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1、线性代数第一章行列式一、相关概念1. 行列式 n 阶行列式是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，这里 是 1，2， n 的一个排列。当 是偶排列时，该项的前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即 (1.1) 这里表示对所有n 阶排列求和。式(1.1) 称为 n 阶行列式的完全展开式。2. 逆序与逆序数一个排列中， 如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。 一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用 表示排列 的逆序数。3. 偶排列与奇排列如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。4.2 阶与 3 阶行列式的展开 ，5. 余子式与代数
2、余子式在 n 阶行列式中划去 所在的第i 行，第 j列 的 元 素 ， 剩 下 的 元 素 按 原 来 的 位 置 排 法 构 成 的 一 个n-1阶 的 行 列 式称为 的余子式，记为 ；称为 的代数余子式，记为 ，即 。6. 伴随矩阵 由矩阵A的行列式 |A| 所有的代数余子式所构成的形如，称为 A的伴随矩阵，记作 。二、行列式的性质1. 经过转置行列式的值不变，即行列式行的性质与列的性质是对等的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - -
3、- - - - - - 2. 两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同( 或两行成比例 ) ，行列式的值为0. 3. 某行如有公因子k，则可把k 提出行列式记号外。4. 如 果 行 列 式 某 行 ( 或列 ) 是 两 个 元 素 之 和 ，则 可 把 行 列 式 拆 成两 个行 列 式 之 和 ：5. 把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变：6. 代数余子式的性质行列式任一行元素与 另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式n 阶行列式的值等于它的任何一行( 列) 元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A|按 i 行展开的展开式 |A|按 j 列展开的展开式四、行列式
4、的公式1. 上 ( 下) 三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2. 关于 副对角线 的 n 阶行列式的值3. 两个特殊的拉普拉斯展开式：如果 A和 B分别是 m阶和 n 阶矩阵，则4. 范德蒙行列式5. 抽象 n 阶方阵行列式公式 ( 矩阵 ) 若 A、B都是 n 阶矩阵，是 A的伴随矩阵， 若 A可逆，是 A的特征值：； |AB|=|A|B|；若 ，则，且特征值相同。一般情况下：五、行列式的计算1. 数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧： 将每列 ( 行)都加到同一列( 行) ，或者将每列 ( 行)ki倍都加到同一列( 行) 。 逐行 ( 或逐列 )相加名师资料总结
5、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法 验证 n=1 时命题正确；假设n=k 时命题正确；证明n=k+1 时，命题正确。 验证 n=1 和 n=2 时命题都正确， 假设 nk 命题正确，证明 n=k， 命题正确。 对于 n 阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。2. 抽象型行列式 通常与矩阵一起考，利用行列式的性质( 倍加、提公因数k、拆项 ) 等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公
6、式、法则、特征值、相似。利用单位矩阵恒等变形来计算|A+B| 形式的行列式。3. 行列式 |A| 是否为 0 的判定若 A= 是 n 阶矩阵，那么行列式 |A|=0 矩阵 A不可逆秩 r(A)n Ax=0 有非零解 0 是矩阵 A的特征值A的列 ( 行) 向量线性相关。因此，判断行列式是否为0，常用： 秩； 齐次方程组是否有非零解；看特征值是否为 0； 反证法； 若|A|=k|A|，且 k 1 时也能得出 |A|=0 4. 代数余子式求和按定义直接计算求和；用行列式的按行或列展开的公式。由于 的值与 的值没有关系，故可以构造一个新的行列式 |B| ，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的
7、代数余子式。P205例 20利用行列式任一行元素与 另一行元素的代数余子式乘积之和为0 的性质根据伴随矩阵的定义，通过求再来求和。第二章矩阵一、矩阵的概念及运算矩阵 m n 个数排成如下m行 n 列的一个表格称为是一个m n 矩阵，当 m=n时， 矩阵 A称为 n 阶矩阵或n 阶方阵。如果一个矩阵所有元素都是0， 则称为零矩阵，记作 O 。两个矩阵 ， ，如果 m=s ，n=t ，则称 A与 B是同型矩阵两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A与 B相等，记作A=B。矩阵 A是一个表格，而行列式|A| 是一个数。二、矩阵的运算1.( 加法 )设 A、 B是同型矩阵，则 2.( 数乘 )3.
8、( 乘法 )若 A为 m s 矩阵， B为 s n 矩阵，则 A、B可乘，且乘积AB是一个 m n 矩阵。记成 ，其中4. 转置将矩阵 A的行列互换得到矩阵A的转置矩阵 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 三、矩阵的运算规则ABC为同型矩阵，则1. 加法 ； ； 2. 数乘 ； ； ； 3. 乘法 ABC满足可乘条件； ；注意一般情况下 不能推出 或且， 不能推出 对角矩阵 对角矩阵的逆矩阵4. 转置；5. 伴随矩
9、阵 ； ；6. 方阵的幂 ，注意7. 特殊方阵的幂 ( 求 ) 若秩 ，则可以分解为两个矩阵的乘积，有 ，从而 例如P218特殊的二项式展开分块矩阵特征值、特征向量、相似简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。四、特殊矩阵设 A是 n 阶矩阵：单位阵：主对角元素为1，其余元素为0，记成 或 数量阵：数k 与单位矩阵E的积 kE 称为数量矩阵。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 对角阵：非对角元素都是0 的矩阵称为对角阵
10、，记成 。 ， ， 上( 下) 三角阵：当 时，有 的矩阵称为上(下) 三角阵。对称阵：满足 ，即 的矩阵称为对称阵反对称阵：满足 ，即 ， 的对称阵称为反对称阵。正交阵： 的矩阵称为正交阵，即 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。伴随矩阵：见 ( 一.1.6) 五、可逆矩阵1. 主要定理 ：若 A可逆则 A的逆矩阵唯一且|A| 不为 0。行列式不为0 则矩阵可逆。2. 概念 设 A是 n 阶方阵如果存在n 阶矩阵 B使得 成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是 A的逆矩阵，记成 3. 可逆的充要条件 存在 n阶矩阵 B使得 AB=E ，或秩 r(A)=n ，或 A的列 (行)
11、向量线性无关齐次方程组Ax=0 只有零解矩阵 A的特征值不全为0 4. 逆矩阵的运算性质若 ，则若 A，B可逆，则；特别地若可逆，则； ；注意，即使A,B,A+B 都可逆，一般地5. 求逆矩阵的方法 若 ，则初等变换行初等变换用定义求B，使得 AB=E或 BA=E ，则 A可逆且 分块矩阵，设B,C 都可逆，则；六、初等变换、初等矩阵1. 主要结论： 用初等矩阵P 左乘 A，所得 PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变换；若是右乘就是相应的列变换。2. 初等变换 设 A是 矩阵， ( 倍乘 ) 用某个非零常数 乘 的某行 ( 列) 的每个元素，( 互换 ) 互换 A的某两行 ( 列 )
12、，( 倍加 ) 将 A的某行 ( 列) 元素的 k 倍加到另一行( 列) 。称为初等变换。3. 初等矩阵 由 E经过一次初等变换所得的矩阵倍乘初等矩阵 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 互换初等矩阵 倍加初等矩阵 4. 等价矩阵 矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与 B 等价，记成 。若，则后者称为A 的等价标准形。(A 的等价标准型是与A 等价的所有矩阵中的最简矩阵。 ) 5. 初等矩阵与初等变换的性质
13、初等矩阵的转置仍然是初等矩阵；初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵，左行右列当 A时可逆矩阵时， 则 A可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵 ， ， ，使得 七、矩阵的秩1. 求秩的主要方法： 经过初等变换矩阵的秩不变；如果 A可逆，则 ， 2. 矩阵的秩 设 A是 m n 矩阵，若 A中存在 r 阶子式不等于0， 且所有 r+1 阶子式均为0，则称矩阵A的秩为 r，记成 r(A) ，零矩阵的秩规定为0。3. 矩阵的秩的性质矩阵 A中非零子式的最高阶数是r A 中每一个r 阶子式全为0 A 中有 r 阶子式不为0 特别地， ；若 A是 n 阶矩阵， 可逆不可逆若 A是
14、 m n 矩阵，则 4. 矩阵的秩的公式；当 时， ；若 A可逆，则 ， 若 A是 m n 矩阵， B是 n s 矩阵， AB=O ，则 分块矩阵 。八、分块矩阵1. 概念 将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵( 或子块 ) ，把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。由于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。2. 分块矩阵的运算对矩阵适当地分块处理( 要保证相对应子块的运算能够合理进行) ， 就名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
15、 - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 有如下运算法则：若 B,C 分别是 m阶与 s 阶矩阵，则，若 B,C 分别是 m阶与 s 阶可逆矩阵，则，若 A是 m n 矩阵， B是 n S矩阵且 AB=O ，对 B和 O矩阵按列分块有即 B的列向量是齐次方程组 的解。线性表出 P214 第三章、向量一、n 维向量的概念与运算1.n维向量 n 个有序数组 所构成的一个有序数组成为n 维向量，记成或，分别称为n 维行向量或n 维列向量， 数 称为向量的第i 个分量。2. 零向量 所有分量都是0 的向量称为零向量，记为0 3. 相等 n 维向量与维向量相等，即4.
16、运算 n 维向量与( 加法 )，( 数乘 ) ，( 内积 ) ，称为向量 的长度。， ，等号成立当且仅当。特别地，如 ，则称 与正交二、线性表出、线性相关1. 线性组合 m个 n维向量及 m个数 所构成的向量称为向量组的一个线性组合，数 称为组合系数。2. 线性表出 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 对 n 维向量和，如果存在实数 ，使得则称向量 是向量的线性组合，或者说向量可由线性表出。设有两个n 维向量组 (
17、 )；( )；如果 ( ) 中每个向量 都可由 ( )中的向量线性表出，则称向量组( ) 可由向量组 ( ) 线性表出。如果 ( ) 、( ) 这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价 。等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。3. 线性相关、无关对于 n 维向量，如果存在不全为零的数 ，使得则称向量组线性相关，否则称它线性无关。关于线性无关，只要 不全为零，必有 ， 或者，当且仅当 时，才有 显然，含有：零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的
18、，而阶梯形向量组一定是线性无关的。证明 ：证明线性无关通常的思路是：用定义法( 同乘或拆项重组) ，用秩 ( 秩等于向量个数则线性无关 ) ，齐次方程组只有零解或反证法。4. 重要定理 n 维向量组线性相关齐次方程组有非零解秩n 个 n 维向量线性相关行列式 个 n 维向量必线性相关。如果线性相关，则必线性相关。如果 n 维向量组线性无关，则它的延伸组必线性无关。n 维向量 可由线性表出非齐次方程组有解秩向量组线性相关至少有一个向量由其余 s-1 个向量线性表出。向量组线性无关，而向量组向量组线性相关，则向量可 由线性表出，且表示方法唯一。设有两个n 维向量组 ( )；( )，如果向量组 (
19、) 可由向量组 ( )线性表出，且 ，则必线性相关。若 n 维向量组可由线性表出，且线性无关，则 三、极大线性无关组、秩1. 概念 设向量组中，有一个部分组，满足条件线性无关；再添加任一向量， 向量组必线性相关； ( 向量组中任何一个向量必名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 可由线性表出 ) 则称向量组是向量组的一个极大线性无关组。注：只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。一个线性无关的向量组的极大线性无关
20、组是该向量组本身。向量组的极大线性无关组一般不唯一, 但其极大线性无关组的向量个数是一样的。2. 秩 向量的极大线性无关组中所含向量的个数r 称为向量组的秩。 记为 。() 如果向量组 ( )可由 ( )线性表出，则 3. 注意求向量组的极大无关组时，只能都作行变换( 或都做列变换) ，不能混合行列变换。如果只是求向量组的秩，则可以混合行列变化。四、施密特正交化、正交矩阵1. 正交矩阵 设 A是 n 阶矩阵，满足，则 A是正交矩阵。A是正交矩阵的向量组是正交规范向量组，如 A是正交矩阵，则行列式或 。2. 施密特正交化 设向量组线性无关，其正交规范化方法步骤如下：令，则， ， 两两正交。再将
21、， ， 单位化，取， ， 则， ， 是正交规范向量组( 即两两正交且均是单位向量) 第四章线性方程组一、克拉默法则1. 概念 若 n 个方程 n 个未知量构成的非齐次线性方程组的系数行列式 ，则方程组有唯一解，且 ， 。其中是中的第 i列元素 ( 即 的系数 ) 替换成方程组右端的常数项 所构成的行列式。2. 推论 若包含n个方程 n个未知量的奇次线性方程组的系数行列式 的充要条件是方程组有唯一解，反之，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
22、 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 二、齐次线性方程组1. 形式 n 个未知量m个方程组成的方程组向量形式：其中矩阵形式：2. 齐次线性方程组的解若将有序数组 代入方程组的未知量 ， 使每个方程等式成立，则称为方程组的一个解( 或解向量 ) ，记成3. 齐次线性方程组的基础解系设是 AX=0的解向量，若满足线性无关；AX=0的任一解向量均可由线性表出。等价于： (加入任一解向量，使得线性相关 ) ( ，即线性无关解向量的个数为 ，满足 线性无关解的个数) 则称向量是 AX=0的基础解系。4.AX=0 的解的性质若 是齐次线性方程组AX=0的解，则仍是 AX=0的解，
23、其中k1,， k2是任意常数。推广到多个解5.AX=0 有解的条件齐次线性方程AX=0一定有解，至少有非零解。AX=0只有零解方程组的列向量组线性无关 AX=0有非零解方程组的列向量组线性相关6. 基础解系向量个数与秩的关系若是矩阵， ，则齐次线性方程组存在基础解系，且基础解系由 个线性无关解向量组成，故基础解系向量个数未知量个数7.AX=0 的通解 设是 AX=0的基础解系， 则 是 AX=0的通解， 其中k 是任意常数。8. 基础解系和通解的求法初等行变换三、非齐次线性方程组1. 形式 n 个未知量m个方程组成的方程组向量形式：其中矩阵形式：2.AX=b 的解的性质 设是 AX=b的两个解
24、， 是 对应齐次方程AX=0的解，则，3.AX=b 有解的条件AX=b无解b 不能由 A的列向量组线性表出AX=b有解 b 可以由 A的列向量组线性表出 AX=b有唯一解线性无关，线性相关 b 可以由 A的列向量组线性表出且表示唯一。AX=b有无穷解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 线性相关， b 可由线性表出且表示不唯一。4.AX=b 的通解结构 对应的齐次通解+非齐次的一个特解。5.AX=0 的系数行向量和
25、解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A齐次线性方程组有解，故 AX=0的系数行向量和解向量 有如下关系： ，故 A的行向量与AX=0的解向量是正交向量； ，即将解向量作齐次方程组的行向量时，A的行向量既是该方程组的解向量。6. AX=0 的系数列向量和解向量的关系P260 7. 两个方程组的公共解方程组和的公共解是满足方程组 的解。 P263 8. 同解方程组 若 是实矩阵，和是同解方程组，有 第五章特征值、特征向量、相似矩阵一、特征值、特征向量1.特征值 A 是 n 阶方阵，如果对于数 ，存在非零向量，使得 ，成立，则称 是A的特征值， 是 A的对应于 的特征向量。2. 特征多项式 ，因，
26、故0，此为特征多项式，矩阵 称为特征矩阵。3. 特征值的性质 设 是 A的特征值，则； 4. 求特征值、特征向量的方法方法一：设 ，则由0 求出 A的全部特征值 ，再有齐次线性方程组求出 A的对应于特征值 的特征向量。基础解系即是A的对应于 的线性无关特征向量，通解即是A的对应于 的全体特征向量。( 除 0 向量 ) 方法二： 利用定义， 凡满足关系式 的数即是A的特征值， 即是 A对应于 的特征向量。一般用于抽象矩阵，或元素为文字的矩阵。P269 二、相似矩阵、矩阵的相似对角化1. 相似矩阵 设 A、B都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得，则称 A相似于 B，记成 。若 ，其中 是对角阵
27、，则称A可相似化。 是A的相似标准型。2. 矩阵可相似对角化的充要条件n 阶矩阵 A可对角化A有 n 个线性无关的特征向量。是的特征值A的对应于 的特征向量线性无关。n 阶矩阵 A有 n 个互不相同的特征值 ，A有 n 个线性无关特征向量A可相似于对角阵。是 n 阶矩阵 A的 重特征值，则其对应的线性无关特征向量个数个n 阶矩阵 A 可相似对角化A 的每一个 重特征值对应的线性无关特征向量个数等于该特征值的重数 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 当 A 的 重特征值 对应的线性无关特征向量个数少于特征值的重数 时， A 不能相似于对角阵。3. 性质 反身性对称性若 ， 传递性4. 两个矩阵相似的必要条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -