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1、老梁试卷高一数学必修一综合一选择题（共10 小题，满分50 分，每小题5 分）1 （5.00 分）已知集合A=x| x216 ，B= x| 42x0 ，则 AB=（）A （ 4，2） B （ 4，4） C （ 2， 2） D （ 2，4）2 （5.00 分）函数f（x）=ln| 的大致图象是（）ABCD3 （5.00 分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（）AB3 C或 3 D或 34 （5.00 分）已知奇函数f（x） ，当 x0 时单调递增，且f（1）=0，若 f（x1） 0，则 x 的取值范围为（）A x| 0 x1 或 x 2 B x| x 0 或 x2 C x| x0 或 x3D
2、 x| x 1 或 x 15 （5.00 分）已知函数f（x）=logax（0a 1）的导函数为f（ x） ，记 A=f（a） ，B=f（ a+1） f（a） ， C=f（a+1） ，则（）AABC BACB CBAC DCBA6 （5.00 分）已知函数，若 x，y 满足，则的取值范围是（）ABC （ 1， 1） D 1， 17 （ 5.00分 ） 已 知 点 （ m ， 8 ） 在 幂 函 数f （ x ） = （ m 1 ） xn的 图 象 上 ， 设，则 a，b，c 的大小关系为（）Aacb Babc Cbca Dbac8 （5.00 分）已知函数f（x）=，g（x）=ex（ e 是自
3、然对数的底数） ，若关于x 的方程 g（f（x） ） m=0 恰有两个不等实根x1、x2，且 x1x2，则 x2 x1的最小值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页A（1ln2）B+ln2 C1ln2 D（1+ln2）9 （5.00 分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10 万元至 100 万元的投资收益，为激发开发者的潜能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，同时奖金不超过投资收益的20%，奖金封顶9 万元，若采用以下函数模型拟合公司奖励方案，则较适合的函数是（）Ay=
4、+2 By= C y=+Dy=4lgx310 （5.00 分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c 与函数 y=（）x的图象可能是（）ABCD二填空题（共4 小题）11已知 log2x=log3y=log5z0，则、由小到大排序为12已知函数（a0，且 a1） ，若 f（ 3） f（4） ，则不等式f（x23x） f（4）的解集为13函数f（x）=，关于x 的方程 f（ x）=kxk 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为14 已知 R， 函数 f （x） =， 当 =2 时， 不等式 f （x） 0 的解集是 若函数 f（x）恰有 2 个零点，则的取值范围是三解答题（共6 小
5、题）15已知定义域为R 的函数 f（x）=+是奇函数（1）求 a 的值；（2）判断函数f（x）的单调性并证明；（3）若对于任意的t（ 1，2） ，不等式f（ 2t2+t+1）+f（t2 2mt） 0 有解，求m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页16 （1）计算：；（2）已知 x+x=2，求的值17已知函数f（ x）=lg（x+1） lg（1x） （）求函数f（ x）的定义域；（）判断函数f（x）的奇偶性18已知幂函数f（x）=在（ 0，+）上单调递增，函数g（x）=2xk，（）求实数m 的值；（）当x（
6、 1，2 时，记 f（x） ， g（x）的值域分别为集合A，B，若 AB=A，求实数k 的取值范围19已知函数（1）求函数f（x）的反函数f1（ x） ；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足： x1x2x3，且 x3x2=2（ x2 x1） ，求实数 a 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页20如图所示，在一半径等于1 千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB
7、 上，街道由两条平行于对称轴l 且关于 l 对称的两线段EF 、CD，及夹在两线段EF 、CD间的弧组成若商业街在两线段EF 、 CD上收益为每千米2a 元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a 元已知，设 EOD=2 ，（1）将商业街的总收益f（ ）表示为的函数；（2）求商业街的总收益的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页老梁试卷高一数学必修一综合参考答案与试题解析一选择题（共10 小题，满分50 分，每小题5 分）1 （5.00 分）已知集合A=x| x216 ，B= x| 42x0 ，则 AB=（）A
8、 （ 4，2） B （ 4，4） C （ 2， 2） D （ 2，4）【分析】 可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】 解： A= x| 4x4 ，B= x| x2；AB=（ 4，2） 故选： A【点评】 考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集的运算2 （5.00 分）函数f（x）=ln| 的大致图象是（）ABCD【分析】 根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断【解答】 解，f（ x）=ln| =ln| =f（x） ，f（x）为奇函数，排除A，C当 0 x=e+1，则 f（e+1） =ln| =ln| e+2| lne0，故排除B，故选： D精选学习资料 - - - - - - -
9、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页【点评】 本题考查了函数图象的识别和判断，关键是掌握函数的奇偶性，以函数值的特点，属于基础题3 （5.00 分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（）AB 3 C或 3 D或 3【分析】 根据 f（x）为奇函数即可得出，从而可解出a=1，从而可求出f（ a）的值【解答】 解： f（x）是奇函数；整理得：（2a22）2x=0；2a22=0；a= 1；a=1 时，；a=1 时，故选： C【点评】 考查奇函数的定义，指数式的运算，以及已知函数求值的方法4 （5.00 分）已知奇函数f（x） ，当 x0 时单调递增，且f（1）
10、=0，若 f（x1） 0，则 x 的取值范围为（）A x| 0 x1 或 x 2 B x| x 0 或 x2C x| x0 或 x3D x| x 1 或 x1【分析】 先确定函数f（x）在（，0）上单调递增，且f（ 1） =0，再将不等式等价变形，即可得到结论【解答】 解：定义在R 上的奇函数f（x）在（ 0，+）上单调递增，且f（ 1）=0，函数 f（x）在（，0）上单调递增，且f（ 1）=0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页且 1x0 或 x1，f（x） 0；x 1 或 0 x1，f（x） 0；不等式f（x1
11、） 0， 1x10 或 x11，解得 0 x1 或 x2，故选： A【点评】 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性，属于基础题5 （5.00 分）已知函数f（x）=logax（0a 1）的导函数为f（ x） ，记 A=f（a） ，B=f（ a+1） f（a） ， C=f（a+1） ，则（）AABC BACB CBAC DCBA【分析】 设 M 坐标为（ a，f（ a） ） ，N 坐标为（ a+1，f（a+1） ） ，利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C 分别为对数函数在M 处的斜率，直线MN 的斜率及对数函数在N 处的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得
12、到正确答案【解答】 解：记 M（a，f（a） ） ，N（a+1，f（a+1） ） ，则由于 B=f（a+1） f（a） =，表示直线MN 的斜率，A=f （a）表示函数f（x）=logax 在点 M 处的切线斜率，C=f （a+1）表示函数f（x）=logax 在点 N 处的切线斜率所以， CB A故选： D【点评】 本题考查三个数的大小的比较，考查会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线斜率的求法，是一道中档题6 （5.00 分）已知函数，若 x，y 满足，则的取值范围是（）ABC （ 1， 1） D 1， 1【分析】 先求出函数y=f（x）的定义域（1，1） ，并利用定义判断出函数y=
13、f（x）为奇函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页利 用 复 合 函 数 的 单 调 性 判 断 出 函 数y=f （ x ） 为 减 函 数 ， 由， 得，可得到关于x、y 的二元一次方程组，然后利用线性规划的知识可求出的取值范围【解答】 解：由，得，解得 1x1，所以，函数的定义域为（1，1） ，关于原点对称，任取 x（ 1，1） ，则 x（ 1，1） ，所以，函数为奇函数，令，则内层函数在 x（ 1，1）上单调递减，而外层函数y=lnu 单调递增，由复合函数的单调性可知，函数为减函数，由，得，则有，化简得，
14、做出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分区域所示，而代数式表示连接可行域上的点（x， y）与定点P（ 3，0）两点连线的斜率，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页由斜率公式可得直线PC的斜率为，直线 PB的斜率为，结合图形可知，的取值范围是（1，1） ，故选： C【点评】 本题考察函数的奇偶性与单调性、以及线性规划， 关键在于利用函数的单调性与奇偶性得到二元一次不等式组，然后利用线性规划求代数式的取值范围，属于中等题7 （ 5.00分 ） 已 知 点 （ m ， 8 ） 在 幂 函 数f （ x ） = （ m 1
15、） xn的 图 象 上 ， 设，则 a，b，c 的大小关系为（）Aacb Babc Cbca Dbac【分析】 由幂函数的定义可得m=2，n=3， f（x） =x3，且 f（x）在 R上递增，结合对数函数和幂函数的性质，即可得到a，b，c 的大小关系【解答】 解：点（ m，8）在幂函数f （x）=（m1）xn的图象上，可得 m1=1，即 m=2，2n=8，可得 n=3，则 f（x）=x3，且 f（x）在 R 上递增，由 a=f（） ，b=f （ln ） ，c=f（） ，01， ln 1，可得 acb，故选： A【点评】 本题考查幂函数的解析式和性质以及运用：比较大小，考查运算能力，属于中档题8
