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1、重庆邮电大学矩阵在偏振光学中的应用学生：闫闯学号： S130101204 年级：研究生一年级名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1 矩阵在偏振光学中的应用摘要：本文针对光学方面的问题， 撰写了矩阵在光学的一个分支偏振光学中的应用，简要的介绍了偏振光和偏振器件的概念，研究了偏振光和偏振器件的琼斯矩阵和密勒矩阵的表示和运算方法。关键词： 矩阵；偏振光；偏振器件；琼斯矩阵；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
2、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2 第 1 章 引言振动方向对于传播方向的不对称性叫做偏振，它是横波区别于其他纵波的一个最明显的标志，只有横波才有偏振现象。光波是电磁波，因此，光波的传播方向就是电磁波的传播方向。 光波中的电振动矢量E和磁振动矢量 H都与传播速度v 垂直，因此，具有偏振性的光则称为偏振光。偏振光学是光学领域中一个很重要的分支， 偏振光在光学显示， 光学测试中有着不可替代的作用。矩阵作为一种数学分析计算方法， 在对偏振光和偏正光学器件的描述和运
3、算中有着十分重要的作用。描述偏振光和偏振器件有多种方式，如指数函数法，邦加球法等，用琼斯矢量和斯托克斯矢量表示光的偏振态，用琼斯矩阵和密勒矩阵表示偏振器件是一种很好的也很有效的数学方法，在一些文献中也有所涉及， 但均不全面， 本文从研究光的偏振含义出发， 结合高等光学学习中的具体问题，系统地介绍了偏振光和偏振器件的矩阵表示方法， 以及琼斯矩阵和密勒矩阵两种矩阵表示方法的联系和区别。1.1偏振光平面光波的矢量场可以表示为4：( , )()exp()xyzE r tE iE jE kitk rexp()Eitk r( , )exp()H r tHitk r结合麦克斯韦旋度方程，运用运算关系：()(
4、),()()iikt可得：,.kEH kHE进一步可得：0k E（1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3 0k H（2）,E H 和 k 三个矢量间构成一右手正交之矢量系统， 电场矢量与磁场矢量均处在与传播方向互相垂直的平面上，平面光波为横波场。 若简谐平面光波的传播方向 k 沿着 z 轴，则E和H都在（ xoy）平面内，只有 x 分量和 y 分量不等于零，则空间某一代表点上电矢量端点所描绘的曲线是下列坐标点(
5、,)xyzEEE的轨迹：11112222cos()cos()cos()cos()0 xyzEatk raEatk raE（3）上式也可以写成如下形式：12coscos()0 xyzEatEatE（4）21为yE 和xE 的相位差 ,当 a1、a2和给定后，空间任意一点处的电矢量端点随时间 t 变化而划出一个椭圆轨迹，式（3）或式（ 4）代表的波称为椭圆偏振波，这时的光波是完全偏振的，简称偏振光。且椭圆内切于边长分别为2a1、2a2的矩形，切点为12(,cos )aa和12(cos ,)aa，如图 1 所示，椭圆的偏心率及主轴取向均由值确定。图 1 12a22axy名师资料总结 - - -精品资
6、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4 两种特殊情况：(1),(0, 1, 2,.)mm时，12coscos()xyEatEatm椭圆偏振光退化成一条直线，称为线偏振光。用复数表示1: 2211exp()( 1)/,(,0, 1, 2,.)mxyEaiaammEa为实数。(2) (21)/ 2,(0,1, 2,.)mm且12aaa时cossinxyEatEat此时偏振光为圆偏振光。用复数表示：右旋圆偏振光：2121exp(),(,/2)xyEa
7、iiaaEa左旋圆偏振光：2121exp(),(,/ 2)xyEaiiaaEa一般椭圆的两轴并不在ox 和 oy 方向，设角为椭圆长轴与 ox 方向夹角 (见图 1)，则经推导2椭圆的长短轴 a和 b 可由下式决定：222212tan2(tan2 )cossin2(sin2 )sinabaa（5）式中12tan/ ,tan/b aaa . 1.2 偏振光的矩阵表示：1.2.1 斯托克斯矢量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - -
8、 - - 5 斯托克斯（ G .G.Stokes ）引入四个参量222012221122123122cos2sinsaasaasa asa a（6）表示平面单色波，0s 代表偏振光的光强，1s 为 x 分量和 y 分量的强度差，表示偏振光的水平优先度，2s 表示正 450 优先度，2s 大于零，则表示14线偏振分量较强 ,3s 为右旋偏振优先度，3s 大于零表示光波是右旋偏振态。将4 个斯托克斯参量表示成4 1阶的斯托克斯矢量0123ssSss（7）可以来描述光的偏振态，全偏振光时满足：22220123ssss ，部分偏振光：22220123ssss ,而对非偏振光：1230sss,0s 正比
9、于光强I。若用角表示椭圆的取向，角表示椭圆率及转向，则有如下关系：102030cos2cos2cos2sin2sin2ssssss则偏振光又可以用邦加莱球表示6。1.3 琼斯矢量光的偏振态也以用琼斯矢量表示，设光在与传播方向(z 方向)垂直的 xoy 平面中，在相互垂直的x 和 y 方向上的分量011022()11()22itkzixitkziyEa ea eEa ea e名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 6 用
10、偏振光矢量两个分量构成的一列矩阵表示光的偏振态，称为琼斯矢量：1121121ixiiiyEa eEa eEaea e（8）其中2211,aaa。(1) 用斯托克斯矢量表示：22002210220230(1)(1)2cos2sinsbEsbEsbEsbE20212023112c o s2s i nsbsbSEsbsb对于具体的和b取值不同的偏振光，可经归一化，提出公因子，用更简洁的形式表示：（见表 1）(2) 用琼斯矢量表示：11()00()()00ii kztxii kztyEE eE eEbE ebE e101xiiyEJE eEbe同样经归一化1，提取公因子，用简洁的形式表示： （见表 1
11、）表 1 不同和b值偏振态的斯托克斯矢量和琼斯矢量表示和b值斯托克斯矢量琼斯矢量说明0,1;b1010S11J+450线偏振名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 7 0,2;b5340S12J线偏振,1;2b1001S1Ji右旋圆偏振,1;4b2011S11122Ji右旋椭圆偏振1,;62b3162S1131()222Ji右旋椭圆偏振1.4 偏振器件的矩阵表示上文引入了斯托克斯矢量和琼斯矢量表示光的偏振态，则当光波经
12、一系列复杂的偏振元件， 只要经简单的矩阵运算就可以得出出射光光的偏振态，这是用矩阵表示偏振的优点， 在运算之前我们还必须对偏振器件也用矩阵表示，与表示光的偏振态的斯托克斯矢量和琼斯矢量相对应，可用密勒矩阵和琼斯矩阵来表示偏振器件。1.4.1 密勒矩阵若用斯托克斯矢量S表示入射光的偏振态， 用斯托克斯矢量S 表示经一偏振器件后相应出射光的偏振态（图1） ，则 S 可以经过一矩阵运算得到：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - -
13、 - 8 1112131400212223241131323334224142434433mmmmssmmmmssSMSmmmmssmmmmss(10) 图 2 式中44矩阵 M 称为密勒矩阵，密勒矩阵也可以用于表示入射偏振光连续经过多个光学器件的运算：11.nnMM MM ，其中iM 为每个元件的密勒矩阵，且后经过的元件的密勒矩阵放在左边，可以用矩阵乘法来简化偏振光运算。常见偏振器件的密勒矩阵见表2。1.4.2 琼斯矩阵若用琼斯矢量J 来表示光的偏振态，则光经过偏振器件后的偏振态J 同样可以通过一个矩阵运算来得到：211121221221AggAJGJBggB(11) 式中22矩阵 G 称为
14、琼斯矩阵， 例如一块相位延迟为，且快轴与 x 轴成角波片，其琼斯矩阵可以表示为3：2222cossinsincossincossincossincossincosiiiieeGee琼斯矩阵同样也可以用来表示入射偏振光连续经过多个光学器件的运算：11.nnGG GG ，其中iG 为每个元件的琼斯矩阵，且后经过的元件的矩阵放在左边，常见偏振器件的琼斯矩阵见表21: SSG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9 表 2
15、常见偏振器件的密勒矩阵和琼斯矩阵光学元件密勒矩阵琼斯矩阵水平线起偏器1100110010000200001000垂直线起偏器1100110010000200000001+450 线起偏器1010000011010200001111-450 线起偏器10100000110102000011111/4 波片（垂直快轴）1000010000010010100i1/4 波片（水平快轴）1000010000010010100i名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12
16、页 - - - - - - - - - 10 右旋圆起偏器1001000010000210011112ii左旋圆起偏器1001000010000210011112ii1.5 密勒矩阵和琼斯矩阵的联系和区别斯托克斯矢量和琼斯矢量用不同的系列参数均可以用来描述光的偏振态，且可以通过两个个斯托克斯矢量相加或者两琼斯矢量相加来求计算给定偏振光波相加的结果。 而用密勒矩阵和琼斯矩阵来表示偏振器件，进而以相应的矩阵运算来处理偏振光的的传播是一种非常有用的数学方法和工具，但从上文的讨论和分析可知，这两种矩阵表示和运算之间也存在着不同，如琼斯矢量用于光波间相干迭加，而斯托克斯矢量则用于光波间的非相干迭加；琼斯
17、矩阵运算能保留偏振光位相信息，而密勒矩阵运算则不能；密勒矩阵运算能处理包含消偏在内的问题，而琼斯矩阵运算则不能等。1.6. 结束语用矩阵的方法解决光学中的问题很巧妙，偏振问题是光学学习中的一个比较难于理解的问题， 而矩阵方法在偏振光的表示和运算中有着独特的优点，本文全面系统地讨论分析了矩阵方法在偏振光的表示和运算中的应用。对矩阵方法有了更深一步的理解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 11 参考文献1 魏晓燕，
18、聂守平.偏振光与偏振元件的琼斯矢量分析.南京师大学报（自然科学版）.2001第 24 卷第 3 期. 2 王伟，李国华 . 斯托克斯空间用邦加球表示光偏振态的再研究. 应用光学 .2002 第 23 卷第 3 期. 3 梁铨廷 . 偏振器件的矩阵表示.广西物理 .2000 第 24 卷 .第 4 期. 4 王青狮， 魏计林， 杨型健 .偏振光的 MUELLER运算和 JONES 运算比较 .太原重型机械学院学报 .1999 第 20 卷.第 2 期 . 5 蒋秀明 ,赵家驹 ,黄维实 . 高等光学上海交通大学出版社1996. 6 M. 波恩， E.沃尔夫 . 光学原理（第二版）北京：科学出版社，1978.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -