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1、2.5平面向量应用举例 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题. 本节课我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用，向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题.1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的
2、”三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 一一.复习复习:1.平面向量数量积的含义:2.平面向量数量积的运算律.3.重要性质重要性质:(1)(2)(3)设设a a 、b都是非零向量都是非零向量,则则(4) c co os s= = |a ba bab 为为 ， 的的夹夹角角/ab当且仅当时，等号成立 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|=2211xy212212yyxx向量的长度向量的长度(模模)222221212121yxyxyyxx|a bab co
3、s向量的夹角公式向量的夹角公式1 21 2xxy y向量数量积的坐标表示向量数量积的坐标表示a b|a设设 为两个向量为两个向量,1122,ax ybxy, a b 向量平行和垂直的坐标表示向量平行和垂直的坐标表示02121yyxxba1221/ /abx yx y设设 为两个向量为两个向量,1122,ax ybxy, a b 问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,ACABAD,DBABADABCD猜想：猜想
4、：1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？一、平面几何中的向量方法例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.ABDC已知：平行四边形ABCD,求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC
5、边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC解：设 则,ABa ADb ARr ACab 由于由于 与与 共线，故设共线，故设ARAC(),rn ab nR又因为又因为 共线，共线，所以设所以设E RE B与与12() ，ERmEBm ab因为因为 所以所以ARAEER 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRT102()()mnm anb 即即,由于向量不共线a b0102，nmmn 1 1解解得得：n n= =m m = =3 3111333,ARA
6、CTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故AT=RT=TC.ABCDEFRT练习.证明直径所对的圆周角是直角.ABCO如图所示，已知 O，AB为直径，C为 O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 CBAC 0CBAC解：解：设 则 ，由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？ab（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；的几何
7、元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形1.向量在力学中的应用向量在力学中的应用思考1：如图，用两条成120角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？120120O OC CB BA A
8、10N10N| |F1 1|=|=|F2 2|=10N|=10NF1 1+ +F2 2+ +G= =0二、平面向量在物理中的应用思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？夹角越大越费力夹角越大越费力.思考3：若两只手臂的拉力为F1、F2，物体的重力为G，那么F1、F2、G三个力之间具有什么关系？ F1F2G=0. 思考4：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为，那么|F1|、|G|、之间的关系如何？FF1F2G思考5：上述结论表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如何
9、？00，180180) )思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1|与|G|可能相等吗？为什么？00，180180) )2.2.向量在运动学中的应用向量在运动学中的应用思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|v1|10/h，水流速度|v2| 2/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？A A| |v|= |= /h./h.思考2：如果船沿与上游河岸成60方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？v1v2v6060 |v|2 2| v1 1v2 2|2 2（v1 1v2 2）2 28484. 思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？
10、v1v2 2vA AB BC C与上游河岸的夹角为78.73.思考4：如果河的宽度d500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？例3 一架飞机从A地向北偏西60方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，若C地在A地的南偏西60方向，并且A、C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.东东C CB BA A北北西西南南位移的方向是南偏西位移的方向是南偏西3030，大小，大小是是 km.km.一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30，|F2| =4N，方向为东偏北30， |F3| =6N，方向为西偏北60，求这三个力的合力所做的功.东东F1 1北北西西南南F2 2F3 3W=Fs= J J. 1.利用向量解决物理问题的基本步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值. P113P113习题习题2.5A2.5A组：组：3 3，4.4. B B组：组：2.2.敬请指导敬请指导.