二次函数最大利润问题.pdf

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1、二次函数最大利润问题44.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50 元，为了合理定价， 投放市场进行试销据市场调查，销售单价是100 元时，每天的销售量是50 件，而销售单价每降低1 元，每天就可多售出5 件，但要求销售单价不得低于成本（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000 元，且每天的总成本不超过7000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本 每天的销售量）45.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可

2、售出500 千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克 . （1）设每天盈利w 元，求出w 关于 x 的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000 元？（2）若该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？46.某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20 元的护眼台灯 销售过程中发现， 每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10 x+500 （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获

3、得2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32 元，如果李明想要每月获得的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本进价 销售量）47.某商场将每件进价为160 元的某种商品原来按每件200 元出售，一天可售出100 件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2 元，其销量可增加10 件（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元若商场经营该商品一天要获利润4320 元，则每件商品应降价多少元？求出 y 与 x 之间的函数关系式，当x 取何值时，商场获利

4、润最大？并求最大利润值48.某工艺品厂生产一款工艺品已知这款工艺品的生产成本为每件元经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量件与售价元之间存在着如下表所示的一次函数关系（1）求销售量件与售价元之间的函数关系式；（2）设每天获得的利润为元，当售价为多少时，每天获得的利润最大？并求出最大值. 49.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20 元/件。试营销阶段发现：当销售单价是25 元时，每天的销售量为250 件；销售单价每上涨1 元，每天的销售数量就减少10 件。（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元） 与销售单价（元） 之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利

5、润最大. 50.某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3） 根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32 元，如果李明想要每月获得的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本进价 销售量）51.某宾馆有50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180 元时，房间会全部住满当每个房间

6、每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20 元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元设每个房间的房价增加x 元 （x 为 10的正整数倍）（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w 元，求 w 与 x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？52.某文具店销售一种进价为每本10 元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y 与销售单价x 之间的关系可以近似地看作一次函数：y=-5x+150 ，物价部门规定这

7、种笔记本每本的销售单价不得高于18 元. （1）当每月销售量为70 本时，获得的利润为多少元？（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w 元，求每月获得的利润w 元与销售单价x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. （3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？53.某种商品的进价为每件50 元，售价为每件60 元，每个月可卖出200 件；如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖10 件（每件售价不能高于72 元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数） ，每个月的销售利润为y 元。（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为

8、多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少。54.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价（元 /台） 与采购数量（台）满足（，为整数）；冰箱的采购单价（元 /台）与采购数量（台）满足（，为整数）（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200 元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760 元台和1700 元台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润55.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果,他俩商定：张经理的采购价元/吨与采购量吨之间函数关系的图象如图中的折线段所示

9、（不包含端点,但包含端点） .（1）求与之间的函数关系式；（2）已知老王种植水果的成本是2800 元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润最大？最大利润是多少？56.某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元? （2）设

10、商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求 y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?（其它销售条件不变）57.国家推行 “ 节能减排低碳经济 ” 政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2 万元 ,花 50 万元购进A 型汽车的数量与花40 万元购进B 型汽车的数

11、量相等，销售中发现A 型汽车的每周销量（台）与售价（万元 /台）满足函数关系式，B 型汽车的每周销量（台） 与售价万元 /台）满足函数关系式（1）求 A、B 两种型号的汽车的进货单价；（2）已知 A 型汽车的售价比B 型汽车的人售价高2 万元 /台，设 B 型汽车售价为万元 /台每周销售这两种车的总利润为万元，求与的函数关系式，A、 B 两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？58.（1）已知方程x2pxq0（p24q0）的两根为x1、x2，求证：x1x2p，x1 x2q（2）已知抛物线yx2pxq 与 x 轴交于点A、B，且过点（ 1，1），设线段A

12、B 的长为 d，当p 为何值时， d2取得最小值并求出该最小值59.已知关于x 的一元二次方程kx2+（3k+1） x+3=0（k ）。（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）若二次函数y= kx2+（3k+1）x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k的值。60.某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元则每个月少卖10 件 （每件售价不能高于65 元） 设每件商品的售价上涨x 元 （x 为正整数），每个月的销售利润为y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（

13、2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200 元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200 元?44.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（1）根据 “ 利润 =（售价 -成本） 销售量 ” 列出方程；（2）把（ 1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3） 把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（-5x+550） 7000 ，通过解不等式来求x 的取值范围试

14、题解析：（1）y=（x-50）50+5 （100-x） =（x-50）（ -5x+550 ）=-5x2+800 x-27500 y=-5x2+800 x-27500 （50 x 100）；（2）y=-5x2+800 x-27500 =-5（x-80）2+4500 a=-50，抛物线开口向下50 x100 ，对称轴是直线x=80，当 x=80 时， y最大值=4500；（3）当 y=4000 时， -5（x-80）2+4500=4000，解得 x1=70，x2=90当 70 x90 时，每天的销售利润不低于4000 元由每天的总成本不超过7000 元，得 50（ -5x+550）7000 ，解得

15、 x82 82x90 ，50 x100 ，销售单价应该控制在82 元至 90 元之间答案：（ 1） y=-5x2+800 x-27500 ；（ 2） x=80 时， y最大值=4500；（ 3） 销售单价应该控制在82 元至90 元之间45.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（1）设每千克涨价x 元，利润为y 元，根据总利润=每千克利润 数量建立式子，求出y与 x 之间的关系，化成顶点式即可求出结论，（2）把 y=6000 代入（ 1）的解析式，根据题意使顾客得到实惠就可以得出结论试题解析：（1）设每千克涨价x 元，利润为y 元，由题意，得：a=200，抛物线开口向下，当x=7

16、.5 时， y最大值=6125，每天盈利不能达到8000 元（2）当 y=6000 时，解得：，要使顾客得到实惠，x=5答：每千克应涨价为5 元答案：（ 1），不能；（ 2）546.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价 -进价） 销售量，从而列出关系式，然后求二次函数的最大值；（2）令 w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本试题解析：解：（1）由题意，得：w = （x20） y=（x20）（）. 答：当销售单价定为35 元时，每月可获得最大利润.

17、 （2）由题意，得：解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40答：李明想要每月获得2000 元的利润，销售单价应定为30 元或 40 元. （3），抛物线开口向下. 当 30 x40 时， w2000 x32 ，当 30 x32 时， w2000.设成本为P（元），由题意，得：，P 随 x 的增大而减小.当 x = 32 时， P最小3600. 答：想要每月获得的利润不低于2000 元，每月的成本最少为3600 元答案：见解析47.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（ 1）利润 =单价利润 数量；（ 2）根据题意列出关于x 的一元二次方程进行求解；利用二次函数的性质求出x 和

18、 y 的值 . 试题解析：（1）100 （200160）=4000（元）、 、根据题意得：（200 160 x）（ 100+5x）=4320 化简得：20 x+64=0 解得：=4 =16 经检验=4，=16 都是原方程的解，且符合题意. 答：商店一天要获利4320 元，则商品应降价4 元或 16 元. 、根据题意得：y= （200160 x）（ 100+5x）=5+4500 当 x=10 时，商场获得最大利润为4500 元.答案：（ 1） 4000 元（2）4 或 16 x=10 时， 4500 元48.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（1）设 y=kx+b （k0 ），然

19、后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）根据定价求出销售量，再根据利润等于每一件的利润乘以销售量计算即可得解试题解析：（1）设y=kx+b（k0），x=70 时， y=3000，x=90 时， y=1000，解得，所以 y=-100 x+10000 ；（2）定价为80 元时， y=-100 80+10000=2000，每天获得的利润=（80-60） 2000=40000 元答案：（ 1） y=-100 x+10000 ；（ 2） 定价为 80 元, 40000 元49.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（1）根据利润 =（单价 -进价） 销售量，列出函数关系式即可；（2）根

20、据（ 1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；试题解析：（1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10 x+500 ，则 w=（x-20）（ -10 x+500 ）=-10 x2+700 x-10000 ；（2）w=-10 x2+700 x-10000=-10 （ x-35）2+2250-100，函数图象开口向下，w 有最大值，当 x=35 时， wmax=2250，故当单价为35 元时，该文具每天的利润最大.答案： (1) w=-10 x2+700 x-10000;(2) 单价为 35 元时，该文具每天的利润最大.50.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（ 1）

21、根据每月获得利润=一件的利润 每月销售量，用x 表示出 W，然后根据二次函数知识解决问题； （2） 令 W=2000. 得，解方程即可； （3） 由 （2） 可得，又物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32 元，所以，. 试题解析： （1）（x20） （ 10 x +500）=，所以当x =35 时，2250 （2）令 W=2000 ，则，解得：（3）由题意得：且，当，成本满足，所以成本最少要3600 元答案：见解析51.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（ 1） 理解每个房间的房价每增加x 元，则减少房间间，则可以得到y 与 x 之间的关系；（2）每个房间订住后每间的

22、利润是房价减去20 元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；（3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及x 的范围即可求解试题解析：（1）由题意得：y=50-，且 0 x 160，且 x 为 10 的正整数倍（2）w=（180-20+x）（ 50-），即 w=-x2+34x+8000；（3）w=-x2+34x+8000=-（x-170）2+10890 抛物线的对称轴是：x=170，抛物线的开口向下，当x170 时， w 随 x 的增大而增大，但 0 x160，因而当x=160 时，即房价是340 元时，利润最大，此时一天订住的房间数是：50-=34 间，最大利润是：34 （340-2

23、0）=10880 元答：一天订住34 个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880 元答案：（ 1） y=50-，且 0 x160，且 x 为 10 的正整数倍（2）w=-x2+34x+8000 ；（ 3）一天订住 34 个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880 元52.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（1）当 y=70 时， 70=-5x+150 解得 x=16 (16-10) 70=420 元. （2）（ x-10） （ -5x+150 ）= 自变量的取值范围为（3） a=-50 当时， w 随 x 的增大而增大， 当 x=18 时， w 有最大值 =480

24、元答：当销售单价定为18 元时，每月可获得最大利润，最大利润为480 元.答案：（ 1） 420 元；（ 2）（）；（ 3）当销售单价定为18 元时，每月可获得最大利润，最大利润为480 元53.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（1）根据题意， y=（60-50+x ）（ 200-10 x）, 整理得， y=10 x2+100 x+2000 （0 x 12 ）；（2）由（ 1）得 y=-10 x2+100 x+2000 =10（x-5）22250，当 x=5 时，最大月利润y 为 2250 元。定价65 元答案：（ 1） y=10 x2+100 x+2000 （0 x 12

25、）；（ 2）定价 65 元时，最大月利润y 为 2250 元。54.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（ 1）设空调的采购数量为x 台，则冰箱的采购数量为（20 x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x 的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；（2）设总利润为W 元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W 与 x 的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可试题解析：（1）设空调的采购数量为x 台，则冰箱的采购数量为（20 x）台，由题意得，解不等式 得，解不等式 得，所以，不等式组的解集是，x 为正整数，x 可取的值为11、

26、12、13、14、 15，所以，该商家共有5 种进货方案；（2）设总利润为W 元，空调的采购数量为x 台，则 W=，当时， W 随 x 的增大而增大，当 x=15 时， W最大值=（元），答：采购空调15 台时，获得总利润最大，最大利润值为10650 元答案：（ 1） 5；（ 2）15，1065055.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（1）根据函数图象得出分段函数解析式，注意x 的取值范围；（2）利用函（ 1）中函数解析式表示出w，进而利用函数性质得出最值试题解析：（1）根据图象可知当0 x20时，（2）根据上式以及老王种植水果的成本是2 800 元/吨，由题意得：当0 x2

27、0时，W= （8000-2800）x=5200 x，W 随 x 的增大而增大，当x=20 时， W最大=520020=104000 元，当 20 x40时，W= （-200 x+12000-2800 ）x=-200 x2+9200 x，当 x=23 时，W最大=105800 元故采购量为23 吨时，老王在这次买卖中所获的利润W 最大，最大利润是105800 元答案：采购量为 23吨时，老王在这次买卖中所获的利润W 最大，最大利润是105800 元56.考点： 2.4 二次函数的应用试题解析：（1）设件数为x，依题意，得300010（ x10） =2600，解得 x=50 。答：商家一次购买这种

28、产品50 件时，销售单价恰好为2600 元。（2）当 0 x10 时， y=（30002400）x=600 x；当 10 x50时， y=3000 10（x10） 2400 x ，即 y=10 x2+700 x；当 x50 时， y=（ 26002400）x=200 x 。（3）由 y=10 x2+700 x 可知抛物线开口向下，当时，利润y 有最大值，此时，销售单价为300010（x 10）=2750 元，答：公司应将最低销售单价调整为2750 元。答案：（ 1）商家一次购买这种产品50 件时，销售单价恰好为2600 元。（ 2）。（ 3）公司应将最低销售单价调整为2750 元。57.考点：

29、 2.4 二次函数的应用试题解析：试题分析：（1）设 A 种型号的汽车的进货单价为m 万元，根据花50 万元购进 A 型汽车的数量与花40 万元购进B 型汽车的数量相等，可列出方程=，解方程即可； （ 2）根据每周销售这两种车的总利润=每周销售 A 型汽车的利润 +每周销售 B 型汽车的利润，可求出与的函数关系式，然后利用二次函数的性质可解决问题. 试题解析：解：（1）设 A 种型号的汽车的进货单价为m 万元，依题意得：=，解得： m=10，检验： m=10 时， m 0 ，m20 ，故 m=10 是原分式方程的解，故 m2=8答： A 种型号的汽车的进货单价为10 万元， B 种型号的汽车的

30、进货单价为8 万元；6 分（2）根据题意得出：W= （t+210）（ t+2） +20+（t8）（ t+14）=2t2+48t256，=2（t12）2+32，a=20，抛物线开口向下，当 t=12 时， W 有最大值为32，12+2=14，答： A 种型号的汽车售价为14 万元 /台， B 种型号的汽车售价为14 万元 /台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32 万元答案：（ 1） A 种型号的汽车的进货单价为10 万元， B 种型号的汽车的进货单价为8 万元（ 2）A 种型号的汽车售价为14 万元 /台， B 种型号的汽车售价为14 万元 /台时，每周销售这两种车的总利润最大，最

31、大总利润是32 万元58.考点： 2.5 二次函数与一元二次方程试题解析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】（2）解：把（ 1， 1）代入 y=x2+px+q 得 p q=2，即 q=p2。设抛物线y=x2+px+q 与 x 轴交于 A、B 的坐标分别为（x1，0）、（ x2，0）。d=|x1x2|，d2=（x1x2）2=（x1+x2）24 x1?x2=p24q=p24p+8=（p2）2+4。当 p=2 时， d 2的最小值是4。答案：（1） 证明： a=1，b=p，c=q，p24q0

32、 ， （2） 当 p=2 时，d 2的最小值是4。59.考点： 2.5 二次函数与一元二次方程试题解析：试题分析：（1）先计算判别式得值得到 =（3k+1 ）2-4k 3=（3k-1）2，然后根据非负数的性质得到0 ，则根据判别式的意义即可得到结论；（2） 先由求根公式得到kx2+ （3k+1 ） x+3=0（k0 ） 的解为 x1=-，x2=-3，则二次函数y=kx2+ （3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为-和-3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值试题解析：（1）证明： =（3k+1）2-4k 3 =（3k-1）2，（ 3k-1）2，0 ， 0 ，无论 k 取何值，方程总

33、有两个实数根；（2）解： kx2+（3k+1）x+3=0 （k0 ）x=，x1=-，x2=-3，所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标分别为-和-3，根据题意得 -为整数，所以整数k 为 1答案：（ 1）证明见解析；（2）整数 k 为 160.考点： 2.5 二次函数与一元二次方程试题解析：试题分析：（1）根据题意可知y 与 x 的函数关系式（2）根据题意可知y=-10- （ x-5.5）2+2402.5，当 x=5.5 时 y 有最大值（3）设 y=2200，解得 x 的值然后分情况讨论解试题解析：（1）由题意得： y=（210-10 x）（ 50+x-

34、40）=-10 x2+110 x+2100 （0 x 15 且 x 为整数）；（2）由（ 1）中的 y 与 x 的解析式配方得：y=-10（x-5.5）2+2402.5a=-100，当 x=5.5 时， y 有最大值2402.50 x15 ，且 x 为整数，当 x=5 时， 50+x=55，y=2400（元），当x=6 时， 50+x=56， y=2400（元）当售价定为每件55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400 元（3）当 y=2200 时， -10 x2+110 x+2100=2200 ，解得： x1=1，x2=10当 x=1 时， 50+x=51，当 x=10 时，

35、 50+x=60 当售价定为每件51 或 60 元，每个月的利润为2200 元当售价不低于51 或 60 元，每个月的利润为2200 元当售价不低于51 元且不高于60 元且为整数时，每个月的利润不低于2200 元（或当售价分别为51，52， 53,54，55，56，57，58，59，60 元时，每个月的利润不低于2200 元）答案：（ 1）y=-10 x2+110 x+2100（0 x 15 且 x 为整数）；（ 2）当售价定为每件55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400 元（3） 当售价不低于51 或 60 元，每个月的利润为2200 元当售价不低于51 元且不高于60 元且为整数时，每个月的利润不低于2200 元