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1、1 2.3 平面向量的数量积一、平面向量数量积1、定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量ab cos叫做a与b的数量积 (或内积 )，记作ab，即abab cos。注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定；（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同， “”不能省略，也不能也成“”； （3）在运用数量积公式时，一定要注意两个向量夹角的范围：00180 0。（4）规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0b0； （5）当向量a与b的夹角为900时，叫a与b互相垂直，记作：ab
2、，此时：abab0。2、平面向量数量积的几何意义：（1）对于abab cos，其中b cos叫做b在a方向上的投影， 当为锐角时， 投影为正； 当为钝角时， 投影为负；当就直角时，投影为0； 当为 0 度时，投影是b；当为 180 度时，投影为b； （2）a在b方向上的投影与b在a方向上的投影就不同的； （3） ）a在b方向上的投影值可以写成bba。例 1：已知a2，b 5，当（ 1）a与b夹角为 300时； （2）当ab时； （3）当当ab时；分别计算a与b的数量积。【解析】： （1）53； （2）0； （3）10 变式练习 1：已知a 3，b 5，且a与b的夹角为450，则a在b方向上的投
3、影是（）A：223B：3 C：4 D：5 【解析】：A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 变式练习 2：已知a 6，b 3，且ab 12，则a在b方向上的投影是 （）A： 4 B： 2 C：4 D：2 【解析】：A 二、平面向量数量积的性质若a与b是非零向量，e是与a方向相同的单位向量，是e与a的夹角1、eaaeae cos2、abab0 3、若a与b同向，则abab ( 夹角为 0 度 )；若反向，则abab
4、( 夹角为 180度 )；特别地，aa(a)2a2或aaa4、若是a与b的夹角，则 cos baba5、abab（当a与b共线时取等号）三、平面向量数量积的运算律1、abba2、(a)b(ab)a(b) 3、(ab)cacbc4、(ab)(ab)(a)2(b)2a2b25、(ab)2a22abb2 注意： （1）没有(ab)ca(bc)这个运算定律；（2）acbc，则不能得到ab； （3）若ab0，则a0或b0或900。例 2：下列说法正确的个数_。（1）两个向量的数量积是一个向量；（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量；（3）若ab 0，则a与b的夹角为锐角， 若ab0，则a与b的夹角为
5、钝角；（4） (ab)ca(bc)； （5）若ab0，则a0或b0。【解析】：0 个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 例 3：已知a与b的夹角为1200，且a 4，b 2，则计算 (a2b)(ab)_，ab_。【解析】：12 23例 4：已知OAAB，OA4，则OAOB_。【解析】：16 变式练习 1：已知a 1，ab21，(ab)(ab)21，求（ 1）a与b的夹角； （2）ab与ab的夹角的余弦值。【解析】
6、：450，ab221，ab225，cos25212155。变式练习 2：已知向量a、b的夹角为 600，且a 2，b 1，则向量a与向量a2b的夹角等于（）A：1500B：900C：600D：300【解析】：cosbaabaa2)2(300 可用数形结合法，构成的四边形为菱形变式练习 3：已知向量a与向量b满足，a 6，b 4，且a与b的夹角为600，求ab与a3b。【解析】：ab 219，a3b 63变式练习 4：设四边形 ABCD 为平行四边形，AB 6，AD 4，若点 M，N 满足BM3MC，DN2NC，则AMNM（）A：20 B：15 C：9 D：6 解析】这个地方四边形ABCD 为平
7、行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以A 为坐标原点建立坐标系。由0,06,34,4A（），M （）N（），进而(6,3)AM，(2,1)NM，9AMNM。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 变式练习 5：已知向量a与向量b是两个互相垂直的单位向量，若向量c满足 (ac)(bc)0，则c的最大值是（）A：1 B：2 C：2D：22【解析】：(ac)(bc)abacbcc20，则c2c(ab)，则c4c(ab)2c
8、2(a22abb2)2c2故c22。C 四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角设i，j为 x 轴、y 轴方向的两个单位向量，即i(1，0)，j(0，1)，且a与b为两个非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2) 1、ii1 jj1 ij0 abx1x2y1y22、若a(x，y)，则a222yx或a22yx。若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB212212)()(yyxx3、若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0 x1x2y1y20 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
9、- - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 4、若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则 cos222221212121yxyxyyxx例 4：向量a(1， 1)，b(1，2)，则a(2ab)（）A： 1 B：0 C：1 D：2 【解析】：C 变式练习：若向量a(x，2)，b(2， 1)，且ab，则ab（）A：5B：10C：25D：10 【解析】：B 例 5：若平面向量a(4，3)，2ab(3，18)，则a与b夹角的余弦值等于（）A：658B：658C：6516D：6516【解析】：C 变式练习 1：设 x、yR，向量a(x，1)，b(1，y
10、)，c(2，4)，且ac，bc，则ab（）A：5B：10C：25D：10 【解析】：B 变式练习 2：已知a(，2)，b(3，5)，且a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_。【解析】：由于 a 与 b 的夹角为锐角， a b0，且 a 与 b 不共线同向由a b0? 3 100，解得 103.当向量 a 与 b 共线时，得 5 6，得 65，因此 的取值范围是 103且 65.答案： | 103且 65 变式练习 3：已知 A(3 ，0)，B(0，3)，C(cos，sin)，O 为坐标原点。（1）若OCAB，求 tan； （2）若ACBC，求 sin2； （3）若OAOC13，且(0，)，求OB
11、与OC的夹角。【解析】： （1） 1 （2）98（3）6变式练习 4：已知a(53cosx，cosx)，b(sinx，2cosx)，设函数 f(x) ab2b23。 （1）当 x6，2时，求函数f(x) 的值域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 （2）当 x6，2时，若 f(x)8，求函数 f(x12)的值（3）将函数 f(x)的图象向右平移12个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的纵坐标向下平移 5 个单位长
12、度， 得到函数 yg(x) 的图象，求函数 yg(x)的表达式， 并判断其奇偶性。【解析】： （1）f(x) 5sin(2x6)5 （2）22x667sin2x53cos2x54f(x 12)5sin2x55sin(2x66)21433（3）g(x) 5sin2x 奇变式练习 5：a(3，1)，b(21，23)，且存在实数k 和 t，使ma(t23)b，n ka tb，且mn，试求ttk2的最大值。课 后 综 合 练 习名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9
13、页 - - - - - - - - - 7 1、给出以下四个命题： （1）abab0； （2）若ab0，且a0，则b0；（3）若a0，b0，则abab； （4）当a与b反向时，abab。正确命题的个数是（）A：1 B：2 C：3 D：4 【解析】：B （3）应小于2、已知a(0，1)，b(1，1)，且(ab)a，则实数的值是（）A： 1 B：0 C：1 D：2 【解析】：A 3、若a 3，b3，且a、b的夹角为6，则ab为（）A：6B：23C：32D：21【解析】：D 4、设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（1）(ab)c(ca)b0； （2）abab； （3）(bc)a(ca
14、)b与c不垂直；（ 4）(3a2b) (3a2b)9a24b2中，是真命题的有（）A： （1） （2）B： （2） （3）C： （3） （4）D： （2） （4）【解析】：D 5、如图所示， RtABC 中，A900，AB 1，则ABBC的值是 （）A：1 B： 1 C：2 D： 2 【解析】：B 6、ABC 中，ABa，BCb， 若ab0， 则 ABC 的形状为 （）A：直角三角形B：钝角三角形C：锐角三角形D：不能判断【解析】：B 7、已知a、b满足ab 2，ab0，若向量c与ab共线，则ac的最小值为（）A：2B：1 C：22D：21【解析】：设a(2，0)，b(0，2)，cx(ab)(
15、2x， 2x)，则ac224)22(xx4882xx2A CAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 8、已知a21，b22，(ab)a0，则a与b的夹角为（）A：300B：450C：600D：900【解析】：B 9、已知ab 1，a与b的夹角是 900，c2a3b，dka4b，c与d垂直，则 k 的值为（）A： 6 B：6 C：3 D：3 【解析】：B 10、a 1，b 2，且 (ab)a0，则a、b的夹角为 _
16、。【解析】：120011、已知向量a和b的夹角为 1200，且a 2，b 5，(2ab)b_。【解析】： 35 12、已知向量a和b的夹角为 450，且a 1， 2ab10，则b _。【解析】：3213、已知向量a(1，0)，b(1，1)，若向量b3a与向量a夹角的余弦值为_。【解析】：55214、向量1e，2e就夹角为 600的两个单位向量，若向量a1e32e与b21e，则向量a与b方向上的身影为_。【解析】：2515、已知向量a(2，2)，b(5，k)， （1）若ab，求 k 值； （2）若ab不超过5，求 k 的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -