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1、学习必备欢迎下载二次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题例 1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过 A（ 2， 4） ，O（ 0，0） ，B（2，0）三点（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值解析：（1）把 A（ 2， 4） ，O（0，0） ，B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a= ，b=1 ，c=0 所以解析式为y= x2+x （2）由 y= x2+x= （x 1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1 ，并且对称轴垂直平分线段OB OM=BM OM+AM=BM+
2、AM 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时OM+AM最小过点 A 作 AN x 轴于点 N ，在 Rt ABN 中， AB=4，因此 OM+AM最小值为方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A、B，求 AM+BM最小值的问题，我们只需做出点 A 关于这条直线的对称点A，将点 B 与 A连接起来交直线与点M ，那么 AB 就是 AM+BM的最小值。 同理， 我们也可以做出点B 关于这条直线的对称点B，将点 A 与 B连接起来交直线与点M ，那么 AB就是 AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。A A B B M 或者MAB例 2：已知抛物线1C的函数解析式
3、为23 (0)yaxbxa b，若抛物线1C经过点(0,3)，方程230axbxa的两根为1x，2x，且124xx。（1）求抛物线1C的顶点坐标 . （2）已知实数0 x，请证明：1xx2,并说明x为何值时才会有12xx. （3） 若抛物线先向上平移4 个单位， 再向左平移1 个单位后得到抛物线2C，设1( ,)A m y，2( ,)B n y是2C上的两个不同点，且满足：090AOB，0m，0n.请你用含有m的表达式表示出AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。解析：（ 1）抛物线过（ ,）点， 3a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
4、结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载ax2bxx2bx = 的两根为x1,x2且21x-x21221214)(xxxxxx且bbx2x（x）抛物线的顶点坐标为（，）（2）x，0)1(212xxxx, 21xx显然当x时，才有,21xx（3）方法一：由平移知识易得的解析式为： yx2(m，m)，B（n，n） AOB为 Rt OA+OB=ABmmnn（mn）（mn）化简得：m nAOB=OBOA21=424221nnmmm nAOB22221221221mmnm1221121)1(212mmmmAOB的最小值为，此时m ,(,) 直线OA的一次函数解析式为x方法提
5、炼：已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。因为 |x1-x2|=212214 xx)x(x可得到：根公式根据一元二次方程的求;24;242221aacbbxaacbbx.;2121acxxabxx，取得最小值。时，当211);(,21mmmommm例 3：如图，已知抛物线经过点A（ 1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与B，C 重合），过 M 作 MN y 轴交抛物线于N ，若点 M 的横坐标为m ，请用 m 的代数式表示MN 的长（3）在（ 2）的条件下，连接NB 、NC，是否存在m ，使BNC 的面积最大？若
6、存在，求m 的值；若不存在，说明理由解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a （x+1 ） （x3） ，则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载a（0+1 ） （03）=3 ，a= 1；抛物线的解析式：y= （ x+1 ） （x3）= x2+2x+3 （2）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b，则有：，解得；故直线 BC 的解析式： y= x+3 已知点 M 的横坐标为m ，则 M （m ， m+3 ） 、N （m ， m2+2m+3） ；故 MN= m2+2m+3（ m+3 ）= m2+3m （0
7、m 3） （3）如图； S BNC=S MNC+S MNB=MN （OD+DB ）=MN OB， S BNC=（ m2+3m ）3= （m）2+（0m 3） ；当 m=时，BNC 的面积最大，最大值为方法提炼：因为 BNC 的面积不好直接求，将BNC 的面积分解为 MNC 和 MNB 的面积和。 然后将BNC 的面积表示出来，得到一个关于m 的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例 4：如图，已知：直线3xy交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线y=ax2
8、+bx+c经过 A、B、C（1，0）三点 . （1）求抛物线的解析式; （2）若点 D 的坐标为（ -1 ，0），在直线3xy上有一点P,使 ABO 与 ADP 相似，求出点P的坐标；（3）在（ 2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E，使 ADE 的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由解： （1） ：由题意得，A（3，0） ，B（0， 3）抛物线经过 A、B、C 三点，把 A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入2yaxbxc=+得方程组03039cbaccba解得：341cba抛物线的解析式为243yxx=-+精选学习资料
9、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载（2）由题意可得：ABO为等腰三角形,如图所示，若ABOAP1D，则1DPOBADAO DP1=AD=4 , P1(1,4)-若ABOADP2 ，过点 P2作 P2 Mx 轴于 M ，AD=4, ABO 为等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M ，即点 M 与点 C 重合P2（ 1，2）（3）如图设点E ( , )x y，则|2|21yyADSADE当 P1(-1,4) 时，S四边形 AP1CE=S ACP1+S ACE |2214221y=
10、 4y+24yy=+4y =点 E在 x 轴下方4y = -代入得：2434xx-+= -,即0742xx =(-4)2-4 7=-120 此方程无解当 P2（1，2）时， S四边形 AP2CE=S三角形 ACP2+S三角形 ACE = 2y+22yy=+2y =点 E在 x 轴下方2y = -代入得：2432xx-+= -即0542xx， =(-4)2-4 5=-40 此方程无解综上所述，在x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E。方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。要求一个动点使
11、两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。例 5：如图，点A 在 x 轴上， OA=4 ，将线段OA 绕点 O 顺时针旋转120 至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点AO、 B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由解析：（1）如图，过B 点作 BCx轴，垂足为C，则BCO=90 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
12、纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载AOB=120 ，BOC=60 ，又OA=OB=4 ， OC= OB= 4=2 ， BC=OB?sin60 =4 =2，点 B 的坐标为（2， 2） ；（2）抛物线过原点O 和点 AB，可设抛物线解析式为y=ax2+bx ，将 A（4，0） ，B（ 2 2）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y= x2+x （3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2 ，直线 x=2 与 x 轴的交点为D，设点 P 的坐标为（ 2，y） ，若 OB=OP ，则 22+|y|2=42，解得 y= 2，当 y=2时，在 Rt POD 中，PDO=
13、90 ，sin POD=，POD=60 ，POB= POD+ AOB=60 +120 =180 ，即 P、O、B 三点在同一直线上， y=2不符合题意，舍去，点 P 的坐标为（ 2， 2）若 OB=PB ，则 42+|y+2|2=42，解得 y= 2，故点 P 的坐标为（ 2， 2） ，若 OP=BP ，则 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y= 2，故点 P 的坐标为（ 2， 2） ，综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2， 2） ，方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就
14、可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例 6：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+2x+3与 x 轴交于 AB 两点，与y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载（1）求直线 AC 的解析式及B，D 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过P 作直线 l AC 交抛物线于点Q，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点 AP、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q
15、的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC 上找一点M ，使BDM 的周长最小，求出M 点的坐标解析：（1）当 y=0 时， x2+2x+3=0，解得 x1= 1，x2=3 点 A 在点 B 的左侧， AB 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） 当 x=0 时， y=3 C 点的坐标为（ 0，3）设直线 AC 的解析式为y=k1x+b1（k1 0） ，则，解得，直线 AC 的解析式为y=3x+3 y= x2+2x+3=（ x 1）2+4 ，顶点 D 的坐标为（ 1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，当点 Q 在 Q1位置时， Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（ 2，3）
16、 ；当点 Q 在点 Q2位置时，点Q2的纵坐标为 3，代入抛物线可得点Q2坐标为（ 1+， 3） ；当点 Q 在 Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（ 1， 3） ；综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q1（2，3） ，Q2（1+， 3） ，Q3（1， 3） （3）点 B 作 BB AC 于点 F，使 B F=BF ，则 B为点B 关于直线AC 的对称点连接 B D 交直线 AC 与点 M ，则点 M 为所求，过点 B作 B Ex 轴于点 E 1 和2 都是3 的余角， 1= 2 Rt AOC Rt AFB，由 A（ 1，0） ，B（3，0） ，C（0，3
17、）得 OA=1 ，OB=3 ，OC=3 ， AC=，AB=4 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载 BF=， BB =2BF=，由1= 2 可得 Rt AOC Rt B EB，即 B E=， BE=， OE=BE OB= 3= B点的坐标为（，） 设直线 B D 的解析式为y=k2x+b2（k20） ，解得，直线 BD 的解析式为： y=x+，联立 BD 与 AC 的直线解析式可得：，解得， M 点的坐标为（，） 方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需
18、要分三种情况来讨论。题型四：二次函数与圆的综合问题例 7： 如图，半径为 2 的C与 x 轴的正半轴交于点A， 与 y 轴的正半轴交于点B， 点 C 的坐标为（1， 0） 若抛物线233yxbxc过 A、B 两点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得PBO= POB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在说明理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载（3）若点 M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，MAB的面积为S，求 S 的最大（小）值解析：（1）如答图1，连接 OB BC=2
19、 ， OC=1 OB=413 B（ 0，3）将 A（3，0） ，B（0，3）代入二次函数的表达式得393033bcc，解得：2 333bc，232 3333yxx（2）存在如答图 2，作线段OB 的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P B（ 0，3） ，O（0，0） ，直线 l 的表达式为32y代入抛物线的表达式，得232 333332yxx；解得1012x， P（103122，） （3）如答图 3，作 MHx 轴于点 H设 M （mmxy，） ，则 S MAB=S梯形 MBOH+S MHAS OAB=12（MH+OB） ?OH+12HA?MH12OA?OB=111(3)(3)33222mmm
20、myxxy=3333222mmxy232 3333mmmyxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载2 MAB3332 33 3(3)22332mmmSxxx=2233 3339 3()22228mmmxxx当32mx时， MABS取得最大值，最大值为9 38题型五：二次函数中的证明问题例 8：如图 11，已知二次函数)(2(481baxxy的图像过点A(-4 ，3）， B(4，4). （1）求二次函数的解析式：（2）求证： ACB 是直角三角形；（3）若点 P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点
21、P 作 PH 垂直 x 轴于点 H，是否存在以P、H、D 、为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。解：（ 1）将 A(-4 ，3）， B(4 ，4)代人)(2(481baxxy中，整理得：32472-4baba解得20-13ba二次函数的解析式为：)20-13)(2(481xxy，整理得：整理040-6132xx1320,221xx（2）由C （ -2 ，0） D ），（01320从而有： AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65 AC2+ BC2=AB2故ACB 是直角三角形（3）设)65-8148
22、13(2xxxp，（X0 ）PH=65-8148132xxHD=x-1320AC=13BC=132当PHD ACB 时有：BCHDACPH即：132-13201365-8148132xxx整理039125-4524132xx1350-1x13202x（舍去）此时，13351y），13351350(-1p当DHP ACB 时有：BCPHACDH65-8148132xxy065-8148132xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载即：13265-81481313-13202xxx整理078305-817
23、48132xx13122-1x13202x（舍去）此时，132841y），1328413122(-2p综上所述，满足条件的点有两个即），13351350(-1p），1328413122(-2p例 9： 在平面直角坐标系xOy 中，点 P 是抛物线： y=x2上的动点（点在第一象限内）连接OP，过点 0作 OP 的垂线交抛物线于另一点Q 连接 PQ，交 y 轴于点 M 作 PA 丄 x 轴于点 A，QB 丄 x 轴于点 B设点 P 的横坐标为m（1）如图 1，当 m=时，求线段 OP 的长和 tan POM 的值；在 y 轴上找一点C，使OCQ是以 OQ 为腰的等腰三角形，求点C 的坐标；（2）
24、如图 2，连接 AM 、BM ，分别与 OP、OQ 相交于点D、E用含 m 的代数式表示点Q 的坐标；求证：四边形ODME是矩形解析：（1）把 x=代入y=x2，得 y=2 ，P（，2） ，OP= PA 丄 x 轴，PA MO tan P0M=tan 0PA=设Q（ n，n2） ，tan QOB=tan POM， n= Q（，） ，OQ=当 OQ=OC 时，则 C1（0，） ，C2（0，） ；当 OQ=CQ 时，则C3（0， 1） （2）P（m， m2） ，设Q（n，n2） ，APOBOQ，得 n=，Q（，） 设直线 PO 的解析式为： y=kx+b，把 P（m，m2） 、Q（，）代入，得：解
25、得 b=1 ，M（ 0， 1），QBO= MOA=90 ，QBOMOAMAO= QOB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载 QO MA同理可证：EM OD又EOD=90 ，四边形 ODME是矩形题型六：自变量取值范围问题例 10 ：如图， 在平面直角坐标系xOy 中，四边形 ABCD 是菱形， 顶点 ACD 均在坐标轴上， 且 AB=5 ，sinB=（1）求过 ACD 三点的抛物线的解析式；（2）记直线 AB 的解析式为y1=mx+n， （1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当 y1y
26、2时，自变量 x 的取值范围；（3）设直线 AB 与（ 1）中抛物线的另一个交点为E，P 点为抛物线上AE 两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值解析：（1）四边形 ABCD 是菱形， AB=AD=CD=BC=5， sinB=sinD=；Rt OCD 中，OC=CD?sinD=4， OD=3 ；OA=AD OD=2 ，即：A（ 2， 0） 、B（ 5，4） 、C（0，4） 、D（3，0） ；设抛物线的解析式为：y=a （x+2 ） （x3） ，得：2（3）a=4 ，a= ；抛物线： y= x2+x+4 （2）由 A（ 2，0） 、B（ 5，4）得直线AB：y1
27、= x；由（ 1）得： y2= x2+x+4 ，则：，解得：，；由图可知：当y1y2时， 2 x5（3）S APE=AE?h ，当 P 到直线 AB 的距离最远时，S ABC最大；若设直线L AB，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线 L：y= x+b ，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，x+b= x2+x+4 ，且=0 ；求得： b=，即直线L：y= x+；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载可得点 P（，） 由（ 2）得： E（5，） ，则直线PE：y= x+9 ；则点
28、F（， 0） ，AF=OA+OF=；PAE的最大值： S PAE=S PAF+S AEF=（+） =综上所述，当P（，）时，PAE的面积最大，为题型七：二次函数实际应用问题例 11 ：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= 2x+100 （利润 = 售价制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品
29、的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解析：（1） z= （x18）y= （x18 ） （ 2x+100 ）= 2x2+136x 1800 ，z 与 x 之间的函数解析式为z= 2x2+136x 1800 ；（2）由 z=350 ，得 350= 2x2+136x 1800 ，解这个方程得x1=25 ，x2=43 所以，销售单价定为25 元或 43 元，将 z2x2+136x 1800 配方，得z= 2（x34 ）2+512 ，因此，当销售单价为34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512 万元；（3）结合（ 2）及函数z= 2x2+136x 1800 的图象（如图所示）可知，当 25 x 43时 z 350 ，又由限价32 元，得 25 x 32 ，根据一次函数的性质，得y= 2x+100中 y 随 x 的增大而减小，当 x=32时，每月制造成本最低最低成本是18 （2 32+100）=648 （万元），因此，所求每月最低制造成本为648 万元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页