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1、rmg R第 十 一 章反 常 积 分1 反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有界性 .但在很多实际问题中往往需要突破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的 “积分”, 这便是本章的主题.例 1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大? 设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为g .按万有引力定律 ,在距地心x( R) 处火箭所受的引力为mg R2F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为
2、r ( R) 处需作的功为2 d x = mg R2 1- 1 .R x2 R r 当 r + 时 , 其 极限mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的功 .我们很自然地会把这极限写作上限为+ 的 “ 积分”: 图11 - 1 + mg R2d x = lim r mgR2R x2 r + Rd x = mg R . x2 最后, 由机械能守恒定律可求得初速度v0 至少应使 1 2 2 mv0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6 s/2 ) , R = 6 .371106 ( m) 代入 , 便得v0 = 2 g R 11 .2( km6 s /). 例 2 圆 柱
3、形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为R , 桶底有 一半径为r 的小孔 ( 图11 - 2) . 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水, 共需多少时间? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2 R u R 2 1 反常积分概念265 从物理学知道, 在不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速( 单位 时间内 流过单位截面积的流量) 为v = 2 g(
4、 h - x) , 其中 g 为重力加速度. 设在很小一段时间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为d x , 它们之间应满足R2 d x = vr2 d t ,图11 - 2 由此则有d t =R d x , x 0 , h . r22 g( h - x ) 所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:h tf =0 R2d x . r2 2 g( h - x) 但是在这里因为被积函数是0 , h) 上的无界函数, 所以它的确切含义应该是u2 tf = lim2 d x u h - 0 r 2 g( h - x) = lim - 2 2g r2 h - h - u u h
5、= 2 h R . g r 相对于以前所讲的定积分( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提出了两类 反常积分. 二两类反常积分的定义定义 1 设函数f 定义在无穷区间 a, + ) 上 , 且在任 何有 限区间 a , u 上可积 .如果存在极限limf ( x) d x = J, ( 1) u + a则称此极限J 为函数f 在 a, + ) 上的 无穷限反常积分( 简称 无穷积分 ) , 记作+ J = f ( x) d x , ( 1 ) a + + 并称f ( x) d x 收 敛 . 如果 极 限 ( 1) 不 存在 , 为 方 便 起 见, 亦 称f
6、( x) d x a a 发散 . 类似地 , 可定义f 在 ( - , b 上的无穷积分: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - b b u 266 第十一章反 常 积 分f ( x )d x = limf ( x) d x . ( 2) - u - u对于f 在 ( - , + ) 上的无穷积分, 它用前面两种无穷积分来定义: + a f ( x ) d x =- - + f ( x) d x +a f ( x)
7、 d x , ( 3) 其中a 为任一实数, 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的. 注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值, 都和实数a 的选取无关. 注 2 由于无穷积分( 3) 是由 (1 ) 、(2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任何有限区间 v , u ( - , + ) 上 , 首先必须是可积的. + 注 3 a f ( x ) d x 收 敛的 几 何 意义 是 : 若f 在 a , + ) 上为非负连续函数, 则图 11 - 3 中介于曲线y = f ( x) , 直线x = a 以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J . 例
8、 3 讨论无穷积分+ 图11 - 3 的收敛性. 解由于d x 1 xp ( 4) u d x 1 xp = 1 1 - p( u1 - p - 1 ) , p 1 , ln u , p = 1 ,1 limd x = u + 1 xpp - 1 , p 1 + p 1 , 因此无穷积分(4 ) 当 p 1 时收敛 , 其值为1 ; 而当p1 时发散于+ . p - 1 从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的: p 的值越大, 曲线y = 1 当 x 1 时越靠近x 轴, 从xp 而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也就越大 . 例 4 讨论下列无穷积分的收敛性:1)+
9、 d x 2 x( ln x) p ; 2)+ d x - 1 + x2 .解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通过变 限 定积 分的极限来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和图11 - 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - a b 1 反常积分概念267 分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说 , 就有+ d x + d t2 x ( ln x ) p =ln 2tp . 从例 3
10、 知道 , 该无穷积分当p 1 时收敛 , 当 p1 时发散. 2) 任取实数a, 讨论如下两个无穷积分: d x + d x - 1 + x2 和a由于a 1 + x2 .lim d x = lim ( arctan a - arctan u ) u - u 1 + x2v u - = arctan a + , 2 lim d x = lim ( arctan v - arctan a) v + a 1 + x2v + 2 - arctan a , 因此这两个无穷积分都收敛.由定义 1 , + d x a d x + d x - 1 + x2 =- 1 + x2 +a1 + x2 = .注由
11、于上述结果与a 无关 , 因此若取a = 0 , 则可使计算过程更简洁些. 定义 2 设函数f 定义在区间 ( a , b 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界, 但 在任何内闭区间 u , b ( a , b 上有界且可积.如果存在极限limf ( x ) d x = J , ( 5) u a+ u则称此极限为无界函数f 在 ( a , b 上的反常积分 , 记作b J = f ( x) d x , ( 5 ) a b 并称 反 常 积 分f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在, 这 时 也 说 反 常 积 分a b f ( x ) d x 发散 . a
12、 在定义 2 中 , 被积函数f 在点 a 近旁是无界的, 这时点a 称为f 的瑕点 , 而无b 界函数反常积分f ( x ) d x 又称为 瑕积分. a 类似地 , 可定义瑕点为b 时的瑕积分 : b u f ( x) d x = limf ( x )d x . a u b - a其中f 在 a , b) 有定义 , 在点b 的任一左邻域内无界 , 但在任何 a , u a , b) = 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - -
13、 - - - 1 1 1 x 268 第十一章反 常 积 分上可积 . 若 f 的瑕点c ( a , b) , 则定义瑕积分b c b f ( x) d x =f ( x) d x +f ( x )d x aa c u b = limf ( x) d x + limf ( x) d x . ( 6) u c - a v c+ v其中f 在 a , c) ( c, b 上有定义 , 在点c 的 任一领 域内 无界 , 但在任何 a , u a , c) 和 v , b ( c, b 上都可积.当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的. 又若a、b 两点都是
14、f 的瑕点 , 而 f 在任何 u , v ( a, b) 上可积 , 这时定义瑕积分bc b f ( x ) d x =f ( x ) d x +f ( x) d x a a c c v = limf ( x) d x + limf ( x) d x , ( 7) u a+ u v b - c其中 c 为 ( a , b) 内任一实数.同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的. 例 5 计算瑕积分d x 的值 . 0 1 - x2解被积函数f ( x) =1 在 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 0 , u 0 , 1) 1 - x2
15、上可积, x = 1 为其瑕点.依定义 2 求得1 u d x = limd x 0 1 - x2- u 1 1 - x2例 6 讨论瑕积分= lim u 1 -1 arcsin u = . 2 d x 的收敛性. 0 xq ( q 0 ) ( 8) 解被积函数在(0 , 1 上连续 , x = 0 为其瑕点.由于1 d x u xq = 1 1 - q( 1 - u 1 - q ) , q 1 , ( 0 u 1) , - ln u , q = 1 故当 0 q 0 ) . ( 9) + d x1 d x + d x0 xp =0 xp +1xp , 它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收 敛
16、时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数p 都 是发散的. 习题1 . 讨论下列无穷积分是否收敛? 若收敛 , 则求其值 : ( 1)+ xe- x 0 2 + d x ; (2) - 2 xe- x d x ; ( 3)+ 1 + d x ; (4) d x 2 0 ex + 1 x ( 1 + x) + ( 5)d x ; (6)e- x sin xd x; - 4 x2 + 4 x + 50+ + ( 7)ex sin xd x ; (8) - 0 d x .1 +
17、 x22 . 讨论下列瑕积分是否收敛?若收敛 , 则求其值 : ( 1)bd x 1 d x ; (2) ; a ( x - a) p2 0 1 - x21 ( 3)d x ; (4)x d x;0 | x - 1 | 0 1 - x2( 5)1 1 ln x d x ; (6) 0 0 x d x; 1 - x ( 7)1d x 1d x ; (8) p . 0 x - x20 x( ln x) b 3 . 举例说明 : 瑕积分f ( x) d x 收敛时, b f2 ( x) d x 不一定收敛. a 4 . 举例说明: + f ( x) d x 收敛且f 在 a , + ) 上连续时 ,
18、 不一定有lim a x +f ( x) = 0 . + 5 . 证明 : 若a f ( x )d x 收敛 , 且存在极限lim x +f ( x) = A , 则 A = 0 . ;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 270 第十一章反 常 积 分+ 6 . 证明 : 若 f 在 a, + ) 上可导, 且a + f ( x)d x 与a f ( x )d x 都收敛 , 则 lim x +f ( x) = 0
19、 . 2 无穷积分的性质与收敛判别一无穷积分的性质+ 由定 义 知 道 , 无 穷 积 分a u f ( x) d x 收 敛 与 否, 取 决 于 函 数F( u ) = f ( x ) d x 在 u + 时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷a 积分收敛的柯西准则. + 定理 11 .1无穷积分a a, 只要 u1 、 u2 G , 便有f ( x ) d x 收敛 的充要条件是: 任给 0 , 存在G u u u2 f ( x ) d x -1 f ( x )d x = f ( x )d x .a a u此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质, 导出无穷积分的一些相
20、应性质. + 性质1 若a + + f1 ( x) d x 与a f2 ( x) d x 都 收 敛 , k1 、 k2 为 任 意 常 数 , 则 k1 f1 ( x) + k2 f2 ( x) d x 也收敛, 且a + + + k1 f1 ( x ) + k2 f2 ( x ) d x = k1 a a f1 ( x ) d x + k2 a f2 ( x) d x . ( 1) + 性 质 2 若f 在 任 何 有限 区 间 a , u 上 可 积 , a 0 , 存在 G a , 当 u G 时, 总有+ f ( x ) d x 0 , 存在G a , 当 u2 u1 G 时, 总有
21、u uf ( x ) d x2u f ( x ) d x .1 u1利用定积分的绝对值不等式, 又有u u 2 f ( x ) d x 2u u 1 1 + f ( x ) d x a) , 令 u + 取极限 , 立刻得到不a a 等式 (3 ) . + + 当f ( x ) d x 收敛时 , 称a a f ( x )d x 为绝对收敛.性质 3 指出 : 绝对收敛的无穷积分, 它自身也一定收敛.但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明收敛的无穷积分不一定绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛. 二比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法. u + 由于| f
22、( x ) | d x 关于上限u 是单调递增的, 因此a a | f ( x ) | d x 收敛的u 充要条件是a | f ( x) | d x 存在上界.根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别法( 请读者自己写出证明) : 定理 11 .2 ( 比较法则 ) 设定义在 a , + ) 上的 两个 函数f 和 g 都 在任 何名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 0 272 第十一章反 常 积 分有限区间
23、 a , u 上可积 , 且满足f ( x) g ( x ) , x a, + ) ,+ + 则当g( x) d x 收敛时a a + + | f ( x) | d x 必收敛( 或者 , 当a | f ( x) | d x 发散时 , a g ( x ) d x 必发散 ) . + 例 1 讨论0 sin x d x 的收敛性. 1 + x2+ 解由于sin x 1 d x 1 + x2 1 + x2 , x 0 , + ) , 以及1 + x2 =为收敛2 (1 例 4 ) , 根据比较法则, sin x d x 为绝对收敛. 0 1 + x2上述比较法则的极限形式如下: 推论 1 若 f
24、 和 g 都在任何 a , u 上可积 , g( x ) 0 , 且 lim x + | f ( x) | g( x ) = c, 则有 : ( i) 当 0 c 0 ) , 且在 任何 有限区 间 a , u 上 可积 , 则有 : ( i) 当f ( x) 1 , x a , + ) , 且 p 1 时+ f ( x) d x 收敛 ; xp a+ ( ii) 当f ( x) 1 , x a , + ) , 且 p 1 时f ( x) d x 发散. xp a推论 3 设 f 定义于 a , + ) , 在任何有限区间 a , u 上可积 , 且则有 : lim x + xp f ( x
25、) = .+ ( i) 当 p 1 , 0 + 时 , f ( x ) d x 收敛 ; a + ( ii) 当 p 1 , 0 0 , 由于a g ( x ) = 0 , 因此存在G a , 当 x G 时, 有g( x ) u1 G , 存在 u1 , u2 , 使得f ( x) g( x) d x = g ( u1) f ( x ) d x + g( u2) u 2 f ( x) d x . u u 1 1 于是有u uf ( x ) g( x ) d x g( u1 ) u u f ( x ) d x + g( u2) f ( x ) d x 1 1 u = g( u1 ) f ( x
26、) d x -f ( x ) d x a a 2 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - u 274 第十一章反 常 积 分2 + g( u2 ) f ( x ) d x -f ( x ) d x 4 M 2 M + + a a 4 M 2 M = . 根据柯西准则, 证得a f ( x ) g( x ) d x 收敛 . + 定理 11 .4 ( 阿贝尔 ( Abel) 判别法 ) 若a f ( x) d x
27、收敛 , g( x ) 在 a , + ) + 上单调有界 , 则a f ( x ) g ( x ) d x 收敛 . 这定理同样可用积分第二中值定理来证 明 , 但又 可利用 狄利 克雷判 别法 更方便地获得证明( 留作习题 ) . + 例 3 讨论sin x d x 与+ cos x 1 xp 1 xp d x ( p 0 ) 的收敛性 . 解 这里只讨论前一个无穷积分, 后者有 完全 相同的 结论.下面分 两种 情 形来讨论 : + ( i) 当 p 1 时1 sin x d x 绝对收敛.这是因为xp + d x而sin x xp 1 xp , x 1 , + ) , + sin x
28、1 xp 当 p 1 时收敛 , 故由比较法则推知1+ xp d x 收敛. ( ii) 当 0 0 时单调趋于0 ( x + ) , 故1 xp + 由狄利克雷判别法推知1 sin x d x 当 p 0 时总是收敛的. xp 另一方面 , 由于sin x xp + sin2 x x = + 1 2 x -cos 2 x 2 x , x 1 , + ) , cos 2 x 1 其中1 2 x d x = 2 2cos t t d t 满 足 狄 利 克 雷判 别 条 件 , 是收 敛 的 , 而+ d x1 2 x 是发散的 , 因此当 0 p 1 时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条件收
29、敛的. 例 4 证明下列无穷积分都是条件收敛的: a , 它 们在 a , u 上 都可积.证明 : + 若a 收敛 . + f2 ( x) d x 与a + g2 ( x) d x 收 敛, 则a + f ( x) g( x) d x 与a f ( x) + g( x ) 2 d x 也 都3 . 设 f 、g、h是定义 在 a , + ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h ( x ) f ( x ) g( x) . 证明 : + (1) 若a + h( x )d x 与a + g( x) d x 都收敛 , 则a f ( x) d x 也收敛 ; + (2) 又若
30、a + h( x )d x =a + g( x) d x = A , 则a f ( x) d x = A . 4 . 讨论下列无穷积分的收敛性: + + ( 1)d x ; (2) x d x ; 0 x4 + 1 + 1 1 - ex+ ( 3)( 5) d x ; (4) 0 1 + x ln( 1 + x) d x ; (6) x arctan x 1 1 + x3 d x; + xm d x( n、m 0 ) . 1 xn 0 1 + xn5 . 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛: ( 1)sin x d x ; (2 ) 1x + sgn( sin x) d x ; 0 1 +
31、 x2+ + 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - a b b u a 276 第十一章反 常 积 分( 3) x cos x d x; (4 )0 100 + x ln( ln x) sin x d x .e ln x 6 . 举 例 说 明: + + + f ( x) d x 收 敛 时a a f2 ( x ) d x 不 一 定 收敛;+ f ( x )d x 绝 对 收 敛时 , a f2 ( x) d x
32、 也不一定收敛. a + + 7 . 证明 : 若a f ( x )d x 绝对收敛 , 且 lim x + f ( x) = 0 , 则a + f2 ( x) d x 必定收敛. 8 . 证明 : 若 f 是 a , + ) 上的单调函数, 且a f ( x)d x 收敛 , 则 lim x + f ( x) = 0 , 且 f ( x) = o 1 x , x + . + 9 . 证明 : 若 f 在 a , + ) 上一致连续, 且a 10 . 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法. f ( x) d x 收敛 , 则 lim x +f ( x) = 0 . 3 瑕积分的性质与收敛判别类似
33、于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性 质, 瑕积分 同样可由 函b b 数极限 limf ( x) d x =f ( x ) d x 的原意写出相应的命题. u + u a b 定 理11 .5 瑕积分f ( x ) d x( 瑕点为a) 收敛的充要条件是: 任给 0 , 存a 在 0 , 只要 u1 、u2 ( a , a + ) , 总有f ( x ) d x - f ( x) d x2= f ( x )d x 0 , 且 lim x a+b f ( x ) g( x) = c, 则有 : b ( i) 当 0 c + 时,a b f ( x ) d x 与g( x ) d x 同敛态
34、 ;a b ( ii ) 当 c = 0 时, 由g( x ) d x 收敛可推知f ( x) d x 也收敛 ; a a b b ( iii ) 当 c = + 时 , 由g( x) d x 发散可推知f ( x ) d x 也发散. a a 当选用d x b作为比 较对象g( x) d x 时, 比较法则及其推论 1 成 为a 如下的推论: ( x - a) p a推论 2 设 f 定义于 ( a , b , a 为其瑕点 , 且在任何 u , b ( a , b 上可积 , 则有 : ( i) 当f ( x) 1 , 且 0 p 1 时 , a b f ( x) d x 收敛 ; ( i
35、i) 当f ( x) 1 , 且 p 1 时 , a f ( x) d x 发散. 推论 3 设 f 定义于 ( a , b , a 为其瑕点 , 且在任何 u , b ( a , b 上可积. 如果则有 : lim x a+( x - a) p f ( x ) = , b 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - x 278 第十一章反 常 积 分b ( i) 当 0 p 1 , 0 + 时a f ( x) d x
36、收敛 ; b ( ii) 当 p 1 , 0 + 时a 例 1 判别下列瑕积分的收敛性:f ( x) d x 发散. 1)ln x d x; 2)0 x 2x 1 ln x d x . 解本例两个瑕积 分 的被 积 函数 在 各自 的积分 区间 上分 别保持 同 号 ln x在 ( 0 , 1 上恒为负 , x 在 ( 1 , 2 上 恒为 正 所以 它们 的瑕 积 分收 敛与 绝x 对收敛是同一回事. ln x 1) 此瑕积分的瑕点为x = 0 .由上述推论3 , 当取 p = 34 1 时 , 有= lim x 0 + 3 x 4 1 ln x x = - lim x 0 +ln x 1
37、x - 4所以瑕积分1) 收敛 . = lim x 0 +( 4 x 4 ) = 0 ,2) 此瑕积分的瑕点为x = 1 .当取 p = 1 时 , 由 = lim + x 1 ( x - 1 )x ln x = lim + x 1 x - 1 ln x = 1 , 推知该瑕积分发散. 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子. 例 2 讨论反常积分的收敛性. + () =0 x- 1 1 + x d x解把反常积分( ) 写成1 - 1 + - 1 () = x d x + x d x0 1 + x 1 1 + x = I( ) + J() . ( i) 先讨论I() . 当 - 1 0 ,
38、即 1 时它 是定积 分; 当 1 时它是瑕 积分 , 瑕点为x = 0 .由于lim x 0 +- 1 x1 - 1 + x = 1 , 根据定理11 .6 推论 3 , 当 0 p = 1 - 0 且 = 1 时 , 瑕 积分 I () 收1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 3 瑕积分的性质与收敛判别279 敛; 当 p = 1 - 1 , 即 0 且 = 1 时 , I () 发散. ( ii) 再讨论
39、J() , 它是无穷积分.由于- 1 lim x + x2 - x 1 + x = lim x + x 1 + x = 1 , 根据定理11 .2 推论 3 , 当 p = 2 - 1 , 即 1 且 = 1 时 , J() 收敛 ; 而当p = 2 - 1 , 即 1 且 = 1 时 , J() 发散. 综上所述 , 把讨论结果列如下表: 0 0 1 1 I ( ) 发散收敛定积分J( ) 收敛收敛发 散() 发散收敛发 散由此可见 , 反常积分() 只有当 0 0; 0 x + 1 1 x + 1 + p - 1 + - p ( 2) x d x = x d x , 0 p 1 . 0 x
40、 + 1 0 x + 1 2 . 证明下列不等式: ( 1) d x ; 2 2 ( 2) 12 0 1 - 1 e 1 - x4+ 0 2 e- x d x 0 ) ; (2) 0 e- a x sin bxd x( a 0 ) ; ( 3)+ ln x 6 2 / d x ; (4) ln( tan )d.0 1 + x20 + 4 . 讨论反常积分0 sin bx d x ( b 0 ) , 取何值时绝对收敛或条件收敛. x 5 . 证明: 设 f 在 0 , + ) 上连续 , 0 a b . (1) 若 lim x +f ( x) = k , 则+ f ( ax) - f ( bx)
41、 0 x + d x = ( f (0) - k) ln b ; a (2) 若a f( x) d x 收敛 , 则x 6 . 证明下述命题: + f ( ax) - f ( bx) 0 x d x = f (0) ln b . a + (1) 设 f 为 a , + ) 上的非负连续函数.若a + x f ( x )d x 收敛 , 则a f ( x) d x 也收敛 . (2) 设 f 为 a , + ) 上的连续可微函数, 且当x + 时 , f ( x) 递减地 趋于 0 , 则+ + f ( x) d x 收敛的充要条件为a a x f ( x ) d x 收敛 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -