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1、Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University PhysicsZhongfeng XuXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University Physics 平行轴定理及平行轴定理及垂直轴定理垂直轴定理zLCMz2MLJJz zJz 刚体绕通过质心轴的转动惯量刚体绕通过质心轴的转动惯量例如例如:zMLz222231411212MLMLMLLMJJZZ 平行轴定理平行轴定理 (Parallel-Axis Theorem)zxy 薄板薄板yxzJJJ (薄板薄板)垂直轴定理垂直轴定理
2、xy 轴轴 在薄板内在薄板内 z 轴轴 垂直于薄板垂直于薄板例如例如: yx z 圆盘圆盘 R C m221mRJzyxzJJJyxJJ 241mRJJyxXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University PhysicsCzMzJz zJroririLoiirrr mioioiirrrrr2222LxLrii222x)2(222LxLrmrmiiiiiiiczMLxMLJ222MLJJzzOLMxMLxmMLxmCiiii)()(Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010Universit
3、y Physics四四. 转动定律的应用举例转动定律的应用举例FOr(1) 飞轮的角加速度飞轮的角加速度; (2) 如以重量如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度.解解 (1)JFr 2rad/s 239502098.JFrmaTmg(2)JTr ra 两者区别两者区别gmT例例求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计，绳与滑轮间无相对滑动，不计，绳与滑轮间无相
4、对滑动，(见图见图)2mrJmgr22rad/s 8212010502098.TXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University Physics一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动面内转动（光滑无摩擦）（光滑无摩擦），初始时它在水平位置，初始时它在水平位置求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 和和 OlmCx解解mxggmxMzdd取一质元取一质元CmxmxdCzmgxM 重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩重力对整个棒的合力矩等于重力
5、全部集中于质心所产生的力矩dmcos21mglMzlgmlmglJMz2cos33cos212gm例例lgt2cos3ddddlg00d2cos3dlgsin3Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University Physics匀质圆盘以匀质圆盘以 0 在水平桌面上转动在水平桌面上转动,受摩擦力而静止受摩擦力而静止解解rrsmd2ddmgrfrMzdddRzzMM0d例例求求 到圆盘静止所需到圆盘静止所需时间时间取一质元取一质元摩擦力矩摩擦力矩RmgRrrgR32d202tJMzddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt4
6、30由转动定律由转动定律Rg34tRgt340tRg34022132mRmgR Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University Physics例例 一个刚体系统，如图所示，一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量已知，转动惯量231mlJ ，现有一水平力作用于距轴为，现有一水平力作用于距轴为 l 处处求求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。轴对棒的作用力（也称轴反力）。解解 设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 NyxNN ,JFl 由质心运由质心运动定理动定理2lmmaNFcxx022lmmamgNcyy) 123(2llFFJFlml
7、NxmgNyl l320 xN打击中心打击中心质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用xNyNOCgm lF质点系质点系由转动定律由转动定律Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University Physics6.2 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理一一. 转动动能转动动能z OirivimPNimmmm,.,.,21NiNirrrrvvvv,.,., .,.,21,21221iikimEv2221iirm)21(22iikirmE刚体对定轴的总动能刚体对定轴的总动能为为2221iirm221JEk,
8、,其动能为其动能为F rrdd设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元取第取第 i 个质元个质元定轴转动刚体的动能等于转动惯量与其角速度平方乘积的一半定轴转动刚体的动能等于转动惯量与其角速度平方乘积的一半结论结论转动物体具有转动物体具有储能储能、稳速稳速等作用：等作用：各质元速度不同，各质元速度不同，但角速度相同但角速度相同二二. 力矩的功力矩的功sFAdcosddrFdcosFrdrFdMXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University PhysicsddMA (力矩的功就是力的功力矩的功就是力的功) l 对一有限过程对一有限
9、过程21dMA若若 M = C)(12 MA( ( 积分形式积分形式 ）(2) 内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。讨论讨论(1) 合力矩的功合力矩的功 iiiiiiAMMMA212121d)d(d三三. 转动动能定理转动动能定理 合力矩功的效果合力矩功的效果kEJd)21d(2ddMA d)ddd(JtJ对于一有限过程对于一有限过程2121)21d(d2JAA21222121JJkE绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有作用在刚体上所有外力所作功外力所作功的总和。的总和。 动能定理动能定理Xu Zhongf
10、eng, Xian Jiaotong University, 2010University Physics刚体的机械能刚体的机械能pkEEE刚体重力势能刚体重力势能CmghJE221iipghmECiimghmhmmg质心的势能质心的势能ch0PECimih刚体的刚体的机械能机械能C212CmghJl 刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University Physics例例 一根长为一根长为 l ，质量为，质
11、量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解cos21mglM 00dcos2dmglMA由动能定理由动能定理0212J0sin2lmglgsin32231mlJ 2/1)sin3(lg求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 和和 OlmCxgmtlgtddcos3dd2lgt2cos3dd此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解0sin21212mglJXu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University Physics图
12、示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转装在转动架上，转轴动架上，转轴Z上装一半径为上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。的重物。重物下落时，由绳带动被测物体重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕绕 Z 轴转动。今测得轴转动。今测得重物由静止下落一段距离重物由静止下落一段距离 h，所用时间为，所用时间为t，例例解解 01kE2/2/222ZkJmEv)2( / )(222rJmrZv分析（机械能）：分析（机械能）： mghEEEPPp12求求 物体物体A对对Z 轴的转动惯量轴的转动惯量Jz。设绳子。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。处的摩擦力矩忽略不计。Xu Zhongfeng, Xian Jiaotong University, 2010University Physics)(2222ZJmrrmghv)(21dd2dd22ZJmrrtthmgvvatthdd ddvv，ZJmrmgra220)2()(222r/JmrmghZv机械能守恒机械能守恒常量) 12(22hgtmrJZ22222121tJmrmgrathZ若滑轮质量不可忽略，怎样？若滑轮质量不可忽略，怎样？