间距离为r2，爆炸物质量为m2. 根据题目假设有模拟现场与现场的p。 ， k 相同，而爆炸物模型的质量为原型的1/10000 。根据量纲分析法得到的公式有300(/,/)pppkrm。为使实验中接受到与现场相同的压强，需要使得331122/rmrm，因此有132211110 10 .mrrrm即13221110 10.rmrm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -