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1、高等数学中导数的应用归纳性研究天津电子信息职业技术学院300350 孙海青摘要导数是微积分的重要组成部分，是联系高等数学多个章节内容以及解决相关问题的有效途径。本文主要对导数的应用及其常见错误进行归纳性总结。AbstractDerivative is an important part of calculus, and it is an effective way to solve the problems related to higher mathematics. In this paper, the application of the derivative and the common
2、 errors are summarized. 关键词 导数 极限连续高等数学是一门方法学科， 可以说是许多专业课程的基础。 导数这一章节在高等数学中尤为重要， 是高等数学的核心灵魂。 本文详细地阐述了导数的简单应用及其常见的错误，旨在帮助学生更好的理解导数。1. 导数的概念及极限运算例 1 设( )f x在0 xx处可导，且0()1fx，求000(2)()limxf xxfxx。解：利用导数定义，0000000000(2)()(2)()lim2 lim2()()22lim2()2xxhf xxf xf xxf xxxf xhf xhxhfx例 2 求0coslimsinxxxxxx解：极限属
3、于00型，可用洛必达法则即分子分母同时求导进行计算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页00000cos1cossinsinsincoslimlimlimsin1cossin2sincos3cossinlimlim3sincosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2.导数与连续例 3 设函数( )()( )f xxa g x，其中( )g x在点xa处连续，求( )f x在点xa处的导数。解：( )( )() ( )( )( )limlimxaxaf xf axa g xf afaxaxa由已知( )
4、() ( )0f aaa g a所以( )lim( )( )xafag xg a。注：( )g x连续只能得到( )f x连续，得不到( )f x可导且( )g x也不一定存在，故不能直接计算( )( )()( )fxg xxa g x，( )( )fag a 。例 4 设200,( ),xxxf xaxbxx在点0 x可导，求常数ab、的值。解：( )f x在0 x可导故( )fx在0 x连续。所以00lim( )lim( )xxxxf xf x，即200 xaxb又( )f x在0 x可导，故00()()fxfx，即00020000000( )()()limlim()limxxxxxxf
5、xf xaxbxfxxxxxaxbaxbaxx000220000000( )()()limlimlim ()2xxxxxxf xf xxxfxxxxxxxx从而02ax，20bx。3.导数与切线方程例 5 求过(1, 0)与曲线2yx相切的切线方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页解：设切点为200(,)xx，斜率00()2kfxx，故切线方程为20002()yxxxx，因为(1, 0)在切线上，即20002(1)xxx，解得0002xx或，切点为(0 , 0)(2 , 4)或，斜率04k或，故切线方程为0y或44
6、0 xy。注： 因点(1, 0)不在曲线2yx上， 故不能直接计算01()22|xkfxx，从而切线方程为220 xy。4.导数与不等式证明例 6 设0ab，证明不等式222lnlnabaabba。证明：令( )lng xx ，(0)xa，因( )g x在,ab上连续，在(,)ab内可导，由 Lagrange中值定理，存在(,)ab，使得lnln11(ln)|xbaxbab，又2212abab，从而222lnlnabaabba。5.导数与单调性例 7 设函数( )f x在区间0 ,a上二次可微，且( )( )0 xfxfx，判断( )fxx在区间(0 , )a内的单调性。解：设( )fxyx，
7、则2( )( )0 xfxfxyx，从而( )fxx在区间(0 , )a内的单调增加。例 8 求函数23( )(4)(1)fxxx的极值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页解 ：( )f x在(,)内 连 续 ， 除1x外 处 处 可 导 ， 且35(1)( )31xfxx， 令() 0fx得驻点1;1xx为( )f x的不可导点，在(,1)内，( )0fx，在( 1 , 1)内，( )0fx，故不可导点1x是一个极大值点，极大值为(1)0f，在(1 ,)内，( )0fx，故驻点1x是一个极小值点，极小值为3(1)3 4f。在高等数学中， 导数的求解方法以及与导数相关的概念都是非常深奥、难以理解的，而导数这一章节作为整个课程的核心，其承前启后的重要作用和地位是不言而喻的，因此理清导数相关概念及其常见错误是学好导数和高等数学的关键。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页