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1、- 1 - 高中平面解析几何知识点总结一. 直线部分1直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角 . 倾斜角)180,0,90斜率不存在 . （2）直线的斜率：tan),(211212kxxxxyyk两点坐标为111(,)P xy、222(,)P xy. 2直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11xxkyy ( 直线l过点),(111yxP，且斜率为k)注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 xx（2）斜截式：bkxy (b为直线l在 y 轴上的截距
2、). （3）两点式：121121xxxxyyyy (12yy，12xx). 注： 不能表示与x轴和y轴垂直的直线； 方程形式为：0)()(112112xxyyyyxx时，方程可以表示任意直线（4）截距式：1byax（ba,分别为x轴y轴上的截距，且0,0 ba） 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线（5）一般式：0CByAx (其中 A、B不同时为 0)一般式化为斜截式：BCxBAy，即，直线的斜率：BAk注： （1）已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或0 x已知直线横截距0 x， 常设其方程为0 xmyx( 直线斜率 k 存在时，m为 k
3、的倒数 ) 或0y已知直线过点00(,)xy，常设其方程为00()yk xxy或0 xx（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页- 2 - 3直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点（2）直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点（3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点4两条直线的平行和垂直：（1）若111:lyk xb，222:lyk xb，有2121
4、21,/bbkkll；12121llk k. （2）若0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，有1221122121/CACABABAll且；0212121BBAAll5平面两点距离公式：（1）已知两点坐标111(,)P xy、222(,)Pxy，则两点间距离22122121)()(yyxxPP（2）x轴上两点间距离：ABxxAB（3）线段21PP的中点是),(00yxM，则22210210yyyxxx6点到直线的距离公式：点),(00yxP到直线0CByAxl：的距离：2200BACByAxd7两平行直线间的距离公式：两条平行直线002211CByAxlCByAxl：，：的距离：
5、2221BACCd8直线系方程：（1）平行直线系方程： 直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程 与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC 过点00(,)P xy与直线:0lAxByC平行的直线可表示为：00()()0A xxB yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页- 3 - （2）垂直直线系方程： 与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC 过点00(,)P xy与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为：00()()0B xxA yy（3）定点直线系方程： 经过定点00
6、0(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx( 除直线0 xx), 其中k是待定的系数 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy, 其中,A B是待定的系数（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111CyBxAlCyBxAl：，：交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA ( 除开2l) ，其中是待定的系数9两条曲线的交点坐标：曲线1:( , )0Cfx y与2:( , )0Cg x y的交点坐标方程组( , )0( , )0f x yg x y的解10. 平面和空间直线参数方程： 平面直线方程以向量形式给出：nbynax21方向向量
7、为nns21，下面推导参数方程：tnbytnaxtnbynax2121则有令： 空间直线方程也以向量形式给出：nbznbynax321方向向量为nnns321,，下面推导参数方程：tncztnbytnaxtncznbynax321321则有令：注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线， 例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页- 4 - 二. 圆部分1圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(rbyax（0r） （2）圆的一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx
8、（3）圆的直径式方程： 若),(),(2211yxByxA，以线段AB为直径的圆的方程是：0)()(2121yyyyxxxx注：(1) 在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(ED，FEDr42122（2）一般方程的特点：2x和2y的系数相同且不为零；没有xy项； 0422FED（3）二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的等价条件是：0CA；0B；0422AFED2圆的弦长的求法：（1）几何法： 当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则： “半弦长2+弦心距2=半径2”222)2(rdl；（2）代数法： 设l的斜率为k，l与圆交点分别为),(),(2211yx
9、ByxA，则|11|1|22BABAyykxxkAB（其中|,|2121yyxx的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解）3点与圆的位置关系：点),(00yxP与圆222)()(rbyax的位置关系有三种P在在圆外22020)()(rbyaxrdP在在圆内22020)()(rbyaxrdP在在圆上22020)()(rbyaxrd【P到圆心距离2200()()daxby】4直线与圆的位置关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页- 5 - 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 :
10、 圆心到直线距离为d(22BACBbAad)，由直线和圆联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为0相离rd；0相切rd；0相交rd5两圆位置关系 : 设两圆圆心分别为21,OO，半径分别为21,rr，dOO21条公切线外离421rrd；无公切线内含21rrd；条公切线外切321rrd；条公切线内切121rrd；条公切线相交22121rrdrr6圆系方程：)04(02222FEDFEyDxyx（1）过直线0CByAxl：与圆C:022FEyDxyx的交点的圆系方程：0)(22CByAxFEyDxyx, 是待定的系数（2）过圆1C:011122FyExDyx与圆2C:022222Fy
11、ExDyx的交点的圆系方程：0)(2222211122FyExDyxFyExDyx, 是待定的系数特别地，当1时，2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF就是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页- 6 - 121212()()()0DDxEEyFF表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线7圆的切线方程：（1）过圆222ryx上的点),(00yxP的切线方程为 :200ryyxx（2） 过圆222)()(rbyax上的点),(00yxP的切线方程为 :200)()(rbybyaxax（
12、3） 当点),(00yxP在圆外时，可设切方程为)(00 xxkyy， 利用圆心到直线距离等于半径，即rd，求出k；或利用0，求出k若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0 xx8. 圆的参数方程：圆方程参数方程源于：1cossin22那么1)()2222RbyRax（设：cos)sin)RbyRax（得：cossinRbyRax9把两圆011122FyExDyx与022222FyExDyx方程相减即得相交弦所在直线方程 :0)()()(212121FFyEExDD10对称问题：（1）中心对称： 点关于点对称：点),(11yxA关于),(00yxM的对称点)2,2(1010yyxxA 直
13、线关于点对称：法 1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程法 2：求出一个对称点，在利用21/ ll由点斜式得出直线方程（2）轴对称：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页- 7 - 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上点AA、关于直线l对称上中点在lAAlAA方程中点坐标满足lAAkklAA1 直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）法 1：若ba,相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线l的对称点若la/，则l
14、b/，且ba,与l的距离相等法 2：求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程（3）其他对称：点(a,b) 关于 x 轴对称： (a,-b)；关于 y 轴对称： (-a,b)；关于原点对称： (-a,-b)；点(a,b) 关于直线 y=x 对称： (b,a) ；关于 y=-x 对称： (-b,-a)；关于 y =x+m 对称： (b-m、a+m)；关于 y=-x+m 对称： (-b+m、-a+m). 11若),(),(),(332211yxCyxByxA，则ABC 的重心 G的坐标是33321321yyyxxx，12各种角的范围：直线的倾斜角1800两条相交直线的夹角900两
15、条异面线所成的角900三. 椭圆部分1. 椭圆定义： 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：即MO1+MO2=2a 或定义：任意一条线段， 在线段中任取两点 （不包括两端点），将线段两端点置于这两点处，用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页- 8 - 从椭圆定义出发得到一个基本结论：椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数2a。2. 椭圆性质：由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数，所以从A点向焦点引两条焦半径AO1+AO2=AO2+O2B=2a这是因为 AO1
16、=O2B(由图形比较看出 ) 椭圆的标准方程：12222byax 椭圆参数方程：从圆方程知：Ryx222圆方程参数方程源于：1cossin22所以按上面逻辑将椭圆方程12222byax视为设cossinRyRx得：cossinRRyx同理椭圆参数方程为：cossinbyax得：cossinbayx由于两个焦半径和为2a 所以COCOaCOCO21212得：cCObCOaCOCO21得：baccba22222 椭圆离心率，来源于圆的定义：圆实际上是一种特殊的椭圆，而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了。椭圆离心率为ace精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
17、 - - -第 8 页，共 11 页- 9 - 四. 双曲线部分1. 双曲线定义： 到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形，即：a212MOMO 双曲线的标准方程：12222byax 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的绝对值为常数 2a. aABAQBQABAQAQaABAQAQ22121212 双曲线的渐近线：由标准方程知：axabyaxaby2222222程。以上为渐近线的推导过为渐近线，另一条为又xabyxabyxabxabaxaby222若标准方程为12222axby，那么这时xabyybaybabybax222注意 y 下面对应 b，x 下面对应 a. 取 x=a 及 x=-
18、a 两条直线，它们与渐近线的两个焦点的连线和y 轴的交点称为虚焦点，该轴称为虚轴。 推导 a、b、c 之间的关系：设双曲线上任意一点坐标M （x，y）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页- 10 - 1222222222122212222)()()()(acyaxaycxycxMOMOycxMOycxMO经化简得：设：12222222byaxbac双曲线标准方程为：从而得到 :bac222五. 抛物线部分1. 定义： 到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。为了推导抛物线标准式，设：定直线为x=-p，定点为 O1
19、（p，0） ，（尽管这是一种特殊情况，但同样具有一般性） 设：抛物线上任意一点坐标为M(x，y)M 点到定直线 x=-p 的距离为pxM 点到定点 O1（p， 0） 的距离为ypx22)(pxyypxpxpxpxypxpx422)(22222222 很显然与以前学习的二次函数是一致的，只不过这里自变量变成y，函数变成 x；而二次函数自变量是 x，函数是 y，因而二次函数也是抛物线，同样具有抛物线的性质。如下：)0(2acbxxay韦达定理： . ?acxxabxx2121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页- 11
20、 - . 顶点坐标)(4422abacab，推导采用配方法：abacabxacababxabxay4422222222求根公式：aacbbx24221 ，从而零点坐标为0021，、，xx。 平移。位，向右移动一个单位即图像想上移动一个单，及如何为零，不难看出和同样看、单位，即图像向左移动一个如何为零，不难看出同样看、即向下移动一个单位。时，只有在难看出怎么样才可等于零，不如何平移呢？那就要看、例如：11) 1() 1() 1(2) 1(1) 1() 1(2101) 1(2) 1(22222cb,axyxyxpyxxxpyyyypxy注意，平移部分需要自己琢磨，根据上面三个例子. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页