《2022年高考数学总复习教案导数在研究报告函数中应用 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学总复习教案导数在研究报告函数中应用 .pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、个人资料整理仅限学习使用第二章函数与导数第12 课时导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文、 (理3032页 考情分析考点新知 导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势，应引起足够的重视. 以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点，同时解答题侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性. 掌握利用导数求函数极值与最值的方法. 会利用导数解决某些实际问题. , 1. (选修 22P28 例 1 改编 函数 f(xx315x233x6 的单调减区间为_答案： (1，11 解读： f (x 3
2、x2 30 x33 3(x 11(x 1，由 (x11(x 1亦可填写闭区间或半开半闭区间2. (选修 22P34 习题 3 改编 若函数 f(xexax 在 x 1 处取到极值，则a _答案： e 解读：由题意，f(10，因为 f (xexa，所以 ae. 3. (选修 22P34 习题 8函数 yxsinx， x0，2的值域为 _答案： 0，2 解读：由y 1cosx 0，所以函数yx sinx 在0，2上是单调增函数，所以值域为0，24. (原创 已知函数f(x 错误 !x2blnx 在区间 错误 !， 上是减函数，则b 的取值范围是_答案： (，4 解读： f (x x错误 !0 在2
3、， 上恒成立，即bx2 在2， 上恒成立5. (选修 22P35 例 1 改编 用长为 90cm、宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90角，再焊接而成，则该容器的高为_cm 时，容器的容积最大答案： 10 解读：设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则 V(902x(48 2xx 4(x3 69x2 1080 x， 0 x 12(x 10(x 36，当0 x0；当 10 x12 时， V上是减函数，故当x10 时， V 最大1. 函数的单调性与导数在区间 (a，b内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果 f
4、 (x0，那么函数yf(x为该区间上的增函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页个人资料整理仅限学习使用如果 f (x为该区间上的减函数2. 函数的极值与导数(1 函数极值的定义若函数f(x在点 x a 处的函数值f(a比它在点xa 附近其他点的函数值都要小，f(a叫函数的极小值若函数 f(x在点 x b 处的函数值f(b比它在点xb 附近其他点的函数值都要大，f(b叫函数的极大值，极小值和极大值统称为极值(2 求函数极值的方法解方程 f (x 0，当 f (x0 0 时，如果在x0 附近左侧单调递增，右侧单调递减，
5、那么f(x0是极大值如果在x0 附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0是极小值3. 函数的最值(1 最大值与最小值的概念如果在函数定义域I 内存在 x0，使得对任意的xI，总有 f(x f(x0，则称 f(x0为函数 f(x在定义域上的最大值如果在函数定义域I 内存在 x0，使得对任意的xI，总有 f(x f(x 0，则称 f(x0为函数 f(x在定义域上的最小值(2 求函数 yf(x在a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yf(x在(a，b内的极值将函数y f(x的各极值与f(a、f(b比较，其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值4. 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：错
6、误 !?错误 !?错误 !?错误 !题型 1导数与函数的单调性例 1已知函数f(xx3ax1. (1 若 a3 时，求 f(x的单调区间；(2 若 f(x在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3 是否存在实数a，使f(x在(1，1上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由解： (1 当 a3 时， f(xx33x 1， f(x3x23，令 f (x0 即 3x230，解得 x1 或 x的单调增区间为(， 1(1， ，同理可求f(x的单调减区间为(1， 1(2 f (x3x2 a. f(x在实数集R上单调递增， f (x0 恒成立，即3x2a0 恒成立， a(3x2mi
7、n. 3x2 的最小值为0， a0. (3 假设存在实数a 使 f(x在(1，1上单调递减， f (x0 在(1，1上恒成立，即a3x 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页个人资料整理仅限学习使用又 3x20，3， a3. 存在实数a 使 f(x在(1，1上单调递减，且a3.错误 !(1 已知函数 f(x错误 !x2mlnx (m1x，当 m 0 时，试讨论函数 f(x 的单调性；(2 若函数 f(x 错误 !错误 !错误 ! blnx 在(1， 上是减函数，求实数b 的取值范围解： (1函数的定义域为错误 !，
8、f(xx错误 !(m1错误 ! 错误 !.当 10，得 0 x1，令 f (x0，得 mx的单调递增区间是错误 !和错误 !，单调递减区间是错误 !；当 m 1 时，同理可得，函数 f(x的单调递增区间是错误 !和错误 !，单调递减区间是错误 !.(2由 f(x 错误 !错误 !错误 !blnx，得 f (x (x2错误 !，由题意，知f (x0即 错误 !错误 !0 在错误 !上恒成立，b 错误 !错误 !，当 x错误 !时， 错误 !错误 !， b1.题型 2导数与函数的极值、最值例 2设函数 f(x (x2axbex(x R(1 若 a2，b 2，求函数f(x的极大值；(2 若 x 1
9、是函数 f(x的一个极值点试用 a 表示 b；设a0，函数g(x(a214ex4.若1、 20，4，使得 |f( 1g( 2| 1 成立，求 a 的取值范围解： (1 f (x(2xaex(x2axbexx2(2ax(abex，当 a2， b 2 时， f(x(x22x2ex，则 f (x(x24xex，令 f (x0 得(x24xex0， ex0, x24x0，解得 x 4 或 x0，列表如下：x (，4 4 (4，0 0 (0， f (x0 0 f(x Z极大值极小值Z当 x 4 时，函数f(x取极大值， f(x极大值 错误 !. (2 由(1知 f (xx2(2ax(abex. x1 是
10、函数 f(x的一个极值点， f(10，即 e1(2a(ab0，解得 b 32a. 由 知 f (xexx2(2 ax(3a ex(x1x(3a，当 a0 时， f(x在区间 (0，1上的单调递减，在区间(1，4上单调递增，函数 f(x在区间 0，4上的最小值为f(1 (a2e. f(0b 32a0，f(4(2a13e40，函数 f(x在区间 0，4上的值域是 f(1，f(4，即(a2e，(2a13e4又g(x (a2 14ex 4 在区间 0， 4上是增函数，且它在区间0， 4上的值域是(a214e4，(a214e8，(a2 14e4(2a13e4(a22a1e4 (a 12e4 0，精选学习
11、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页个人资料整理仅限学习使用存在 1、 20，4使得 |f( 1g( 2| 1 成立只须 (a214e4(2a13e41T(a12e41T (a12错误 !T1错误 !a1错误 !.错误 !已知函数f(x ax3bx23x(a、bR在点 x 1 处取得极大值为2. (1 求函数 f(x的解读式；(2 若对于区间 2，2上任意两个自变量的值x1、x2，都有 |f(x1 f(x2| c，求实数c 的最小值解： (1 f(x3ax2 2bx3. 由题意，得 错误 !即错误 !解得 错误 !所以 f(x
12、x33x. (2 令 f (x0，即 3x230，得 x1. x 2 (2， 1 1 (1， 1 1 (1，2 2 f (xf(x 2 增极大值减极小值增2 因为 f(12，f(1 2，所以当x2，2时， f(xmax2， f(xmin 2. 则对于区间2，2上任意两个自变量的值x1、 x2，都有 |f(x1 f(x2| |f(xmaxf(xmin|4，所以 c4.所以 c 的最小值为4. 题型 3导数在实际问题中的应用例 3请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D 四个点重合于图中的
13、点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、 F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE FBx cm.(1 某广告商要求包装盒侧面积S(cm2最大，试问x 应取何值？(2 某厂商要求包装盒容积V(cm3最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解： (1 S 6024x2(602x2240 x8x2(0 x，所以 x15 cm 时侧面积最大(2 V(错误 !x2错误 !(602x2错误 !x2(30 x(0 x，所以 V 6错误 !x(20 x，令 V 0，得 x20，当 0 x20 时， V 递增；当20 x经预测，一个桥墩的费用为256 万元，相邻
14、两个桥墩之间的距离均为x，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1错误 !x 万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y 万元(1 试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2 当 m1 280M 时，需要新建多少个桥墩才能使y 最小？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页个人资料整理仅限学习使用解：根据题意，需要建错误 !个桥墩和 错误 !段桥面工程(1 y256错误 !错误 !(1 错误 !xm错误 !m256错误 !.(2 当 m1 280 时， y1 280错误 !1 536，y 1 280错误 !，
15、令 y0，得 x64，当 0 x64 时， y64 时， y0. 所以当 x64 时， y 有最小值16 896，此时要建21 个桥墩答：需要建21 个桥墩才能使y 最小【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14 分 已知函数f(x lnxax(aR(1 求函数 f(x的单调区间；(2 当 a0 时，求函数f(x在1，2上的最小值审题引导： 知函数解读式求单调区间，实质是求f (x0，f(x在 1， 2上的单调性，再确定最值是端点值还是极值； 由于解读式中含有参数a，要对参数a 进行分类讨论规范解答：解： (1 f (x错误 !a(x0(1 分 当 a0 时， f(x错误 !a0 ，即函数f(
16、x的单调增区间是(0， (3 分当 a0 时，令 f (x错误 !a0，得 x错误 !，当 0 x错误 !0，当 x错误 !时， f(x错误 !的单调增区间是错误 !，单调减区间是错误 !.(6 分 (2 当错误 !1，即 a1时，函数 f(x在区间 1， 2上是减函数，所以 f(x的最小值是f(2ln22a.(8 分 当 错误 !2，即 0在区间 1，2上是增函数，所以 f(x的最小值是f(1 a.(10 分 当1错误 !2，即 错误 !a在区间 错误 !上是增函数，在区间错误 !上是减函数，又 f(2f(1ln2a，所以当 错误 !a a；当 ln2aln22a.(12 分 综上可知，当0
17、a 1. (2018新课标 若存在正数x 使 2x(xa解读：因为2x(xax错误 !，令 f(xx错误 !，所以 f (x12xln20，所以 f(x在(0， 上单调递增，所以f(xf(001 1，所以a 的取值范围是(1，2. (2018大纲 若函数 f(xx2 ax错误 !在错误 !上是增函数，则a 的取值范围是 _答案： a3解读： f (x2x a错误 !0 在错误 !上恒成立，即a 错误 !2x 在错误 !上恒成立令g(x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页个人资料整理仅限学习使用错误 !2x，求导可得g(
18、x在错误 !上的最大值为3，所以 a3.3. (2018 扬州期末 已知函数f(x lnx错误 !(mR在区间 1，e上取得最小值4，则m_答案： 3e 解读： f (x错误 !错误 !错误 !，令 f (x0，则 x m，且当x单调递减，当xm 时， f(x0，f(x单调递增若m 1，即 m 1 时， f(xminf(1m1，不可能等于4；若1m e，即 emmin f(mln(m1，令 ln(m14，得 m e3(e， 1；若 me，即 mmin f(e1错误 !，令 1错误 !4，得 m 3e，符合题意综上所述，m 3e.4. (2018南京二模 设函数 f(xx2(a2xalnx. (
19、1 求函数 f(x的单调区间；(2 若函数 f(x有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；(3 若方程 f(xc 有两个不相等的实数根x1、x2，求证： f 错误 !0.(1 解： f (x2x(a2 错误 !错误 !错误 !(x0当 a0 时， f(x0，函数 f(x在(0， 上单调递增，所以函数f(x的单调增区间为(0， 当 a0 时，由 f (x0，得 x错误 !；由 f (x0，得 0 x的单调增区间为错误 !，单调减区间为错误 !.(2 解：由 (1得，若函数f(x有两个零点，则a0，且 f(x的最小值f错误 !0，即 a24a4aln错误 !0，所以 a 4ln错误 !40.
20、令 h(aa 4ln错误 ! 4，显然h(a在(0， 上为增函数，且h(2 2 4ln错误 ! 1ln错误 !10，所以存在a0(2，3，h(a00. 当 aa0 时， h(a0；当 0a3(2ln30，f(10，所以 a3 时， f(x有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为 3. (3 证明：因为x1、x2 是方程 f(xc 的两个不等实根，由(1知 a0. 不妨设 0 x1x1alnx1c，x错误 !(a2x2alnx2c.两式相减得x错误 !(a2x1 alnx1x错误 ! (a 2 x2alnx20，即 x错误 ! 2x1x错误 !2x2 ax1alnx1ax2alnx2a
21、(x1lnx1 x2lnx2所以 a错误 !.因为 f 错误 !0，当 x 错误 !时， f(x0，故只要证 错误 !错误 !即可，即证明 x1x2错误 !，即证明 x错误 !x错误 !(x1x2(lnx1lnx2x错误 !2x1x错误 !2x2，即证明 ln错误 !错误 !. 设 t错误 !(0t令 g(tlnt 错误 !，则 g (t错误 !错误 !错误 !.因为 t0，所以 g(t 0，当且仅当t1 时， g(t0，所以 g(t在(0， 上是增函数又 g(10，所以当t(0，1，g(t上有且仅有一个解，那么实数a 的取值范围为 _答案： a0 或 a2 解读：由ax错误 !3，得 a 错
22、误 !错误 !.令 t错误 !，则 f(t3tt3，t (0， 用导数研究f(t的图象，得fmax(t 2，当 x (0， 1时， f(t递增，当x(1， 时， f(t递减，所以a0 或 a2.2. 已知函数f(x lnx 错误 !，若函数f(x在 (0， 上为增函数，则a 的取值范围是_答案： a2解读： f (x错误 !0 在(0， 上恒成立，易得a2.3. 设直线 y a 分别与曲线y2x 和 yex 交于点 M、N，则当线段MN 取得最小值时a 的值为_答案： 错误 !解读：由题意，M(a2，a， N(lna，a，故 MN 的长 l|a2 lna| a2lna(a0，由 l 2a错误
23、!错误 !错误 !，令 l 0，得 la2lna 在错误 !上单调递增；令 l (ax2xex，其中 e 是自然数的底数，aR. (1 当 a0；(2 若 f(x在1，1上是单调函数，求a 的取值范围；(3 当 a0 时，求整数k 的所有值，使方程f(xx2 在k，k1上有解解： (1 因为 ex0，所以不等式f(x0 即为 ax2x0. 又 a0，所以不等式可化为x错误 !0 的解集为 错误 !.(2 f (x(2ax1ex(ax2xex ax2(2a 1x1ex，当a0 时， f (x(x1ex， f(x0 在1，1上恒成立，当且仅当x 1 时取等号，故 a0 符合要求；当 a0时，令g(
24、xax2 (2a1x1，因为 (2a124a4a210，所以g(x 0有两个不相等的实数根x1、x2，不妨设x1x2，因此 f(x有极大值又有极小值若a0，因为g(1g(0 a在( 1，1内有极值点，故f(x在1，1上不单调若a0 x2，因为g(x的图象开口向下，要使f(x在1， 1上单调，因为g(010，必须满足 错误 !即错误 !所以 错误 !a0.综上可知， a 的取值范围是 错误 !.(3 当 a0 时， 方程即为xexx2，由于 ex0，所以 x0 不是方程的解，所以原方程等价于 ex错误 !10.令 h(x ex错误 !1，因为h(x ex错误 !0 对于x(，0(0， 恒成立，所
25、以 h(x在(，0和(0， 内是单调增函数，又h(1e3e220，h(3e 3错误 !e20，所以方程f(xx2 有且只有两个实数根，且分别在区间1，2和 3， 2上，所以整数k 的所有值为 3，1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页个人资料整理仅限学习使用1. 在已知函数f(x是增函数 (或减函数 ，求参数的取值范围时，应令f (x 0(或 f (x 0恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解，然后检验参数的取值能否使f (x恒等于 0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f (x不恒为 0，则参数范围确定2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值3. 用导数求解实际问题中的最大(小值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点请使用课时训练(A第 12 课时 (见活页 备课札记 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页