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1、1、 XOY 平面上特征多边形顶点P1(0,0)，P2(1,1)，P3(2,-1) ，P4(3,0)确定一条三次Bezier 曲线 P(t)，。用递推 (de Casteljau)算法求解P(1/2)。 1 , 0t)0, 5.1(2)2/1(22243232221 2 132 221 1321pppppppppppPppPppP4Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法计算 Bezier 曲线上的点，可用Bezier 曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。如图所示，设、是一条抛物线上顺序三个不同的点。过和点的两切线交于点，在点的切线交和于和，则
2、如下比例成立：,这是所谓抛物线的三切线定理，其几何意义如下图所示。图抛物线的三切线定理当 P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t) ，即有： t 从 0 变到 1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们正好是两条一次Bezier 曲线。将一、二式代入第三式得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 当 t 从 0 变到 1 时，它正好表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲
3、线。并且表明：这二次Bezier 曲线 P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（ P1，P2）决定的一次Bezier 曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier 曲线 P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2， P3)确定的二条二次Bezier 曲线的线性组合；进一步由 (n+1) 个控制点 Pi(i=0, 1, ., n) 定义的 n 次 Bezier 曲线 Pn0可被定义为分别由前、后 n 个控制点定义的两条(n-1) 次 Bezier 曲线 P0n-1与 P1n-1的线性组合：由此得到 Bezier 曲线的递推计算公式：这便是著名的d
4、e Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier 曲线上一点 P(t)非常有效。上式中：是定义 Bezier 曲线的控制点，即为曲线上具有参数t 的点。 de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier 曲线的基本算法和标准算法。P0nP1n-1P0n-1P0n-2P1n-2P2n-2P3n-3P2n-3P1n-3P0n-3functiondeCasteljau(i,j) beginif i = 0 thenreturnP0,jelsereturn (1- u)* deCasteljau(i-1,j) + u* deCastel
5、jau(i-1,j+1) end这一算法可用简单的几何作图来实现。给定参数，就把定义域分成长度为的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点。重复进行下去，直到n 级递推得到一个中间顶点即为所求曲线上的点。下图所示为几何作图求三次Bezier 曲线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - （给定参数域）上 t
6、1/3 的点。把定义域分成长度为1/3 : (1-1/3) 的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点、10P、，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点11P12P、。重复进行下去，直到第3 级递推得到一个中间顶点即为所求曲线上的点20P21P30PP（t）。P0P1P2P3P01P11P21P02P03P12图几何作图法求Bezier 曲线上一点（n=3，t=1/3 ）上述过程的de casteljau 算法递推出的Pki呈三角形，对应结果如图所示。递归算法是上述过程的逆过程，首先从上向下递归，直到最底层后开始返回
7、，最顶部点P30即为曲线上的点。P03P12P02P01P11P21P3P2P1P0图n=3 时，Pin的递推关系另外，这一算法隐含说明任一Bezier 曲线均可被分割为两段Bezier 曲线。第一段由P0、P01、P02、P03确定，参数空间为0,1/3; 第二段P03、P12、P21、P3确定，参数空间为 1/3,1, 分割后的曲线形状保持不变。如图所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - P0P1P2P3P01
8、P11P21P02P03P12P0P3P01P21P02P03P12图Bezier 曲线的分割（ n=3 ，t=1/3 ）2、采用 Gouraud 明暗处理模型计算如图所示点P 的颜色值。P 点的颜色值为 (0.5, 0, 0.5)*0.4+(0, 0.5, 0.5)*0.6 = (0.2, 0.3, 0.5)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3、如图所示，采用Cohen-Sutherland 算法对线段进行裁剪时
9、，1） 线段端点 P 点和 Q 点的编码各是多少2） 此时是否需要与窗口的边界进行求交运算，为什么（利用点的编码解释）？3） 如需要，可以与窗口的哪些边界求交，为什么？1) c1 = 0100、c2 = 10102) 需要，因为c1|c2 ！= 0000 且 c1&c2 = 00003) 与 R,B 和 T 边界进行求交，因为c1&0100 != 0000, c2&1000!= 0000, c2&0010!= 00004、如图所示多边形，采用扫描线算法进行填充，写出扫描线Y=5 的新边表和活动边表（ AET 表） ，并解释边表结点数据结构的每个域。新边表01122334455667788910
10、11P2(5,1)EP3(11,3)DP4(11,8)GFCBP5(5,5)P6(2,7)AP1(2,2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 活动边表其中第 1 项保存当前扫描线与边的交点坐标x 值；第 2 项保存从当前扫描线到下一条扫描线间 x 的增量x；第 3 项保存该边所交的最高扫描线号ymax；第 4项保存指向下一条边的指针。5、 如图所示三角形ABC ，将其关于B 点逆时针旋转900，采用矩阵的形式计算缩小
11、后三角形各点的规范化齐次坐标，并用OpenGL 函数编程实现。 （20 分）变换矩阵：100001410100210201100090cos90sin090sin90cos100210201各点的规范化齐次坐标为132163100001410100001410AA122122100001410100001410BB170147100001410100001410CC6、采用 Bresenham算法转换直线段，起点x0(2,1)、终点 x1(12,5)。1、给出判别式d 的表达式（初始条件及递推关系式）：2、递推过程中y 的坐标值及d 的值xyd213456名师资料总结 - - -精品资料欢迎下
12、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 78d 的表达式：xyd20当时，11iiyyxyddii221当时，iiyy1yddii21判断条件：当 di0 时，选择象素 (xi 1，yi 1) 4,10yxxyd212*4-10 -231-2+2*4=6426+2*4-2*10=-652-6+2*4 =2632+2*4-2*10=-1073-10+2*4=-483名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -