2022年近三年高考全卷理科立体几何真题 .pdf

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1、1 新课标卷近三年高考题1、 (2016 年全国 I 高考)如图,在以A,B,C ,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形, AF=2FD ,90AFDo,且二面角 D-AF-E与二面角 C-BE-F 都是 60o(I)证明:平面 ABEF 平面 EFDC ;(II)求二面角 E-BC-A 的余弦值【解析】ABEF为正方形AFEF90AFDAFDF=DFEFFIAF面EFDCAF面ABEF平面ABEF平面EFDC 由知60DFECEFABEFAB平面EFDCEF平面EFDCAB平面ABCDAB平面ABCD面ABCD I面EFDCCDABCD,CDEF四边形EFDC为等腰梯形以E为原点,

2、如图建立坐标系,设FDa000020EBa, ,3022022aCaAaa, ,020EBauuu r,3222aBCaauuu r,200ABauuu r, ,设面BEC法向量为mxyzu r, ,. 00m EBm BCu ruuu ru ruuu r,即11112032022a yaxaya z111301xyz,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页2 301mu r, ,设面ABC法向量为222nxyzr,=00n BCn ABruuu rruuu r.即22223202220axayazax222034xy

3、z,034nr,设二面角EBCA的大小为. 42 19cos1931316m nmnu rru rr二面角EBCA的余弦值为2 19192、 (2016 年全国II 高考)如图,菱形ABCD 的对角线 AC 与BD交于点 O ,5,6ABAC,点,E F分别在,AD CD上,54AECF,EF 交 BD 于点 H 将DEF沿EF折到D EF 位置,10OD()证明:D H平面 ABCD ;()求二面角BD AC的正弦值【解析】证明:54AECF,AECFADCD,EFAC四边形ABCD为菱形,ACBD,EFBD,EFDH,EFD H6AC,3AO;又5AB,AOOB,4OB,精选学习资料 -

4、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页3 1AEOHODAO,3DHD H,222ODOHD H,D HOH又OHEFHI,D H面ABCD建立如图坐标系Hxyz500B, ,130C, , 003D, ,130A,430ABuu u r, ,133ADuuur, ,060ACuuu r, ,设面ABD法向量1nxyz, ,u r,由1100nABnADu u ruuu ru u ruuu u r得430330 xyxyz,取345xyz,1345nu r,同理可得面AD C的法向量2301nu u r, ,1212957 5cos25

5、5 210nnn nu ru u ru ru u r,295sin25精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页4 3、(2016 年全国 III 高考) 如图,四棱锥 PABC 中,PA地面 ABCD ,ADBCP,3ABADAC,4PABC,M为线段AD上一点,2AMMD, N 为 PC 的中点(I )证明MN P平面 PAB;( II ) 求 直 线 AN 与 平 面 PMN 所 成 角 的 正 弦值.设),(zyxn为平面 PMN 的法向量,则00PNnPMn,即0225042zyxzx,可取) 1 ,2 ,0(n

6、,于是2558|,cos|ANnANnANn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页5 4、 【2015高考新课标 2,理 19】如图,长方体1111ABCDABC D 中,=16AB,=10BC,18AA,点E,F分别在11AB ,11C D 上,114AED F过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形()在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);()求直线AF与平面所成角的正弦值【答案】 ()详见解析;()4 515【考点定位】 1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角D D1C1A1E

7、F A B C B1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页6 A1AB1BD1DC1CFEHGM【名师点睛】 根据线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线; 由交线的位置可确定公共点的位置,坐标法是求解空间角问题时常用的方法,但因其计算量大的特点很容易出错, 故坐标系的选择是很重要的, 便于用坐标表示相关点,先求出面的法向量,利用 sincos,n AFr uuu r求直线AF与平面所成角的正弦值5、【2015高考新课标 1,理 18】如图,四边形 ABCD 为菱形, ABC=120 ,E,F 是平面 ABCD

8、 同一侧的两点,BE平面 ABCD,DF平面 ABCD,BE=2DF,AEEC. ()证明:平面AEC平面 AFC;()求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 . 【答案】 ()见解析()33精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页7 又AEEC,EG=3 ,EGAC,在 RtEBG 中,可得 BE=2 ,故 DF=22. 在 RtFDG 中,可得 FG=62. 在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE=2 ,DF=22可得 EF=3 22,222EGFGEF,EGFG,AC FG=G,EG平面 AFC,EG面

9、AEC,平面 AFC平面 AEC. 6分()如图,以 G 为坐标原点, 分别以,GB GCuuu r uuu r的方向为 x轴,y 轴正方向,|GBuuu r为单位长度, 建立空间直角坐标系G-xyz,由()可得 A(0,3,0) ,E(1,0, 2 ),F(1,0,22) ,C(0,3 ,0) ,AEuuu r=(1,3,2 ) , CFuuu r=(-1,-3,22). 10分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页8 故3cos,3|AECFAE CFAECF?uuu ruuu ruuu r uu u ruuu r

10、uuu r. 所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为33. 12分【考点定位】空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路,思路1:几何法,先由线线垂直证明线面垂直,再由线面垂直证明面面垂直;思路2:利用向量法,通过计算两个平面的法向量, 证明其法向量垂直, 从而证明面面垂直; 对异面直线所成角问题,也有两种思路,思路1:几何法,步骤为一找二作三证四解,一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角,若没有,则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角,再证明该角是异面直线所成角,利用解三角形解出该角. 6、2014 新课标全国

11、卷 如图 1-3,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E 为 PD 的中点(1)证明: PB平面 AEC;(2)设二面角 D-AE-C 为 60,AP1,AD3,求三棱锥 E-ACD 的体积图 1-3 解:(1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点又 E 为 PD 的中点,所以 EOPB. 因为 EO? 平面 AEC,PB?平面 AEC,所以 PB平面 AEC. (2)因为 PA平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直如图,以 A 为坐标原点, AB,AD,AP 的方向

12、为 x 轴、y 轴、z轴的正方向,|AP|为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则 D()0,3,0 ,E 0,32,12,AE0,32,12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页9 设 B(m,0,0)(m0),则 C(m,3,0),AC(m,3,0)设 n1(x,y,z)为平面 ACE 的法向量,则n1AC0,n1AE0,即mx3y0,32y12z0,可取 n13m,1,3 . 又 n2(1,0,0)为平面 DAE 的法向量,由题设易知 |cos n1,n2|12,即334m212,解得 m32. 因为 E

13、为 PD 的中点,所以三棱锥E-ACD 的高为12.三棱锥 E-ACD 的体积 V1312 3321238. 7、2014新课标全国卷 如图 1-5,三棱柱 ABC -A1B1C1中,侧面 BB1C1C为菱形, ABB1C. 图 1-5 (1)证明: ACAB1;(2)若 ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角 A -A1B1-C1的余弦值解:(1)证明:连接 BC1,交 B1C 于点 O,连接 AO,因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1CBC1,且 O 为 B1C 及 BC1的中点又 ABB1C,所以 B1C平面 ABO. 由于 AO? 平面 ABO,故 B1CAO. 又 B1O

14、CO,故 ACAB1. (2)因为 ACAB1,且 O 为 B1C 的中点,所以 AOCO. 又因为 ABBC,所以 BOA BOC.故 OAOB,从而 OA,OB,OB1两两垂直以 O 为坐标原点, OB 的方向为 x 轴正方向, |OB|为单位长,建立如图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页1 0的空间直角坐标系O-xyz. 因 为 CBB1 60 , 所 以 CBB1为 等 边 三 角 形 , 又AB BC , 则A 0,0,33,B(1,0,0),B10,33,0 ,C0,33,0 . AB10,33,33,A1B1AB1,0,33,B1C1BC 1,33,0. 设 n(x,y,z)是平面 AA1B1的法向量,则n AB10,n A1B10,即33y33z0,x33z0.所以可取 n(1,3,3)设 m 是平面 A1B1C1的法向量,则m A1B10,m B1C10,同理可取 m(1,3,3)则 cosn,mnm|n|m|17. 所以结合图形知二面角A -A1B1- C1的余弦值为17. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页

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