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1、二次函数复习二次函数复习注意注意:当二次函数表示某个实际问题时当二次函数表示某个实际问题时,还必还必须根据题意确定自变量的取值范围须根据题意确定自变量的取值范围.1.二次函数的定义：二次函数的定义：形如形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，是常数，a0）的函数叫做二次函数）的函数叫做二次函数自变量自变量x的取值范围是：任意实数的取值范围是：任意实数2.二次函数的表达式二次函数的表达式：（1 ）二次函数的一般形式:函数函数yax2bxc（a0)注意：它的特殊形式：注意：它的特殊形式： 当当b0，c0时：时： yax2 当当b0时：时： yax2c 当当c0时：时： yax2bx（2）顶点
2、式：y=a(x-h)2+k（a0)（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2) （a0)二次函数解析式二次函数的解析式有两种形式：1. 一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a0)2. 顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a0)当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为一般式，列出三元一次方程组求出待定系数。当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式求出待定系数。1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴是对称轴是y轴轴. 2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它的开口向上它的开口
3、向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展； 当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在的增大而减小；在对称轴右侧对称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小. 当当a0a0a0时开口向上，当时开口向上，当a0时开口向下时开口向下(0,0)(0,c)(h,0)(h,k)44,2(2abacababx2直线直线y轴轴直线直线hx 直线直线hx 在对称轴左侧，在对称轴左侧，y随随x的增大而减小的增大而减小在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随随x的增大而增大的增大而增大在对称轴左侧，在对称轴左侧，y随随x的增大而增大的增大而增大在
4、对称轴右侧，在对称轴右侧，y随随x的增大而减小的增大而减小xyxy00最小时，yx00最大时yxcyx最小时，0cyx最大时00最小时yhx0最大时yhxkyhx最小时kyhx最大时abacyabx4242最小时，abacyabx4242最大时，y轴轴 （3）开口方向：当）开口方向：当 a0时，抛物线开时，抛物线开口向上；当口向上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。4二次函数二次函数2yaxbxc的性质：的性质：（1）顶点坐标）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线）对称轴是直线2bxa 2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果
5、a0，当，当时，函数有最小值，时，函数有最小值，如果如果a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，（4）最值：）最值：2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。（5）增减性：）增减性： 与与y轴的交点坐标轴的交点坐标为（为（0，c）(6)抛物线抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbxc2yaxbxc 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc抛
6、物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两实数根的两实数根 与与x轴的交点情况轴的交点情况可由对应的一元二次方程可由对应的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线抛物线的根的判别式判定：的根的判别式判定： 0有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交； 0有一个交点有一个交点抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切； 0没有交点没有交点抛物线与抛物线与x轴相离。轴相离。例例4 已知抛物线已知抛物线247,yxkxkk取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在
7、取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。 ，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以200407kk4022 1kba ，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk ，整理得，解得：由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。224 1744044 1
8、kkacba 所以当x2时， 。解法一（配方法）：2281yxx22277x 7y最小值2241xx224441xx例例5 当当x取何值时，二次函数取何值时，二次函数 有最大值有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因为所以当x2时， 。因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 2281yxx224 2 18842,722 244 2bacbaa 7y最小值总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：又例例6已知函数已知函数 ，当，当x为何值为何值时，函数值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。随自变量的值
9、的增大而减小。211322yxx 解法一： ， 102a 抛物线开口向下， 21169922xx 21913222x 21352x 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。 211322yxx 102a 331222ba 解法二：，抛物线开口向下， 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。例例7 已知二次函数已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函数的解析式，求此函数的解析式解：解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组21041 322041mmmmm ，由解方程得121,22mm不合题意，舍去所求函数解析式为2111
10、1232 ,222yxx 。21122yxx 即 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若aa0开口向上；5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0开口向下。5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线2bxa 若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故若b0对称轴为y轴，若a，b同号对称轴在y轴左侧，5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，
11、c)， c0抛物线经过原点；c0与y轴交于正半轴； c0与y轴交于负半轴。例例8 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图的图象，判断以下各式的值是正值还是负值象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc分析：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、图形的位置、形状形状)，需要求出的是数量关系，所以应，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用发挥数形结合的作用解：解：(1)因为抛物线开口向下，所以因为抛物线开口向下，所以a0；判断判断a的符号的符号(2)因为对称轴在因为对称轴在y轴右侧
12、，所以轴右侧，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判断判断b的符号的符号(3)因为因为x0时，时，yc，即图象与，即图象与y轴交点轴交点的坐标是的坐标是(0，c)，而图中这一点在，而图中这一点在y轴正轴正半轴，即半轴，即c0；判断判断c的符号的符号2404acba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且，且a0，所以，所以，故，故。判断判断b24ac的符号的符号 ，且且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0；(5)因为顶点横坐标小于因为顶点横坐标小于1，即，即12ba判断判断2ab的符号的符号(6)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横
13、坐标为1时，点时，点的纵坐标为正值，即的纵坐标为正值，即a12b1c0，故故abc0；判断判断abc的符号的符号(7)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，时，点的纵坐标为负值，即点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判断判断abc的符号的符号1、下列函数中，是二次函数的是下列函数中，是二次函数的是 . 142xxy22xy xy4pnxmxy2xy3 2.当当m_时时,函数函数y=(m+1) - 2+1 是是 二次函数？二次函数？mm 2) 1)(2(3xxy4) 1(212xy =222) 1(xxy4、抛物线、抛物线 的顶点是的顶点是(2,3)，则则m
14、= ,n= ;当当x 时时,y随随x的增大而增大。的增大而增大。nmxy2)(25、已知二次函数、已知二次函数 的最小值的最小值为为1，则，则m= 。 mxxy623、抛物线、抛物线y=x2+2x 3的开口向的开口向 ，对称轴对称轴 ,顶点坐标顶点坐标 ;当当x 时时,y最最_值值 = ,与与x轴交点轴交点 ,与与y轴交点轴交点 。 例例1 1、如图，二次函数、如图，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c则则a 0, b 0, c 0, 判断正负性判断正负性a+b+c 0, ab+c 0,b2-4ac 01111练习：判断下列抛物线中练习：判断下列抛物线中a,b,c的符号的符号xy
15、0 xy0 xy0练习：抛物线练习：抛物线yax2bxc的顶点在第一象的顶点在第一象限，且与限，且与x轴交于点轴交于点A，且与，且与y轴交于点轴交于点C，点点C在线段在线段OB上。点上。点A、B的坐标为的坐标为(1，0), (0，1)。试确定下列代数式的符号？。试确定下列代数式的符号？(1)a，（，（2）b，（，（3）c，（4）abcxyB(0,1)A(1,0)C（5）abc（6）ab1例例3.3.二次函数的图象经过二次函数的图象经过A(1,0) B(3,0) C(2,-1)A(1,0) B(3,0) C(2,-1)三点三点, ,(1)(1)求这个函数的解析式求这个函数的解析式. .解：（解：
16、（1 1）设这个函数的解析式为）设这个函数的解析式为 y=axy=ax2 2+bx+c, +bx+c, 依题意得依题意得: :cbacbacba2413900341cba解这个方程组得解这个方程组得这个函数的解析式是：这个函数的解析式是：y=xy=x2 2-4x+3-4x+3典型例题典型例题(2)抛物线顶点为抛物线顶点为M(1,2)且过点且过点N(2,1)练习：根据下列已知条件，练习：根据下列已知条件，求二次函数的解析式：求二次函数的解析式：(1)抛物线过点抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)(3)抛物线过原点，且过点抛物线过原点，且过点(3,27)(4)已知二次函数的图象经过点（已知
17、二次函数的图象经过点（1，0），），( (3，0),(0),(0，6)6)求二次函数的解析式。求二次函数的解析式。 (5)抛物线抛物线y=ax2+bx+c经过经过(0，0)与（与（12，0），）， 最高点的纵坐标是最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式，求这条抛物线的解析式46(1)在抛物线在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点上是否存在点P（点（点C除外），使除外），使ABP面积等于面积等于ABC面积面积?解：假设存在满足条件的点解：假设存在满足条件的点P，则作则作PQx轴轴 SABp = SABC, ABPQ/2= ABOC/2, PQ=CO=3, |y|=3， 3= -x2+2x+3, x1=0,x2=2 。p(2,3) 或或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0 x=17，p(1+7,-3),p(1-7 ,-3)xy03B-1C3PQA