16、 （5.00 分）已知函数f（x）=，g（x）=ex（ e 是自然对数的底数） ，若关于x 的方程 g（f（x） ） m=0 恰有两个不等实根x1、x2，且 x1x2，则 x2 x1的最小值为（）A（1ln2）B+ln2 C1ln2 D（1+ln2）【分析】 化简方程为f（x）=lnm ，作函数 f（ x） ，y=lnm 的图象，结合图象可知，存在实数m（0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页m1） ，使 x2=e=m，可得 x1x2=mlnm，令 g（m）=mlnm，利用导数可得g（m）g（）=，【解答】 解： f
17、（x）=， f（x） 0 恒成立；g f（x） =e f（x）=m， f（x）=lnm ；作函数 f（x） ，y=lnm 的图象如下，结合图象可知，存在实数m（ 0m1） ，使 x2=e=m故x1 x2=m lnm ， 令g （ m ） =m lnm ， 则g （ m ） =1 ，故 g（m）在（ 0， 递减，在（，1）递增， g（m） g（）=，故选： D【点评】 本题考查了复合函数与分段函数的应用，同时考查了导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法9 （5.00 分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10 万元至 100 万元的投资收益，为激发开发者的潜能，公司制定产
18、品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，同时奖金不超过投资收益的20%，奖金封顶9 万元，若采用以下函数模型拟合公司奖励方案，则较适合的函数是（）Ay=+2 By= C y=+Dy=4lgx3【分析】 由设奖励函数模型为y=f（x） ，则公司对函数模型的基本要求是：当x 10，100 时，f（x）是增函数；f（x） 9 恒成立；恒成立然后对两个函数模型逐一分析，对三个条件全部满足的选取，三个条件有一个不满足则舍弃精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页【解答】 解：设奖励函数模型为y=f（x）
19、 ，则公司对函数模型的基本要求是：当 x 10，100 时， f（x）是增函数；f（x） 9 恒成立；恒成立对于函数模型y=+2：当 x 10，100 时， f（x）是增函数，则f（ x）max=f（100）=+2=5+2=7所以 f（x） 9 恒成立因为函数=+在 10，100 上是减函数，所以max=即不恒成立故该函数模型不符合公司要求对于函数模型y=：当 x 10，100 时， f（x）是增函数，则f（ x）max=f（100）=109所以 f（x） 9 不成立故该函数模型不符合公司要求于函数模型y=+=（x+） ：当 x 10，100 时， f（x）是增函数，则f（ x）max=f（1
20、00）=+=4+所以 f（x） 9 恒成立因为函数=+在 10，100 上是减函数，所以max=+=即恒成立故该函数模型符合公司要求对于函数模型f（x）=4lgx3：当 x 10，100 时， f（x）是增函数，则f（ x）max=f（100）=4lg1003=83=5所以 f（x） 9 恒成立设 g（x）=4lgx3，则当 x10 时，所以 g（x）在 10，100 上是减函数，从而g（x） g（10） =10所以 4lgx30，即 4lgx3，所以恒成立故该函数模型符合公司要求在和中，的f（x）max=4+的最大值为（x）max=5则为了达到激励的目的，应该是收益越高，奖励的比例越高，故比
21、更合适，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页故选： D【点评】 本题考查了函数模型的选择及应用，训练了函数最值的求法，综合性较强， 有一定的难度10 （5.00 分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c 与函数 y=（）x的图象可能是（）ABCD【分析】 二次函数y=ax2+bx+c 与函数 y=（）x的图象，分别判断a，b，c 的符号及关系，由此寻找正确答案【解答】 解：A 中，由二次函数y=ax2+bx+c 的图象知， a0， b0，c=0， 此时， y= （）x即 y=（）x为减函数，故A 成立；B中，
22、由二次函数y=ax2+bx+c 的图象知， a0，b0，c=0此时，0，函数 y=（）x无意义，故B 不成立；C中，由二次函数y=ax2+bx+c 的图象知， a0，b0，c=0，此时， y= （）x即 y=（）x为增函数，故C不成立；D 中，由二次函数y=ax2+bx+c 的图象知， a0，b0，c=0此时，0，函数 y=（）x无意义，故D 不成立；故选： A【点评】 本题考查指数函数和二次函数的图象和性质，解题时结合图象要能准确地判断系数的取值二填空题（共4 小题）11已知 log2x=log3y=log5z0，则、由小到大排序为【分析】 设 k=log2x=log3y=log5z0，可得
23、 x=2k，y=3k，z=5k可得=21k，=31k，=51k，利用指数函数的即可得出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页【解答】 解：设 k=log2x=log3y=log5z0， x=2k，y=3k，z=5k则=21k，=31k，=51k，21k31k51k，故答案为：【点评】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12已知函数（a0，且 a1） ，若 f（ 3） f（4） ，则不等式f（x23x） f（4）的解集为（ 1，0）（ 0，3）（ 3，4）【分析】 直接利用函数的
24、性质和定义域求出结果【解答】 解：函数（a0，且 a1） ，若 f（ 3） f（4） ，则：函数单调递增，故：不等式f（x23x） f（4）满足： x23x4，解得： 1x 4，由于： x23x0，解得： x0 且 x3，故：不等式f（x23x） f（4）的解集为： （ 1，0）（ 0，3）（ 3，4） 故答案为：（ 1， 0）（ 0， 3）（ 3，4） 【点评】 本题考查的知识要点：函数的性质的应用，单调性的应用13函数f（x）=，关于x 的方程 f（ x）=kxk 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为k且 k1【分析】 根据函数与方程的关系，转化为函数f（x）与 g（x）=k（
25、x1） ，至少有两个不同的交点，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】 解：由 f（ x）=kx k 至少有两个不相等的实数根，得f（x）=k（x 1）至少有两个不相等的实数根，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页设 g（x）=k（x 1） ，则等价为f（x）与 g（x）至少有两个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：g（x）=k（ x1） ，过定点C（1，0） ，当 x0 时， f（x）=x2x 的导数 f （x）=2x1，在 x=1 处， f （1）=21=1，当 k=1 时， g（x）=x1 与
26、f（x）=+x=x+1 平行，此时两个图象只有一个交点，不满足条件当 k1 时，两个函数有两个不相等的实数根，当 0k1 时，两个函数有3 个不相等的实数根，当 k0 时，当直线经过点A（，）时，两个图象有两个交点，此时 k（1）=，即 k=，当k0 时，两个图象有3 个交点，综上要使方程f（ x）=kxk 至少有两个不相等的实数根，则k且 k1，故答案为： k且 k1【点评】 本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度14已知 R，函数 f（ x）=，当 =2 时，不等式 f（x）0 的解集是 x| 1x4 若
27、函数f（x）恰有 2 个零点，则 的取值范围是（1，3 （ 4，+）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页【分析】 利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可【解答】 解：当 =2 时函数 f（x）=，显然 x2 时，不等式x40 的解集： x| 2 x4；x2 时，不等式f（x） 0 化为： x24x+30，解得 1x2，综上，不等式的解集为： x| 1x4 函数 f（x）恰有 2 个零点，函数 f（x）=的草图如图：函数 f（x）恰有 2 个零点，则1 3 或 4故答案
28、为： x| 1x 4 ； （1，3 （ 4，+） 【点评】 本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力三解答题（共6 小题）15已知定义域为R 的函数 f（x）=+是奇函数（1）求 a 的值；（2）判断函数f（x）的单调性并证明；（3）若对于任意的t（ 1，2） ，不等式f（ 2t2+t+1）+f（t2 2mt） 0 有解，求m 的取值范围【分析】（1）根据 f（0） =0 求出 a 的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页（2）根据函数单调性的定义证明；（3）根据
29、奇偶性和单调性列出不等式，从而得出m 的范围【解答】 解： （1） f（ x）是 R上的奇函数，f（0）=+=0，a=1（2）f（x）=+，故 f（x）是 R 上的减函数证明：设x1，x2是 R 上的任意两个数，且x1x2，则 f（x1） f（ x2）=，x1x2，033，0，即 f（x1） f（ x2） 0，f（x1） f（x2） ，f（x）在 R 上是减函数（3） f（ x）是奇函数，f（ 2t2+t+1）+f（t22mt ） 0 有解，f（t22mt） f（ 2t2+t+1）=f（ 2t2t1） ，又 f（x）是减函数，t22mt 2t2t 1 在（ 1，2）上有解，m=+设 g（t）=
30、+，则 g （t）= 0，g（t）在（ 1，2）上单调递减，g（t） g（1）=m 的取值范围是（， 【点评】 本题考查了函数奇偶性、单调性的应用，函数最值的计算，属于中档题16 （1）计算：；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页（2）已知 x+x=2，求的值【分析】（1）利用根式的运算性质即可得出（2）由，两边平方：，可得 x+x1=2，两边平方得：x2+x2=2，两边平方得：x4+x4=2，代入即可得出【解答】 解： （1）原式 =；（2），两边平方：，x+x1=2，两边平方得：x2+x2=2，两边平方得：x4
31、+x4=2，原式 =【点评】 本题考查了乘法公式、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17已知函数f（ x）=lg（x+1） lg（1x） （）求函数f（ x）的定义域；（）判断函数f（x）的奇偶性【分析】（1）欲使 f（x）有意义，须有，解出即可；（2）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；【解答】 解： （1）依题意有解得 1x1故函数的定义域为（1，1）（2）f（ x）=lg（1 x） lg（1+x）=f（x）f（x）为奇函数【点评】 本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属基础题， 定义是解决函数奇偶性的基本方法18已知幂函数f（x）=在（ 0，+）上单调递增，函数g
32、（x）=2xk，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页（）求实数m 的值；（）当x（ 1，2 时，记 f（x） ， g（x）的值域分别为集合A，B，若 AB=A，求实数k 的取值范围【分析】（）根据幂函数的定义和性质即可求出m 的值，（）先求出f（ x） ，g（x）的值域，再根据若A B? A，得到关于k 的不等式组，解的即可【解答】 解： （）依题意幂函数f（x）=得： （m1）2=1，解得 m=0 或 m=2，当 m=2 时， f（ x）=x2在（ 0，+）上单调递减，与题设矛盾，舍去m=0（）由（）知f（x）=
33、x2，当 x 1，2 时， f（ x） ，g（x）单调递增，A= 1，4 ，B=（2k，4k ，AB? A，解得， 0k1，故实数 K 的取值范围为 0，1 【点评】 本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题19已知函数（1）求函数f（x）的反函数f1（ x） ；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足： x1x2x3，且 x3x2=2（ x2 x1） ，求实数 a 的值【分析】（1）用 y 表示出 x，即可得出反函数；（2）设出对称的两点横坐标坐标，令函数值的和为
34、0 求出点的横坐标，从而得出两点坐标；（3）判断 f（x）与 2的大小，求出x1、x2、x3的值，根据得x3x2=2（x2x1）得出 a 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页【解答】 解： （1）当 1x0 时， f（x）=2x，且 0f（ x）2由 y=2x，得，互换 x 与 y，可得当 0 x1 时， f（x）=x21，且 1f（x） 0由 y=x21，得，互换 x 与 y，可得（2）函数图象上存在两点关于原点对称设点 A（x0，y0） （0 x01） 、B（ x0， y0）是函数图象上关于原点对称的点，则
35、 f（x0）+f（ x0）=0，即，解得，且满足0 x1因此，函数图象上存在点关于原点对称（3）令 f（x）=2，解得 x=，当时，有，原方程可化为4x 2ax4=0，解得，令，解得：当时，原方程可化为，化简得（ a2+4）x2+4ax=0，解得，又，由 x3x2=2 （x2x1） ，得，解得 a=（舍） 或 a=因此，所求实数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页【点评】 本题考查了反函数的求解，考查函数的对称性，函数零点的计算，属于中档题20如图所示，在一半径等于1 千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一
36、条商业街，其起点和终点均在道路AB 上，街道由两条平行于对称轴l 且关于 l 对称的两线段EF 、CD，及夹在两线段EF 、CD间的弧组成若商业街在两线段EF 、 CD上收益为每千米2a 元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a 元已知，设 EOD=2 ，（1）将商业街的总收益f（ ）表示为的函数；（2）求商业街的总收益的最大值【分析】（1）求出 （ 0， 时 f（ ）的解析式；求出 （，）时 f（ ）的解析式，利用分段函数写出f（ ）在（ 0，）上的解析式；（2）利用导数研究函数f（ ）在（ 0，）上的单调性并求出最大值【解答】 解： （1）当 （ 0， 时， ED=2 ，EF=+cos
37、 ；f（ ）=2a +2a（+2cos ） ；当 （，）时， ED+FA+BC=4 ， EF=2cos ；f（ ）=（4 ）a+2a（4cos ） ；由可得，f（ ）=；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页（2）当 （ 0， 时， f （ ）=2a（12sin ） ；由 a0，填表如下：（0，（，）f （ ）+0f（ ）单调递增极大值单调递减当 =时， f（ ）有最大值为（2+2+）a；当 （，）时， f （ ）=a（48sin ） ；a0，且 sin （，1） ，f （ ）=a（4 8sin ） 0，f（ ）在 （，）时单调递减，f（ ） f（） ；又 f（） f（） ，当 （ 0，）时，在 =时 f（ ）取得最大值为（2+2+）a；即 =时，商业街总收益最大，最大值为（2+2+）a【点评】 本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了用导数研究函数的单调性与最值问题，是难题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页